数学思想与排列组合.doc

运用数学思想解排列组合应用题江苏省金湖中学 现行的中学课本中关于排列和组合的内容虽然不多，但因抽象概括程度高且结果不易验算，常使我们不知其所以然，因而对此类问题敬而远之其实，排列组合问题是有其自身的思考方式和解题规律的运用常用的数学思想可揭示这些思考方式和解题规律，下面举例说明，供参考一 分类讨论 这是一种基本方法，是化整为零各个击破的策略例由到这十个数字组成六位数，要求其中含有三个5，其他无重复数字，问这样的六位数有多少个？分析：满足条件六位数可分两类：（）首位数字是的六位数，有种；（）首位数字不是的六位数，有种所以一共有（种）例用四种颜色去涂图中编号为1、2、3、4 的四个矩形，如图使得任意两个相邻的矩形的颜色都不相同，这样的涂法共有多少种？ 分析：涂色方案有3类用四种颜色，有A种。用三种颜色，先选出颜色有C 种选法，再排到三个矩形中去，使其中一对角颜色相同，有2A 种排法，故此涂法有2C A 种。用二种颜色，使其对角颜色相同有2 种涂法。故总涂法有： A2 CA2 84种二 等价转化 将一个具体的问题进行抽象，转化为熟悉的问题，然后归类求解。例3 3人坐在一排8个座位上，若每人的左右两边都有空座位，则有多少种不同的坐法？ 分析：(插空法)问题可转化为有5个空座位，在它们之间的四个空档中让三个人来坐，故共有A24种坐法。例4：(1994年上海高考题)计划在某画廓展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放两端，那么不同的陈列方式有： A. A44A55 种 B. A32A44A55 种 C. C31 A44A55 种 D. A22 A44 A55种 分析：(捆绑法)4幅油画为一固定组，5幅国画为一固定组，因水彩画只能在中间，故三组只有A22 种排法，再由油画和国画内部的排列知共有A22 A44 A55 种陈列方式，即应选D。三 正难则反 若一个问题从正面考虑比较困难，可从反面去思考例：某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选，不同选法共有： A.27种 B.48种 C.21种 D.24种 分析：至少有1名女生当选的反面是：女生都不当选，即只从男生中选取，故从排列总数中去掉这部分即可，即不同选法有C102C7224种，即应选D。例由数字，组成没有重复数字且数字与不相邻的五位数有多少个？分析：每一个五位数只有两种可能；即与不相邻或与相邻，前者情况较多，后者情况较少（为种），故与不相邻的五位数有种四整体思考先从全局出发求出问题全部，再根据题设剔除不合要求部分例：(1990年全国高考题)A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法有： A.24种 B.60种 C.90种 D.120种 分析：在不考虑A、B顺序时，有A种，因为B在A的右边与B在A的左边是等机率的，即为两个元素的全排列数之一， 故应有AA60种，即应选B。例:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有( )(A) 60个 (B)48个 (C)36个 (D)24个分析：五个数的全排列为A,满足条件的五位数个位数出现2或4的可能性为,在余下的四位数中,万位上出现满足条件的数字的可能性为.故满足条件的五位数共有A=36即应选C.五以形助数用画表格，画图形的方法帮助理解题意例：(1993年全国高考题)同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送的贺卡，则四张贺年卡不同的分配方式有：甲乙丙丁 A.6种 B.9种 C.11种 D.23种分析：利用填表格的原理来解。若甲拿乙送出的，则乙有种选法，而丙、丁只有一种，同样若甲拿丙送出的，则丙有C 种选法，乙、丁只有一种，若拿丁的也是如此， 故应有39种，即应选B。例1：有10个相同的球，放到编号为1、2、3的盒子中，其中球数不小于盒子的编号数的放法有多少种？,分析：若将2号盒放1个球，3号盒放2个球，则问题转化为将7个球分为三堆，其中每堆至少有1个球的问题。将7个球排成一列，中间有6个空档，设想从中选出2个空档将两块隔板插入即可解决问题，即应有C15种放法。六模型化归把实际问题进行抽象思考，化归为某典型题型例： 一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？分析：10级台阶要求8步走完，且每步只能走1级或2级，显然必须有2步中每步要走2级台阶，6步中每步要走1级台阶，则问题可化归为：在8个不同元素中选2个走2级，其余6个都走1级，即一共有C=28种走法。 例：10个三好生的名额分给6个班，允许有的班没有，有的班得多个，则共有多少种不同的分法？分析：由于每个班名额数大于或等于零，可抽象为x1+x2+x3+x4+x5+x6=10, 且x10, x20, x30, x40, x50, x60; 则x1+11, x2+11, x3+11, x4+11, x5+11, x6+11; 令y1=x1+11, y2=x2+11, y3= x3+11, y4=x4+11