高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 第二节 圆与直线、圆与四边形课件 理 北师大版选修41.ppt

选修4 1几何证明选讲 第二节圆与直线 圆与四边形 最新考纲1 会证明并应用圆周角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 2 会证明并应用相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定理 切割线定理 j基础知识自主学习 1 圆周角定理及其推论 1 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的 2 推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弧是 一半 一半 相等 相等 直角 半圆 2 圆的切线的判定和性质及弦切角定理 1 切线的判定定理 经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线 2 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线经过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线经过 3 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线 这两条切线长 4 弦切角定理 弦切角等于它所夹弧所对的 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的 外端 垂直于 半径 切点 圆心 相等 圆周角 一半 3 与圆有关的比例线段 1 切割线定理及推论 定理 过圆外一点作圆的一条切线和一条割线 切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的 如图 1 pt是 o的切线 t是切点 pab是 o的割线 则pt2 推论 过圆外一点作圆的两条割线 在一条割线上从这点到两个交点的线段长的 等于另一条割线上对应线段长的 如图 2 pab和pcd是 o的两条割线 则pa pb 比例中项 pa pb 图 1 图 2 积 积 pc pd 2 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积 如图 圆的两条弦ab cd相交于圆内一点p 则pa pb 相等 pc pd 4 圆内接四边形 1 圆内接四边形的性质定理及推论定理 圆内接四边形的对角 推论 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的 2 四点共圆的判定定理及推论定理 如果一个四边形的 那么这个四边形四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于其 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 托勒密定理圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的 互补 内对角 内对角互补 内对角 乘积 练一练 1 如图 cd是 o的直径 ae切圆o于点b 连接db 若 cdb 20 则 dbe 解析连接cb 因为cd为圆的直径 则 cbd 90 又因为 cdb 20 所以 dcb 70 又因为ae为圆的切线 所以 dbe 70 70 2 如图 abc中 c 90 ab 10 ac 6 以ac为直径的圆与斜边交于点p 则bp长为 解析连接cp 由推论2知 cpa 90 即cp ab 由射影定理知 ac2 ap ab ap 3 6 bp ab ap 6 4 1题图 2题图 6 4 3 从圆外一点p向圆o所引的一条切线为pa 切点为a 连接po并延长交圆o于点c b 若pa pb 3 则圆o的周长为 解析由切割线定理 得pa2 pc pb 所以pc 1 从而bc 2 圆o的半径r 1 周长为2 r 2 3题图 2 4 如图 ab ac是 o的两条切线 切点分别为b c d是优弧上的点 已知 bac 80 那么 bdc 解析连接ob oc 则ob ab oc ac boc 180 bac 100 bdc boc 50 50 4题图 5 如图 abc中 bc 6 以bc为直径的半圆分别交ab ac于点e f若ac 2ae 则ef 3 5题图 r热点命题深度剖析 例1 如图所示 o的直径为6 ab为 o的直径 c为圆周上一点 bc 3 过点c作圆的切线l 过点a作l的垂线ad ad分别与直线l 圆交于d e 1 求 dac的度数 解 由已知 adc是直角三角形 易知 cab 30 由于直线l与 o相切 由弦切角定理知 bcf 30 由 dca acb bcf 180 又 acb 90 知 dca 60 故在rt adc中 dac 30 2 求线段ae的长 解 解法一 连接be 如图 1 所示 eab 60 cba 则rt abe rt bac 所以ae bc 3 图 1 图 2 解法二 连接ec oc 如图 2 所示 则由弦切角定理知 dce cae 30 又 dca 60 故 eca 30 又因为 cab 30 故 eca cab 从而ec ao 由oc l ad l 可得oc ae 故四边形aoce是平行四边形 又因为oa oc 故四边形aoce是菱形 故ae ao 3 规律方法 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 变式训练1如图 已知圆上的弧 过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点 求证 1 ace bcd 2 bc2 be cd 例2 2015 银川一中月考 如图 已知ap是 o的切线 p为切点 ac是 o的割线 与 o交于b c两点 圆心o在 pac的内部 点m是bc的中点 1 证明 a p o m四点共圆 解 证明 连接op om 因为ap与 o相切于点p 所以op ap 因为m是 o的弦bc的中点 所以om bc 于是 opa oma 180 由圆心o在 pac的内部 可知四边形apom的对角互补 所以a p o m四点共圆 2 求 oam apm的大小 解 由 1 得a p o m四点共圆 所以 oam opm 由 1 得op ap 因为圆心o在 pac的内部 所以 opm apm 90 所以 oam apm 90 规律方法 证明四点共圆的常用方法 1 利用圆内接四边形的判定定理 证明四点组成的四边形的对角互补 2 证明它的一个外角等于它的内对角 3 证明四点到同一点的距离相等 变式训练2如图 ab是 o的直径 g是ab延长线上的一点 gcd是 o的割线 过点g作ag的垂线 交直线ac于点e 交直线ad于点f 过点g作 o的切线 切点为h 1 求证 c d e f四点共圆 解证明 连接db ab是 o的直径 adb 90 在rt abd与rt afg中 abd afe 又 abd acd acd afe c d e f四点共圆 2 若gh 6 ge 4 求ef的长 例3 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 2 ad de 2pb2 证明 由切割线定理得pa2 pb pc 因为pa pd dc 所以dc 2pb bd pb 由相交弦定理得ad de bd dc 所以ad de 2pb2 规律方法 与圆有关的比例线段问题的常见类型及解题策略 1 证明比例线段 或线段乘积 利用相交弦定理或切割线定理证明 2 求线段的长度 可依题已知条件 相交弦定理或切割线定理找到比例线段 进而求线段长度 3 证明三角形相似 可依题设及相交弦定理 切割线定理找到三角形相似的条件即可证明 1 证明 df ef of fp 2 当ab 2bp时 证明 of bf 证明设bp a 由ab 2bp 得ao bo bp a 由相交弦定理得 df ef af bf 所以af bf of fp 所以of a bf a of bf 所以of bf s思想方法感悟提升 2个结论 直线与圆位置关系的两个相关结论 1 切点与圆心的连线与圆的切线垂直 过切点且与圆