tryyghh多元时间序列分析.ppt

第十四章多元时间序列分析 多元时间序列分析是描述几个时间序列之间的关系的分析方法和统计模型的研究 是将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的 向量 自回归模型 多元时间序列模型可以应用多很多学科中 例如工程学 物理学科以及经济学和管理学 平稳时间序列的定义 严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义 它认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间的推移而发生变化时 该序列才能被认为平稳宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性 它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定 所以只要保证序列低阶矩平稳 二阶 就能保证序列的主要性质近似稳定 满足如下条件的序列称为严平稳序列 即平稳向量中观察值不随时间变化而变化满足如下条件的序列称为宽平稳序列 序列均值不依赖时间t 二阶平稳或者协方差平稳 平稳性条件 平稳多元线性过程的线性表达式 沃尔德理论的一个多变量普遍观点认为 如果 是个均值向量为的纯的不确定 也就是不含有一个纯确定性成分过程 这个纯确定性成分过程的未来值可以通过过去值来完美预测 的平稳过程 那么 总是能被表示成输入为白噪声的一个因果线性滤波器的输出 因此 总能被表示为一个无限向量的移动 MA 过程 VMA 表达式如下 向量自回归 VAR 向量自回归 VAR 是将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的 向量 自回归模型 VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型 VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一 并且在一定的条件下 多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型 因此 近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视 VAR模型的特点 不以严格的经济理论为依据 在建模过程中只需明确 VAR模型中包含哪些变量和滞后期pVAR模型对参数不施加零约束 即参数估计值显著与否都被保留在模型中VAR模型估计的参数较多 当样本容量较小时 多数参数的估计量误差较大VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量非限制性VAR模型的应用之一是预测 由于模型右侧不含当期变量 用于预测时不必对解释变量在预测期内的取值作任何预测 VAR p 模型的数学表达式其中 Zt是k维内生变量向量 p是滞后阶数 样本个数为T k k维矩阵A1 Ap是要被估计的系数矩阵 t是k维扰动向量 它们相互之间可以同期相关 但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关 假设 是 t的协方差矩阵 是一个 k k 的正定矩阵 VAR模型 对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行 假如对 矩阵不施加限制性条件 由最小二乘法可得 矩阵的估计量为 VAR模型的估计 其中 由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边 所以不存在同期相关性问题 用普通最小二乘法 OLS 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量 即使扰动向量 t有同期相关 OLS仍然是有效的 因为所有的方程有相同的回归量 其与广义最小二乘法 GLS 是等价的 注意 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除 absorbed 所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格 VAR模型稳定性 VAR模型稳定的条件 特征方程 的所有特征根都落在单位圆之内 等价地 方程 的所有根都落在单位圆之外 如果VAR模型是稳定的 可将其表示为无穷阶的向量滑动平均 VMA 形式 其中 向量自回归移动平均 VARMA 假设上面的VMA模型中的矩阵能被表示成由两个矩阵构成的形式这里它们都是B的有限阶矩阵多项式 代入得到下式 这里的是个均值向量为0和协方差阵的向量白噪声过程一个过程如果满足上式关系 至少对所有大于某个初始时刻t 给定白噪声 而不管 是否平稳的情况下满足 那么这个过程就可以称为一个向量自回归移动平均ARMA p q 过程 平稳性和可逆性 一个向量ARMA p q 如果能表示成形式这里且则它是可逆的 在前面得到的VARMA模型与一元ARMA p q 平稳性与可逆性条件类似自回归部分权数det 0的根的绝对值都大于1 那么该VARMA模型关系的过程 就是平稳的 同样移动平均部分的权数det 0的所有根的绝对值都大于1 那么这个过程是可逆的 由VMA模型的得到VARMA是可表示成形式 对于平稳的ARMA p q 过程无限MA表达式中系数矩阵也就是由关系式决定 而在无限AR表达式中的系数权数由关系式确定 VARMA模型的非唯一性和参数识别 参数的不可识别不会出现在纯AR p 和MA q 模型中 而在VARMA p q 模型中为保证有一个唯一的VARMA表达式和参数可识别 需要对矩阵算子和施加某些约束条件 如在向量表示情况下 可能有两个ARMA表达式 和它们给出了无限MA表达式中同样的系数即同时因此会有同样的协方差矩阵结构 这样的两个ARMA模型表达式被称为观察上等价的 一般的观察上等价的ARMA p q 表达式可能存在 因为AR和MA的矩阵算子能通过共同的左乘矩阵U B 联系起来 如和而这里左乘因子U B 抵消 从而即为从而得到上面的情况 如果和是由无限MA表达式中的脉冲响应矩阵集合唯一的决定或者等价说由平稳情况下协方差矩阵集合唯一决定那么ARMA模型设定和参数是可识别的 向量ARMA模型的梯形标准形式 一般来说向量ARMA p q 模型总是能够用如下等式表达 这里是任意非奇异矩阵 且由此可看出上面等式即为前面得到的VARMA模型左乘得到的 为了保证模型中的参数唯一可识别 要限制的形式 即至少为对角上为1的下三角矩阵 上面的这种形式及被称为ARMA模型的梯形标准形式 使得 有最小的适当行数 用表示 的第i行的次数 即为第i行多项式次数的最大值 这些行阶 也称为克罗内克指数对任何相同类型的ARMA模型来说是唯一的 所以行阶的设定决定了ARMA模型一个唯一的梯形标准形式 未知参数是被唯一识别的 非平稳向量自回归移动平均模型 在实践中遇到的时间序列总是显示出非平稳的趋势 为了将平稳向量ARMA模型推广到非平稳过程 但非爆炸性过程 我们考虑一般的向量ARMA型 这里中一些根的绝对值允许等于1 根小于1则属于爆炸性过程 更特殊的 因为差分算子1 B在单变量模型都起显著的作用 对于非季节性时间序列我们可以只允许一些根等于1 单位根 而其他根都在绝对值上大于1 对于非平稳序列这类模型一个特别的受限形式 这里是一个对角矩阵 d1 dk是非负整数 而且的所有单位根的绝对值大于1 因此 这个模型被称为向量ARIMA模型 简单说明了对每个序列Zt做一个时间 Di 差分使之还原成为一个平稳序列 那么生成的向量序列是一个平稳向量 ARMA p q 的过程 协整过程 一个非平稳向量过程可能每个构成序列是非平稳的 它的差分 1 B 却是平稳的 即一阶单整 某种线性组合是平稳的 在这样的背景下过程称为有协整向量的协整过程 对协整向量的一