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第5章下边界层理论及其近似 5 1 边界层近似及其特征5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程5 3 平板层流边界层的相似解5 4 边界层动量积分方程5 5 边界层的分离现象 5 1 边界层近似及其特征 1 边界层概念的提出 我们已知道 流动Re数 O Reynolds 1883年 英国流体力学家 是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的 根据量级分析 作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为 惯性力 粘性力 惯性力 粘性力 因此 在高Re数下 流体运动的惯性力远远大于粘性力 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的 5 1 边界层近似及其特征 这也是早期发展理想流体力学的重要依据 而且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题 诸如绕流物体的升力 波动等问题 但对绕流物体阻力 涡的扩散等问题 理想流体力学的解与实际相差甚远 且甚至得出完全相反的结论 圆柱绕流无阻力的D Alembert疑题就是一个典型的例子 那么 如何考虑流体的粘性 怎样解决扰流物体的阻力问题 这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题 5 1 边界层近似及其特征 Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层 Boundarylayer 直到1904年流体力学大师德国学者L Prandtl通过大量实验发现 虽然整体流动的Re数很大 但在靠近物面的薄层流体内 流场的特征与理想流动相差甚远 沿着法向存在很大的速度梯度 粘性力无法忽略 5 1 边界层近似及其特征 Prandtl边界层概念的提出 为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径 因为有了它 无粘流的理论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了 另一方面粘流计算限制在薄薄的边界面层内 使纳维 斯托克斯方程得以大大地简化 使许多有实用意义的问题能得到解答 这样粘性流理论也得到了一条新的发展道路 可以说从此以后 才开始有了为飞机服务的现代空气动力学 因此称其为近代流体力学的奠基人 5 1 边界层近似及其特征 普朗特生平简介 普朗特 LudwigPrandtl 1875 1953 德国物理学家 流体力学大师 近代力学奠基人之一 1875年出生于德国弗赖辛 1953年在哥廷根病故 普朗特在流体力学方面的主要贡献有 5 此外还有亚声速相似律 普朗特 葛涝渥法则 和可压缩绕角膨胀流动 普朗特 迈耶尔流动 1 边界层理论 2 风洞实验技术 3 机翼理论 4 湍流理论 普朗特重视观察和分析力学现象 养成了非凡的直观洞察能力 善于抓住物理本质 概括出数学方程 他曾说 我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后 才想到数学方程 方程的用处是说出量的大小 这是直观得不到的 同时它也证明结论是否正确 普朗特指导过81名博士生 著名学者Blasius VonKarman是其学生之一 我国著名的空气动力学专家 北航流体力学教授陆士嘉先生 女 1911 1986 是普朗特正式接受的唯一中国学生 唯一的女学生 5 1 边界层近似及其特征 5 1 边界层近似及其特征 对整个流场提出的基本分区是 1 整个流动区域可分成理想流体的流动区域 势流区 和粘性流体的流动区域 粘流区 2 在远离物体的理想流体流动区域 可忽略粘性的影响 按势流理论处理 3 粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内 称为边界层 既然是粘流区 粘性力的作用不能忽略 与惯性力同量级 流体质点作有旋运动 5 1 边界层近似及其特征 2 边界层的特征 1 边界层定义严格而言 边界层区与主流区之间无明显界线 通常以速度达到主流区速度的0 99倍作为边界层的外缘 由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度 用 表示 2 边界层的有涡性粘性流体运动总伴随涡量的产生 扩散 衰减 边界层就是涡层 当流体绕过物面时 无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源 5 1 边界层近似及其特征 以二维流动为例说明之 此时 物面上的涡源强度为 可以证明在有势力的作用下 二维不可压缩粘性流体的运动流动的涡量在极值点满足下面方程 5 1 边界层近似及其特征 在的极小值点 因而 在的极大值点 因而 这就说明了 在粘性流体中 不均匀的涡量场是不断变化的 涡较强的部分要变弱 而涡较弱的部分要变强 总的说来 趋向于涡量场强度 拉平 就好像旋涡在扩散一样 5 1 边界层近似及其特征 3 边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件 可估算边界层的厚度 以平板绕流为例说明 设来流的速度为U 在x方向的长度为L 边界层厚度为 惯性力 粘性力 由惯性力与粘性力同量级得到 由此可见 在高Re数下 边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度 5 1 边界层近似及其特征 5 1 边界层近似及其特征 5 1 边界层近似及其特征 5 1 边界层近似及其特征 4 边界层各种厚度定义 a 边界层位移厚度 假设某点P处的边界层厚度是 则在的范围内以速度流动的质量流量是 5 1 边界层近似及其特征 其中 为边界层外缘速度 由于粘性的存在 实际流体通过的质量流量为 此处u是边界层中距物面为y处的流速 上述两部份流量之差是 5 1 边界层近似及其特征 这就是设想各点皆以外流速度流动时比实际流量多出来的值 这些多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 其流量写为 从而 这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的 因此 称其为排移厚度或位移厚度 作理想流场模型的外形修正时 应该加上这一位移厚度 5 1 边界层近似及其特征 5 1 边界层近似及其特征 由于粘性的存在 实际流体通过的动量为 上述两项之差表示粘性存在而损失的动量 这部分动量损失用外流流速ue 理想流体 折算的动量损失厚度为 在边界层内 在质量流量不变的条件下 理想流体通过的动量为 b 边界层动量损失厚度 5 1 边界层近似及其特征 c 边界层能量损失厚度 在边界层内 在质量流量不变的条件下 以外流速度 理想流体 通过的动能为 由于粘性的存在 实际流体通过的动能为 上述两项之差表示粘性存在而损失的动能 这部分动能损失用主流流速ue 理想流体 折算的动能损失厚度为 5 1 边界层近似及其特征 上述各种厚度的计算公式 对于不可压缩流体而言 变为 5 1 边界层近似及其特征 a 实际流动中 边界层流动与理想流动是渐近过渡的 边界层的外边界线实际上是不存在的 因此边界层的外边界线不是流线 而是被流体所通过的 允许边界层内流体穿过边界线流动 也就是说 在边界层内流线是相对于边界层的边界是向内偏的 而相对于物面是向外偏的 5 几点说明 5 1 边界层近似及其特征 边界层厚度 位移厚度 动量损失厚度 边界层厚度 能量损失厚度 动量损失厚度 c 边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关 b 边界层各种厚度的定义式 既适用于层流 也适用于湍流 1边界层流动图画粘性流体流经任一物体 例如机翼与机身 的问题 归结为在相应的边界条件下解N S方程的问题 由于N S方程太复杂 在很多实际问题中 不能不作一些近似假设使其简化 以求问题得以近似地解决 简化时 必须符合物理事实 因此首先看看空气流过静止物体 例如翼型 的物理图画 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 流动分为三个区域 1 边界层 N S化简为边界层方程2 尾迹区 N S方程3 位流区 理想流方程 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 2 平壁面上边界层方程 根据Prandtl边界层概念 通过量级比较 可对N S方程组进行简化 得到边界层近似方程 对于二维不可压缩流动 连续方程和N S方程为 选取长度特征L 速度尺度ue 时间尺度t L ue 边界层近似假定 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 1 根据边界层定义 纵向偏导数远远小于横向偏导数 2 法向速度远远小于纵向速度 3 边界层内的压强量级与外流速度的平方成正比 将这些量级关系式代入到N S方程中 得到 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 N S方程组与各项量级比较 两项为同一量级 右括号中第一项比第二项低2个量级可略 边界层内粘性力与惯性力同量级不可忽略 故 的量级为 考虑到 的量级为 2 因此右括号中的最大量级为 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 在高Re数情况下 较小 忽略小量得到 忽略质量力 由第三个方程得到 这说明 在高Re数情况下较薄的边界层内 压力沿法向是不变的 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等 也就是 p与y无关 仅是x和t的函数 即 忽略质量力 Prandtl边界层方程变为 边界条件 对于曲率不大的弯曲物面 上述边界层方程也近似成立 只是要将x和y按上述曲线坐标处理即可 当然如果曲率过大 则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 第一步 求位流解 这时 略去边界层与尾迹 求解理想流体对物体的绕流问题 这个问题已在理想流体力学中解决了 所以 假设物体表面的速度分布已经求得 因边界层很薄 故可视为边界层外边界上的切向速度分布 即在任一坐标x处 时 沿边界层外边界 伯努利方程成立 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 因此 边界层内的压强分布通过位流解得到了 即是一个已知函数 3 定常层流边界层问题解法概述 第二步 考察边界层方程与边界条件 物面 边界层外缘 由于是已知函数 所以这两个方程式中只有两个未知数 故问题是可解的 求解的边界条件是 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 假设已经解出了边界层内速度分布 5 2 平面不可压缩流体层流边界层方程 那么 物体表面的摩擦应力可自下式求出 层流 有了表面摩擦应力分布之后 再通过积分就不难求出物体所受的总的摩擦阻力了 第三步 解法思路 我们的问题就是在上述边界条件之下 求解边界层方程组 下面的布拉休斯解就是一个求解的范例 5 3 平板层流边界层的相似解 1908年 Prandtl学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程 5 3 平板层流边界层的相似解 对于零压强梯度 定常 不可压缩流体平板层流绕流 边界层方程为 相应的边界条件为 5 3 平板层流边界层的相似解 速度的尺度取为 在x方向的尺度为x y方向的尺度为边界层厚度为 z方向的尺度为1 惯性力 粘性力 下面首先分析一下在x处边界层厚度量级 由惯性力与粘性力同量级得到 5 3 平板层流边界层的相似解 上式中的g x 为x处的y方向的尺度参考量 Blasius假设 在平板上边界层内的速度分布具有相似性特征 即 取 引入流函数 由连续方程 式中是的待定函数 5 3 平板层流边界层的相似解 因此 以下列关系式成立 5 3 平板层流边界层的相似解 用 0处边界条件 立刻可以确定 A0 A1 0 代入边界层微分方程 化简后变为 边界条件变为 求上述常微分方程很难 因为它是非线性的 Blasius用无穷级数进行了求解 Blasius假设 其中 为待定系数 将以上诸式代入微分方程 5 3 平板层流边界层的相似解 得 因为上式对任何 值均须满足 故各系数必须分别等于零 即 如此继续做下去 所有诸不等于零之系数A均可以A2来表示 而A2则是一个待定常数 令 5 3 平板层流边界层的相似解 整理后 得 则上述级数可表为一个所有系数都含的无穷级数 就是我们要求的解 但其中尚有一常数待定 此常数可用 的边界条件来确定 布拉休斯定得 从而所求的解完全确定 5 3 平板层流边界层的相似解 其中 由所确定的级数解确定了流函数 也就确定了速度分布 从而就确定了与此相关的其他量 如边界层厚度 剪应力 摩阻系数等 由上解确定的速度分布曲线如图所示 数值结果表明尽管各个位置处的速度型是不同的 但若以 作为自变量 则速度型是一样的 我们称这样的速度分布是相似的 当 5 0时 u V 0 9916 已经十分接近于1 从而可将此 对应的y坐标确定为边界层厚度 5 3 平板层流边界层的相似解 5 3 平板层流边界层的相似解 由此可得 1 边界层厚度 2 边界层位移厚度 3 边界层动量损失厚度 5 3 平板层流边界层的相似解 4 壁面切应力 5 壁面当地摩擦阻力系数 6 平均壁面摩擦总阻力系数 其中为平板的一个面所受的总摩擦阻力 S为平板面积 5 4 边界层动量积分方程 边界层动量积分关系式是由Karman在1921导出的 对近似求解边界层特性具有重要作用 适应于层流边界层和湍流边界层 在边界层内任取一控制体 控制体长度为dx 控制面为Aab Abc Acd Ada 现对控制体应用动量定律 可得由Aab面流入控制体的质量为 由Acd面流出控制体的质量为 5 4 边界层动量积分方程 根据质量守恒定律 通过Abc流入控制体的质量为 由Aab面流入控制体的动量为 由Acd面流出控制体的动量为 通过Abc流入控制体的动量在x方向的分量为 5 4 边界层动量积分方程 在Aab面上的作用力为 以下均指x方向分量 在Acd面上的作用力为 在Abc面上的力为 在Aad面上的切应力为 5 4 边界层动量积分方程 现对控制体建立x方向的动量方程为 整理后 得 由于 5 4 边界层动量积分方程 又由Bernoulli方程 可得 即 动量关系写为 或 这就是边界层动量积分方程 卡门积分关系式 是一个一阶常微分方程 适应于层流和湍流边界层 5 4 边界层动量积分方程 如果写成无量纲形式 有 上式可改写为 动量积分方程含有三个未知数 位移厚度 动量损失厚度 壁面切应力 因此 必须寻求补充关系 积分求解 由于三个未知量都取决与边界层的速度分布 因此只要给定速度分布 就可以求解 该方法的精度取决于边界层内速度分布的合理性 5 4 边界层动量积分方程 通常假定 边界层内速度分布为 确定系数的条件为 5 4 边界层动量积分方程 5 4 边界层动量积分方程 下面介绍利用动量积分关系式解边界层问题的求解过程 以平板边界层为例 假设速度型如下 式中 待定的诸系数由下述边界条件来确定 物面条件为 边界层边界处的条件为 由这四个条件 定得四个系数为 于是 速度分布成为 由牛顿粘性定律 下面求解积分关系式 因为求的是平板边界层的解 故 积分关系式为比较简单的形式 5 4 边界层动量积分方程 将速度分布代入动量厚度表达可得 将上述关系代入动量积分关系式可得 边界条件为 x 0时 0 对平板边界层 取 积分上式 得平板边界层的厚度 沿板长的变化规律是 这个结果与勃拉休斯精确解结果相差不大 5 4 边界层动量积分方程 将 0及 代入上式积分得 单面平板的摩阻系数为 与勃拉休斯解相差也不大 5 4 边界层动量积分方程 作用在宽度为b 垂直于纸面的尺寸 长度为l的单面平板上的摩擦力为 5 6 边界层的分离现象 对于理想流体 流体微团绕过圆柱时 在OM段为加速减压区 压能转化为动能 在MF段为减速增压区 动能减小压能增加 1 边界层分离现象 边界层中的流体质点受惯性力 粘性力和压力的作用 粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动 使流体质点减速 失去动能 压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状 顺压梯度有助于流体加速前进 而逆压梯度阻碍流体运动 下面以圆柱绕流为例说明边界层的分离现象 在分离点下游的区域 受逆压梯度的作用而发生倒流 分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点 在分离点附近和分离区 由于边界层厚度大大增加 边界层假设不再成立 5 6 边界层的分离现象 对于粘性流体 在上述能量的转化过程中 由于粘性的作用 边界层内的流体质点将要克服粘性力作功而消耗机械能 微团在逆压区 不可能到达F点 而是在MF段中的某点处微团速度降为零 以后来的质点将改道进入主流中 使来流边界层与壁面分离 5 6 边界层的分离现象 边界层分离的必要条件是 逆压梯度和物面粘性的阻滞作用 5 6 边界层的分离现象 仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度 不会发生边界层的分离 因为无反推力使边界层流体进入到外流区 这说明 顺压梯度的流动不可能发生边界层分离 只有逆压梯度而无粘性的剪切作用 同样也不会发生分离现象 因为无阻滞作用 运动流体不可能消耗动能而滞止下来 如果从前驻点起按流线的形状加一块薄板向前伸去 见右图 这时气流的减速是贴着物面进行的 物面产生的剪切边界层在如此大的逆压梯度下就会分离 逆压无剪切 不分离逆压有剪切 可能分离 5 6 边界层的分离现象 左图是粘流流到前驻点的情况 是个减速过程 气流在减速过程中既无损失也不会分离 5 6 边界层的分离现象 气流绕翼型的流动与边界层分离现象 需要指出的是 逆压梯度和壁面粘性剪切的阻滞作用是边界层分离的必要条件 但不是充分的 也就是说只有在一定的逆压梯度下 才有可能发生分离 翼型小攻角时不分离流谱 5 6 边界层的分离现象 翼型大攻角时分离流谱 5 6 边界层的分离现象 5 6 边界层的分离现象 顺压梯度时边界层变薄 不分离 5 6 边界层的分离现象 逆压梯度时边界层增厚可能分离 5 6 边界层的分离现象 无压强梯度时边界层虽然变厚 但一般不分离 5 6 边界层的分离现象 相同逆压梯度下湍流边界层 下 抵抗分离的能力强于层流边界层 上 5 6 边界层的分离现象 同一扩压段中层流边界层与湍流边界层流态的对比 层流边界层在一定逆压下分离 湍流边界层能够抵抗一定的逆压梯度而不分离 较大逆压下仍然会分离 5 6 边界层的分离现象 5 6 边界层的分离现象 现在我们可以理解 麻的高尔夫球之所以比光的高尔夫球打得更远的物理原因在于 麻面使层流边界层很快转捩成为湍流边界层 湍流的横向输运特性使其具有较饱满的速度型和抵抗逆压梯度的能力 因此麻面高尔夫球具有较小的分离尾迹和流动阻力 5 6 边界层的分离现象 5 6 边界层的分离现象 2 在不同压力梯度区边界层的速度分布特征 根据边界层方程 在壁面上 压力梯度对边界层内流动速度分布产生一定的影响 对于顺压梯度的情况 有 对于逆压梯度的情况 有 5 6 边界层的分离现象 对于零压梯度的情况 有 由此可见 随着压力梯度的变号 边界层速度分布的曲率将改变符号 根据理想流结果 绕过如图曲面时速度将经历从加速达到最大然后减速的过程 对应的压强也会从顺压变化为逆压 从而边界层速度分布的曲率也将改变 5 6 边界层的分离现象 对于顺压梯度区 压力沿程减小 速度沿程增加 在壁面处 u关于y是凸曲线 另一方面 在