福建省长泰一中高考数学一轮复习《直线与直线的位置关系》学案.doc

第2课时 直线与直线的位置关系基础过关（一）平面内两条直线的位置关系有三种_1当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：a1xb1yc10l2：a2xb2yc20平行重合相交(垂直)2当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1p(x0，y0)到直线axbyc0 的距离为_2直线l1l2，且其方程分别为：l1：axbyc10 l2：axbyc20，则l1与l2的距离为 典型例题例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1l2时，求a的值.解（1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时，两直线可化为l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 综上可知，a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行. 方法二 由a1b2-a2b1=0，得a（a-1）-12=0，由a1c2-a2c10，得a(a2-1)-160, l1l2a=-1, 故当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a1时，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由=-1a=. 方法二 由a1a2+b1b2=0，得a+2(a-1)=0a=.（4）当 = 且5= 时，即a=2且b=10或a= 2且b=10时，两直线重合例2. 已知直线l经过两条直线l1：x2y0与l2：3x4y100的交点，且与直线l3：5x2y30的夹角为，求直线l的方程解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，1)，因为直线l3的斜率为k3，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y1k(x2)则tan1k或k，故所求直线l的方程为y1(x2)或y1(x2)即7x3y110或3x7y130变式训练2. 某人在一山坡p处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高bc=80（米），塔所在的山高ob=220（米），oa=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点p在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角bpc最大（不计此人的身高）？解 如图所示，建立平面直角坐标系，则a（200，0），b（0，220），c（0，300）.直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.设点p的坐标为（x,y），则p（x, ）(x200).由经过两点的直线的斜率公式kpc=,kpb=.由直线pc到直线pb的角的公式得tanbpc= (x200).要使tanbpc达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式x+-2882-288,当且仅当x=时上式取得等号.故当x=320时，tanbpc最大.这时，点p的纵坐标y为y=60.由此实际问题知0bpc,所以tanbpc最大时，bpc最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角bpc最大.例3. 直线y2x是abc中c的平分线所在的直线，若a、b坐标分别为a(4，2)、b(3，1)，求点c的坐标并判断abc的形状解：因为直线y2x是abc中c的平分线，所以ca、cb所在直线关于y2x对称，而a(4, 2)关于直线y2x对称点a1必在cb边所在直线上设a1(x1，y1)则 得即a1(4, 2)由a1(4, 2)，b(3, 1)求得cb边所在直线的方程为：3xy100又由 解得c(2, 4)又可求得：kbc3，kackbckac1，即abc是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。解：ar且a1，a-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。（2）若l1l2，则-1 = - ，a=1。（3）若l1l3，则-1 = - a，a=1。（4）若l2l3，则- = -a，a= 1。）例4. 设点a(3，5)和b(2，15)，在直线l：3x4y40上找一点p，使为最小，并求出这个最小值解：设点a关于直线l的对称点a的坐标为(a，b)，则由aal和aa被l平分，则解之得a3，b3，a(3，3)(|pa|pb|)min|ab|5kab18ab的方程为y318(x3)解方程组得p(，3)变式训练4：已知过点a（1，1）且斜率为m(m0)的直线l与x、y轴分别交于p、q两点，过p、q作直线2xy0的垂线，垂足分别为r、s，求四边形prsq的面积的最小值解：设l的方程为y1m(x1)，则p（1，0），q（0，1m）从则直线pr：x2y0；直线qs：x2y2(m1)0 又prqs | rs |又| pr |，| qs |而四边形prsq为直角梯形， sprsq()(m)2(2)23.6 四边形prsq的面积的最小值为3.6小结归纳1处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为o与斜率不存在的两种直线垂直2注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决3利用直