高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第4讲 与函数的零点相关的问题课件 理.ppt

第4讲与函数的零点相关的问题 考向分析 核心整合 热点精讲 阅卷评析 考向分析 考情纵览 真题导航 a 1 2015安徽卷 理2 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 a y cosx b y sinx c y lnx d y x2 1 解析 y cosx是偶函数 且存在零点 y sinx是奇函数 y lnx既不是奇函数又不是偶函数 y x2 1是偶函数 但不存在零点 故选a d 3 2014新课标全国卷 理11 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 c 答案 0 1 6 2015广东卷 理19 设a 1 函数f x 1 x2 ex a 1 求f x 的单调区间 2 证明 f x 在 上仅有一个零点 1 解 函数f x 的定义域为r 因为f x 2x ex 1 x2 ex x2 2x 1 ex x 1 2ex 0 所以函数f x 在r上单调递增 即f x 的单调递增区间为 无单调递减区间 2 证明 因为a 1 所以f 0 1 a0 所以f 0 f lna 0 由零点存在性定理可知f x 在 0 lna 内存在零点 又由 1 知f x 在r上单调递增 故f x 在 上仅有一个零点 备考指要 1 怎么考对函数零点的考查主要集中在以下两个方面 一是结合函数零点的存在性定理或函数图象 对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断 及判断函数零点所在的区间 二是利用零点 方程实根 的存在求相关参数的值或取值范围 多以选择 填空题的形式出现 有时呈现在函数与导数的解答题里面 难度中等偏上 2 怎么办复习备考时应理解函数的零点 方程的根 函数图象与x轴有交点的等价性 掌握函数零点存在性定理 注重培养函数与方程思想 数形结合的思想及等价转化思想的应用意识 核心整合 函数的零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x 轴有交点 函数y f x 有零点 温馨提示 1 函数零点不是一个 点 而是函数图象与x轴交点的横坐标 2 当函数y f x 在 a b 内有零点时 不一定有f a f b 0 热点精讲 热点一 函数零点的个数问题 方法技巧 1 判断函数y f x 零点个数的常用方法 直接法 令f x 0 则方程实根的个数就是函数零点的个数 零点存在性定理法 判断函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 可确定函数的零点个数 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 画出两个函数的图象 其交点的个数就是函数零点的个数 2 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离得a f x 再转化成求函数f x 值域问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形 再在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 答案 1 b 2 2015山东枣庄三模 函数f x ax 1 2a在区间 1 1 上存在一个零点 则实数a的取值范围是 热点二 确定函数零点所在的区间 方法技巧确定函数f x 的零点所在区间的常用方法 1 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 2 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 提醒 在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点 在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性 2 因为a0 f b b c b a 0 所以f a f b 0 f b f c 0 故选a 热点三 利用导数解决与函数有关的方程根 函数零点 问题 例3 2015河南省六市3月第一次联合调研 设函数f x x2 a 2 x alnx 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 有两个零点 求满足条件的最小正整数a的值 方法技巧 1 利用导数研究高次式 分式 指数式 对数式方程根的个数问题的一般思路 将问题转化为函数零点的个数问题 进而转化为函数图象交点的个数问题 利用导数研究该函数在给定区间上的单调性 极值 最值 端点值等性质 画出函数的大致图象 结合图象求解 2 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 在该区间上构造与方程相应的函数 利用导数研究该函数在该区间上的单调性 判断该函数在该区间端点处的函数值异号 作出结论 解 1 函数的定义域为r f x ex a 由函数f x 在x 0处取得极值 则f 0 1 a 0 解得a 1 即有f x ex x 1 f x ex 1 当x0时 有f x 0 f x 递增 则x 0处f x 取得极小值 也为最小值 且为2 又f 2 e 2 3 f 1 e f 2 f 1 即有最大值为e 2 3 2 若函数f x 不存在零点 求实数a的取值范围 备选例题 例1 2015天津河西区二模 函数f x x2 4x 2lnx 5的零点个数为 a 3 b 2 c 1 d 0 解析 函数f x x2 4x 2lnx 5的零点个数即函数y x2 4x 5与函数y 2lnx的交点的个数 作函数y x2 4x 5与函数y 2lnx的图象如下 结合图象可得 函数f x x2 4x 2lnx 5的零点个数为2 故选b 例2 2015泉州3月质检 曲线y ex与直线y 5 x交点的纵坐标在区间 m m 1 m z 内 则实数m的值为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 列出下列自变量与函数值的数表 考查数表中x值的大小变化对应的y值的范围 得曲线y ex与直线y 5 x交点的纵坐标y 3 4 则m 3 故选c 例3 2014四川卷 已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b r e 2 71828 为自然对数的底数 1 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 2 若f 1 0 函数f x 在区间 0 1 内有零点 求a的取值范围 阅卷评析 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x