高中数学必修2第三章单元复习教案.doc

必修2第三章 单元复习教学目标：1.能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程；2.熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化.教学重点、难点：分析题意，确定适当的解题方法课 型：复习课.教学过程一、知识回顾1.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0.可见，直线倾斜角的取值范围是0180.（2）直线的斜率 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan（90）.倾斜角是90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，其取值范围是（，+）.（3）直线的方向向量设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.（4）求直线斜率的方法定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，则斜率k=.方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.斜率的图象如下图.对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角=90；当x1x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k0时，=arctank，k0时，=+arctank.2.直线方程的五种形式（1）斜截式：y=kx+b.（2）点斜式：yy0=k（xx0）.（3）两点式：=.（4）截距式：+=1.（5）一般式：Ax+By+C=0.二、例题讲解例1直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的倍，求直线的方程。分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解.解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线的方程为， 直线过点， ， 直线的方程为，即.（2）当截距为零时，则直线过原点，设其方程为，将代入上式，得，所以，直线的方程为，即，综合（1）（2）得，所求直线的方程为或.例2已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程。解：如图，当时，代入中，得，由两点式，得的方程为：. 当时，代入中，得，由两点式，得的方程为：，所以，的方程为或例3过点作直线，分别交轴、轴的正半轴于点，若的面积最小，试求直线的方程。【分析一】设出直线的点斜式方程，分别求出它在轴、轴的正半轴上的截距，将的面积表示为的函数，通过求该函数的最小值确定出相应的值。（解法一）设直线的方程为，令，得，故，令，得，故，由题意知，所以，的面积， ，从而，当且仅当，即（舍去）时，所以，直线的方程为，即.【分析二】由于的面积可以表示为在轴、轴上的截距的绝对值的一半，所以可以用直线的截距式设出直线的方程。（解法二）设直线的方程为，点在直线上，即， ，的面积 ，当且仅当，即（舍去）时，所以，直线的方程为，即.例4求过点且被两直线：，:所截得的线段长为的直线的方程。解：如图，设所求直线分别交、于点， ， 、之间的距离|=，由已知|， ，即所求直线与（或）的夹角为，设所求直线的斜率为，则有：，解之得，或，所以，所求直线的方程为或，即或例5 已知直线，(1)求点关于对称的点；(2)求关于点对称的直线方程分析：由直线垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程解(1)设，由于，且中点在上，有，解得(2)在上任取一点，如，则关于点对称的点为所求直线过点且与平行，方程为，即说明：点关于直线：（不全为零）对称问题，设对称点为,则根据是线段的垂直平分线，即且的中点在直线上，得,应满足的方程组为：，由此解得点的坐标.结论：，特别地，若对称轴的方程为，则任意一点关于它的对称点的坐标为，这相当于从对称轴方程中解出所得到的.我们还可以把上述结论进一步推广：（1）点关于直线的对称点的坐标为；（2）点关于直线的对称点的坐标为上述“代换法则”仅对对称轴的斜率为时才适用，且只能用于选择题和填空题中，它可以作为检验的手段。例6一条光线经过点射在直线上，反射后，经过点，求光线的入射线和反射线所在的直线方程分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线的对称点解：入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称，设点关于直线对称点的坐标为，因此的中点在直线上，且所在直线与直线垂直，所以，解得反射光线经过两点，反射线所在直线的方程为由得反射点入射光线经过两点，入射线所在直线的方程为例7已知定点，在直线和上分别求点和点，使的周长最短，并求出最短周长简解：，周长三、课堂练习1求点关于直线的对称点的坐标。解：设点的坐标为，即 设线段的中点为，则，点在直线上， ，即 联立、，解得， 点的坐标为.2已知直线：， ：，求直线关于直线对称的直线的方程。解：（法一）由，得，过点，又，显然是直线上一点，设关于直线的对称点为，则有，解之得，即，直线经过点、，由两点式得它的方程为（法二）由解法一知，与的交点为，设直线的斜率为，且与的斜率分别为和，到的角等于到的角， =， ，所以，直线的方程为，即 （法三）设是直线上的任意一点，点关于直线的对称点为，坐标为，则，解得， 即点，点在直线上，将它的坐标代入直线的方程得，即为直线的方程。说明：从上例可以看出，直线的对称问题可以归结为点的对称问题。四、课堂小结求直线方程的基本思路是“选标准，定参数”，即根据已知条件选择适当的直线方程的形式，再确定其中的参数，进而求出方程。五、作业布置1已知点，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围；2求经过两