高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件.ppt

第八章平面解析几何 8 3圆的方程 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 圆的定义在平面内 到定点的距离等于的点的叫圆 2 确定一个圆最基本的要素是和 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中为圆心 为半径 4 圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0表示圆的充要条件是 其中圆心为 半径r 定长 集合 圆心 半径 a b r d2 e2 4f 0 知识梳理 1 知识梳理 1 知识梳理 1 答案 知识梳理 1 5 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f代入标准方程或一般方程 6 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 1 点在圆上 2 点在圆外 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 4 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 答案 思考辨析 答案 1 x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 d 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 d 解析答案 1 2 3 4 5 a 解析答案 1 2 3 4 5 4 圆c的圆心在x轴上 并且过点a 1 1 和b 1 3 则圆c的方程为 解析设圆心坐标为c a 0 点a 1 1 和b 1 3 在圆c上 ca cb 圆心为c 2 0 圆c的方程为 x 2 2 y2 10 x 2 2 y2 10 解析答案 1 2 3 4 5 5 2015 湖北 如图 已知圆c与x轴相切于点t 1 0 与y轴正半轴交于两点a b b在a的上方 且 ab 2 1 圆c的标准方程为 解析答案 1 2 3 4 5 2 圆c在点b处的切线在x轴上的截距为 解析答案 1 2 3 4 5 返回 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 解析由题意知圆过 4 0 0 2 0 2 三点 4 0 0 2 两点的垂直平分线方程为y 1 2 x 2 求圆的方程 题型一 解析答案 2 根据下列条件 求圆的方程 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 解设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 又令y 0 得x2 dx f 0 设x1 x2是方程 的两根 由 x1 x2 6有d2 4f 36 由 解得d 2 e 4 f 8 或d 6 e 8 f 0 故所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0 或x2 y2 6x 8y 0 解析答案 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 故圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 方法二设所求方程为 x x0 2 y y0 2 r2 因此所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 解析答案 思维升华 思维升华 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 1 2014 陕西 若圆c的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆c的标准方程为 解析由题意知圆c的圆心为 0 1 半径为1 所以圆c的标准方程为x2 y 1 2 1 x2 y 1 2 1 跟踪训练1 解析答案 2 过点a 4 1 的圆c与直线x y 1 0相切于点b 2 1 则圆c的方程为 解析由已知kab 0 所以ab的中垂线方程为x 3 过b点且垂直于直线x y 1 0的直线方程为y 1 x 2 即x y 3 0 所以圆c的方程为 x 3 2 y2 2 x 3 2 y2 2 解析答案 命题点1斜率型最值问题 解析答案 与圆有关的最值问题 题型二 则圆心 2 0 到直线y kx的距离为半径时直线与圆相切 斜率取得最大 最小值 命题点2截距型最值问题 例3在例2条件下 求y x的最小值和最大值 解析答案 命题点3距离型最值问题 例4在例2条件下 求x2 y2的最大值和最小值 解x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 如图 解析答案 思维升华 思维升华 1 设p是圆 x 3 2 y 1 2 4上的动点 q是直线x 3上的动点 则 pq 的最小值为 a 6b 4c 3d 2解析 pq 的最小值为圆心到直线的距离减去半径 因为圆的圆心为 3 1 半径为2 所以 pq 的最小值d 3 3 2 4 b 解析答案 跟踪训练2 2 已知m为圆c x2 y2 4x 14y 45 0上任意一点 且点q 2 3 求 mq 的最大值和最小值 解由圆c x2 y2 4x 14y 45 0 可得 x 2 2 y 7 2 8 解析答案 解析答案 例5设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 解析答案 思维升华 与圆有关的轨迹问题 题型三 又n x 3 y 4 在圆上 故 x 3 2 y 4 2 4 因此所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 思维升华 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆 直线等定义列方程 几何法 利用圆的几何性质列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 已知圆x2 y2 4上一定点a 2 0 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 解设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 跟踪训练3 解析答案 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 解设pq的中点为n x y 连接bn 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 解析答案 返回 思想与方法系列 典例在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思维点拨本题可采用两种方法解答 即代数法和几何法 思想与方法系列 19 利用几何性质巧设方程求半径 思维点拨 解析答案 返回 巧妙解法 温馨提醒 规范解答 故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0 巧妙解法 温馨提醒 所以圆c的方程为 x 3 2 y 1 2 9 温馨提醒 巧妙解法 温馨提醒 1 一般解法 代数法 可以求出曲线y x2 6x 1与坐标轴的三个交点 设圆的方程为一般式 代入点的坐标求解析式 2 巧妙解法 几何法 利用圆的性质 知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上 从而设圆的方程为标准式 简化计算 显然几何法比代数法的计算量小 因此平时训练多采用几何法解题 返回 思想方法感悟提高 1 确定一个圆的方程 需要三个独立条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 2 解答圆的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 方法与技巧 1 求圆的方程需要三个独立条件 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 2 过圆外一定点 求圆的切线 应该有两个结果 若只求出一个结果 应该考虑切线斜率不存在的情况 失误与防范 返回 练出高分 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆的方程为x2 y2 2 解析答案 2 设圆的方程是x2 y2 2ax 2y a 1 2 0 若0 a 1 则原点与圆的位置关系是 a 原点在圆上b 原点在圆外c 原点在圆内d 不确定解析将圆的一般方程化成标准方程为 x a 2 y 1 2 2a 因为0 a 1 所以 0 a 2 0 1 2 2a a 1 2 0 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以原点在圆外 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以圆m的方程为 x 1 2 y2 4 答案b 4 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 4c x 4 2 y 2 2 4d x 2 2 y 1 2 1 解析设圆上任一点坐标为 x0 y0 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 过点p 1 1 的直线 将圆形区域 x y x2 y2 4 分为两部分 使得这两部分的面积之差最大 则该直线的方程为 a x y 2 0b y 1 0c x y 0d x 3y 4 0解析两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短 此时直线方程与op垂直 kop 1 则所求直线斜率为 1 故所求直线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 若圆c经过坐标原点和点 4 0 且与直线y 1相切 则圆c的方程是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 解析答案 8 2014 湖北 已知圆o x2 y2 1和点a 2 0 若定点b b 0 b 2 和常数 满足 对圆o上任意一点m 都有 mb ma 则 1 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 一圆经过a 4 2 b 1 3 两点 且在两坐标轴上的四个截距的和为2 求此圆的方程 解设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 令y 0 得x2 dx f 0 所以x1 x2 d 令x 0 得y2 ey f 0 所以y1 y2 e 由题意知 d e 2 即d e 2 0 又因为圆过点a b 所以16 4 4d 2e f 0 1 9 d 3e f 0 解 组成的方程组得d 2 e 0 f 12 故所求圆的方程为x2 y2 2x 12 0 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解设p x y 圆p的半径为r 则y2 2 r2 x2 3 r2 y2 2 x2 3 即y2 x2 1 p点的轨迹方程为y2 x2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设p的坐标为 x0 y0 y0 x0 1 即y0 x0 1 圆p的方程为x2 y 1 2 3 解析答案 圆p的方程为x2 y 1 2 3 综上所述 圆p的方程为x2 y 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 2 2 y 1 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 若圆x2 y 1 2 1上任意一点 x y 都使不等式x y m 0恒成立 则实数m的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析据题意圆x2 y 1 2 1上所有的点都在直线x y m 0的右上方 解析答案 14 已知点a 3 0 b 3 0 动点p满足 pa 2 pb 1 若点p的轨迹为曲线c 求此曲线的方程 解设点p的坐标为 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 化简可得 x 5 2 y2 16 此即为所求 解析答案 2 若点q在直线l1 x y 3 0上 直线l2经过点q且与曲线c只有一个公共点m 求 qm 的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解曲线c是以点 5 0 为圆心 4为半径的圆 如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由直线l2是此圆的切线