初中常用数学方法.doc

李艳成老师精品教辅资料助你走上优生之路常用数学方法1已知x，y同时满足：x2+y220和xy4，试求xy的值2用配方法解方程：x23x+20 x2+4x1603已知x2+y22x+6y+100，求x+y的值？4 若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式，则单项式M_(写出一个即可)5 若反比例函数y的图象经过点(2，3)，则这个反比例函数的表达式为_ 6点P是ABC中AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截ABC，使截得的三角形与ABC相似满足这样条件的直线最多有_条7已知两个分式：，其中，则A与B 的关系是() A相等B互为倒数C互为相反数DA大于B8 y是反比例函数，则m 9如图是一次函数y1kx+b和反比例函数y2的图象，观察图象写出y1y2时，的取值范围10 解分式方程：11 用换元法解方程：时，若设，则原方程可化为 12先化简(1+ )，再选择一个恰当的x值代人并求值13 抛物线y x2+ax+4与x轴只有一个交点，求a的值14已知关于x的方程的一个解与方程的解相同求k的值；求方程的另一个解15 基公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价145万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元(1)该公司有哪几种进货方案?(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润? 最大利润是多少?(3)若用(2)中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案16某文具店销售的水笔只有A、B、C三种型号，下面表格和统计图分别给出了上月这三种型号水笔每支的利润和销售量A、B、C三种水笔每支利润统计表 A、B、C三种水笔销售量统计图 (1)分别计算该店上月这三种型号水笔的利润，并将利润分布情况用扇形统计图表示；(2)若该店计划下月共进这三种型号水笔600支，结合上月销售情况，你认为A、B、C三种型号的水笔各进多少支总利润最高？此时所获得的总利润是多少？ 17已知ABC的面积为16，线段AB，BC，CA的中点分别为A1，B1，C1，设A1B1C1的面积为S1；线段A1B1，B1C1，C1A1的中点分别为A2，B2，C2，设A2B2C2的面积为S2；求S2002的值18一条直线将一个平面分为两部分；两条直线可以将一个平面分为3部分，也可以分为4部分；3条直线可以将一个平面分为4部分，或6部分，或7部分试讨论10条直线最多可以将一个平面分为几部分？n条直线呢？19已知二次函数的图象过原点O，顶点B的坐标为(1，1)，开口向上在图象上有一点A，使AOB90，求点A的坐标20通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示注意力越集中)当0x10时，图象是抛物线的一部分，当10x20和20x40时，图象是线段当0x10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；一道数学综合题，需要讲解24分钟问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36常用的数学思想(1)1如图1，梯形ABCD中，ADBC，DCBC，AB8，BC5若以AB为直径的O与DC相切于E，则DC 2二元二次方程组的解是 3已知：如图3，扇形AOB中，AOB45，AD4cm，弧CD3cm，则图中阴影部分的面积是 (结果保留)4在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数 5已知：如图5，直角梯形ABCD中，ADBC，BCCD4，BCD60，则梯形的中位线长为 第1题图第3题图第5题图第8题图 6解方程组时，若设，则方程组变为 ；若把、看作某关于z的一元二次方程的两根，则方程组变为 7已知a是方程x24x+10两根的比例中项，且a为正值，负数b是方程x2+10x+40两根的比例中项，则ab 第9题图8如图8，P为O外一点，PA与PB切O于AB点，PB4cm，EF切O于C点，交PA，PB于E、F点，则EFP的周长等于 9如图，矩形ABCD中，BC2， DC 4以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 10近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格11如图11(单位：m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为yADLBC101010第11图(1)写出y与x的关系式；(2)当x2，35时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？12如图，在ABC中，ABAC1，点D，E在直线BC上运动设BDx， CEy(1)如果BAC30，DAE105，试确定y与 x之间的函数关系式；第9题图(2)如果BAC，DAE，当，满足怎样的关系时，(1)中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由13已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A， B两个不同的点(l)试判断哪个二次函数的图象经过A， B两点； (2)若A点坐标为(1， 0)，试求B点坐标； (3)在(2)的条件下，对于经过A， B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？14下列图形中，图(a)是正方体木块，把它切去一块，得到如图(b)(c)(d)(e)的木块(1)我们知道，图(a)的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图(b)、(c)、(d)、(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：图号顶点数x棱数y面数z(a)8126(b)(c)(d)(e)(2)上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式15如图，从O外一点A作O的切线ABAC，切点分别为BC，且O直经BD6，连结CD，AO(1)求证：CDAO；第9题图(2)设CDx，AOy，求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD11，求AB的长16如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD24 cm，AB25 cm若的长为底面周长的，如图2所示(1)求O的半径； 图1图2 (2)求这个圆柱形木块的表面积(结果可保留p 和根号) 17如图，已知抛物线L1： yx24的图像与x有交于AC两点，(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与AC重合)，以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上； (3)探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由第17题图18为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离(开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离)与汽车行驶速度(开始刹车时的速度)的关系，以便及时刹车下表是某款车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：行驶速度(千米时)停止距离(米)(1)设汽车刹车后的停止距离(米)是关于汽车行驶速度(千米时)的函数，给出以下三个函数：；，请选择恰当的函数来描述停止距离(米)与汽车行驶速度(千米时)的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；(2)根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为米，求汽车行驶速度 常用的数学思想方法(2)1a、b、c在数轴上的位置如图所示：且ab，ca+cb+a+b 2已知在坐标平面中，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是 3等腰梯形中位线长为a，对角线互相垂直，则此梯形的面积是 4当式子的值为零时，x的值是 5已知圆的弦把圆周分为15两部分，则弦所对的圆周角的度数是 6已知O的半径为25cm，O的两条平行弦AB40cm，CD48cm，求这两条平行弦间的距离是 7RtABC的两条边为3和4，则第三条边是 8若三角形的三边都为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的另两边的长可能是 9A，B两点在直线外，且A，B两点到直线的距离为4cm、8cm，则线段AB的中点到直线的距离是 10O的半径是1，弦AB，弦AC，则 11已知两圆的半径分别是5和6，且两圆相切，则圆心距是 12已知两圆相交，且公共弦为8，圆心距是6，若一圆半径为5，则另一圆的半径是 13已知：3，2，且xy0，则x+y的值等于 14设为实数，下列四个命题中正确的有 (添代号)：若a+b0，则 若+0，则ab0若a2+b20，则ab0 若0，则ab015无论m为何实数，直线yx+2m与yx+4的交点不可能在 ( )A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限16已知点M(1a，a+2)在第二象限，则a的取值范围是 ( )Aa2 B2a1 Ca2 Da117在频率分布直方图中，小长方形的面积等于 ( )A相应各组的频数 B组数 C相应各组的频率 D组距18某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(小时)之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题：(1)机动车行驶几小时后加油？答： 小时；(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式是： 此函数自变量t的取值范围是；(3)中途加油升；(4)如果加油站离目的地还有230公里，车速为40公里/小时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 19某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示)若已知OP3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米(1)求这条抛物线的解析式；(2)若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ABFDEC20如图，四边形ABCD是正方形，E是CD中点，F是BC上一点，则能使ABF与ECF相似的条件是什么？21已知二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A，B，与y轴交于点C，(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求过B，C两点的一次函数解析式；(3)如果P(x，y)是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求POA的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(4)是否存在这样的点P，使得POAO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由22如图，已知RtOAB的斜边在x轴的正半轴上，直角顶点B在第一象限，OA5，OB求A，B两点的坐标；求经过O，A，B三点的抛物线的解析式，并确定抛物线顶点的坐标 23已知：如图，在直角坐标系中，C与y轴相切于点O，且C点的坐标为(1，0)，直线l过点A(1，0)与C切于D点(1)求直线的解析式；(2)在直线上存在点P，使APC为等腰三角形，求P点的坐标。常用的数学方法答案1解： xy4两边平方得x2+y22xy16又：x2+y220 xy22x1， x2 x2 3 2 4答案不惟一，如：b25 64 7C 8 1 9 2x0或x310解：去分母，得 去括号，得 移项合并，得 系数化为1，得 x 2 经检验 x 2 是原方程的根 原方程的根为x 2 11 12解：原式(+) x+1 x取不等于l，O，1的其他值，求值正确即可13 14 (1) 经检验是原方程的解 把代入方程 解得k3 (2)解，得，x21 方程的另一个解为x1 15解：(1)设购进甲种商品茗件，乙种商品(20x)件 19012x+8(20x)200 解得75x10 x为非负整数， x取8，9，lO 有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件购甲种商品9件，乙种商品ll件 购甲种商品lO件，乙种商品10件 (2)购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润 最大利润是45万元 (3)购甲种商品l件，乙种商品4件时，可获得最大利润16解：(1)A型水笔的利润为 06300 180(元) B型水笔的利润为 05600 300(元) C型水笔的利润为 12100 120(元) 扇形统计图如图所示： (2)设A型笔x支，B型笔y支，则C型笔(600xy)总利润72006x07y，x300，y600，600xy100，解得x300，y200x要尽量小，y要尽量大才能使总利润最大，当x300，y200时，总利润最大进A型水笔300支，B型水笔200支，C型水笔100支，总利润最高此时所获得的总利润为 300060+200050+100120 400(元)17S2002()200216()200018记第n条直线最多将一平面分成an部分，则a12，a242+2，a374+3，a4117+4，可推得an+1an+n，从而a1056，19提示：先用待定系数法求二次函数的解析式为yx22x由Box45 ，可得Aox45即点A在第一象限的角平分线上，可求得A(3，3)20 解(1)设0x10时的抛物线为yax2+bx+c由图象知抛物线过(0，20)，(5，39)，(10，48)三点解得 ，(0x10) (2)由图象知，当20x40时， 当0x10时，令y36，得解得x14，x220(舍去)当20x40时，另y36，得解得 424 老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题常用的数学思想(1)答案12 2 ； 314 4或者 53 6 ； 73 88cm 910解：设今年5月份汽油价格为x元升，则去年5月份的汽油价格为(x18)元升根据题意，得 整理，得 x2 18x 144 0解这个方程，得x148，x23分经检验两根都为原方程的根，但x23 不符合实际意义，故舍去分答：今年5月份的汽油价格为48元升11(1)y2x2 (2)8；245 (3)5秒12解：(l)在ABC中，ABAC 1，BAC300， ABCACB75，ABDACE105， DAE105DABCAE75，又DAB+ADBABC75，CAEADBADBEAC即，所以(2)当、满足关系式时，函数关系式成立 理由如下：要使，即成立，须且只须ADBEAC 由于ABDECA，故只须ADBEAC 又ADB+BADABC， EAC+BAD， 所以只，须即13解：(1)对于关于x的二次函数y 由于(m ) 241m220， 所以此函数的图象与x轴没有交点 对于关于x的二次函数 y 由于(m ) 24 1m220， 所以此函数的图象与x轴没有交点 对于关于x的二次函数 由于所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点 故图象经过A，B两点的二次函数为 (2 )将A(1，0)代入，得0 整理，得m22m 0 解之，得m0，或m 2 当m 0时，yx21令y 0，得x21 0 解这个方程，得x11，x21 此时，B点的坐标是B (1， 0) 当m2时，yx22x3令y0，得x22x30 解这个方程，得x11，x23 此时，B点的坐标是B(3，0) (3) 当m 0时，二次函数为yx21，此函数的图象开口向上，对称轴为x0，所以当x0时，函数值 y 随：的增大而减小 当m2时，二次函数为y x22 x3 (x1)24， 此函数的图象开口向上，对称轴为x 1，所以当x 1 时，函数值y随x的增大而减小14 (1)图号顶点数x棱数y面数z(a)8126(b)695(c)8126(d)8137(e)10157(2)规律：x+z2y15解：(1)连接BC交OA于E点 ABAC是O的切线， ABAC， 12 AEBC OEB90O BD是O的直径 DCB90O DCBOEB CDAO (2)CDAO 34 AB是O的切线，DB是直径 DCBABO90O BDCAOB y 0x6 (3)由已知和(2)知： 把x、y看作方程z211z+180的两根 解这个方程 得 z2或z9 (舍去) AB616(1)连结OAOD作OEAD于E，易知AOD120，AE12 cm，可得AOr8cm(2)圆柱形表面积2S圆+S侧(384+400 ) cm217解：设l2的解析式为ya(xh)2+k l2与x轴的交点A(2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，4)，l1与l2关于x轴对称， l2过A(2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，4) yax2+4 04a+4 得 a1 l2的解析式为yx2+4 (2)设B(x1 ，y1) 点B在l1上B(x1 ，x124)四边形ABCD是平行四边形，AC关于O对称 BD关于O对称 D(x1 ，x12+4) 将D(x1 ，x12+4)的坐标代入l2：yx2+4 左边右边 点D在l2上 (3)设平行四边形ABCD的面积为S，则 S2*SABC AC*|y1|4|y1| a当点B在x轴上方时，y10 S4y1 ，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， S既无最大值也无最小值 b当点B在x轴下方时，4y10 S4y1 ，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， 当y1 4时，S由最大值16，但他没有最小值 此时B(0，4)在y轴上，它