广东省汕头市金山中学高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1，b=（x，y）|x，y为实数，且y=x，则ab的元素个数为（）a0b1c2d32一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到正视图可以为（）abcd3圆（x+2）2+y2=4与圆（x2）2+（y1）2=9的位置关系为（）a内切b相交c外切d相离4下列命题中正确的有（）个若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补四面体的四个面中，最多有四个直角三角形若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线a1b2c3d45已知过点a（2，m）和b（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）a0b8c2d106已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a1b2c3d47直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，ab=ac=aa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于（）a30b45c60d908如果直线l经过圆x2+y22x4y=0的圆心，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）a0，2b0，1c0，d0，9过点a（a，a）可作圆x2+y22ax+a2+2a3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（）aa3或bca3d3a1或10已知a，b是球o的球面上两点，aob=90，c为该球面上的动点，若三棱锥oabc体积的最大值为36，则球o的表面积为（）a36b64c144d25611已知矩形abcd，ab=1，bc=将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直12在平面直角坐标系中，两点p1（x1，y1），p2（x2，y2）间的“l距离”定义为|p1p2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与x轴上两个不同的定点f1，f2的“l距离”之和等于定值（大于|f1f2|）的点的轨迹可以是（）abcd二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知两直线l1：ax2y+1=0，l2：xay2=0当a=时，l1l214若圆心在x轴上、半径为的圆o位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆o的方程是15已知x2+y2=4x，则x2+y2的取值范围是16设mr，过定点a的动直线x+my=0和过定点b的动直线mxym+3=0交于点p（x，y）则|pa|pb|的最大值是三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在abc中，已知ab=2，ac=3，a=60（1）求bc的长；（2）求sin2c的值18sn为数列an的前n项和，已知an2，且an2+4n=4sn+1（1）求证：an为等差数列；（2）设bn=，求数列bn的前n项和19如图，在三棱柱abca1b1c1中，bac=90，ab=ac=2，aa1=4，a1在底面abc的射影为bc的中点e，d是b1c1的中点（1）证明：a1d平面a1bc；（2）求点b到平面a1acc1的距离20圆c过点m（2，0）及原点，且圆心c在直线x+y=0上（1）求圆c的方程；（2）定点a（1，3），由圆c外一点p（a，b）向圆c引切线pq，切点为q，且满足|pq|=|pa|求|pq|的最小值及此刻点p的坐标；求|pc|pa|的最大值21在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：（x+3）2+（y1）2=4和圆c2：（x4）2+（y5）2=4（1）若直线l过点a（4，0），且被圆c1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设p为平面上的点，满足：存在过点p的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆c1和c2相交，且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等，求所有满足条件的点p的坐标2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1，b=（x，y）|x，y为实数，且y=x，则ab的元素个数为（）a0b1c2d3【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把代入得：2x2=1，解得x=，分别把x=代入，解得y=，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（，），则ab的元素个数为2个故选c【点评】此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数，是一道基础题2一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到正视图可以为（）abcd【考点】简单空间图形的三视图【专题】计算题；作图题【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zox平面为投影面，则得到正视图即可【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zox平面为投影面，则得到正视图为：故选a【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力3圆（x+2）2+y2=4与圆（x2）2+（y1）2=9的位置关系为（）a内切b相交c外切d相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】直线与圆【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心c1（2，0），半径r=2圆（x2）2+（y1）2=9的圆心c2（2，1），半径r=3，两圆的圆心距d=，r+r=5，rr=1，r+rdrr，所以两圆相交，故选b【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径4下列命题中正确的有（）个若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补四面体的四个面中，最多有四个直角三角形若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何【分析】结合空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征，面面垂直的几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交，平行，或异面，故错误空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，由平行角定理可得正确四面体的四个面中，最多有四个直角三角形，如下图中四面体故正确若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内垂直于两面交线的直线，这样的直线有无数条，故正确故正确的命题个数是3个，故选：c【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征，面面垂直的几何特征等知识点，难度中档5已知过点a（2，m）和b（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）a0b8c2d10【考点】斜率的计算公式【专题】计算题【分析】因为过点a（2，m）和b（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，所以，两直线的斜率相等【解答】解：直线2x+y1=0的斜率等于2，过点a（2，m）和b（m，4）的直线的斜率k也是2，=2，解得，故选 b【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用6已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a1b2c3d4【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；不等式的解法及应用【分析】作出可行域，平移目标直线可得取最值时的条件，求交点代入目标函数即可【解答】解：（如图）作出可行域，当目标直线过直线x+y2=0与直线y=0的交点a（2，0）时取最大值，故最大值为z=22+0=4故选：d【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题7直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，ab=ac=aa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【专题】常规题型【分析】延长ca到d，根据异面直线所成角的定义可知da1b就是异面直线ba1与ac1所成的角，而三角形a1db为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长ca到d，使得ad=ac，则ada1c1为平行四边形，da1b就是异面直线ba1与ac1所成的角，又a1d=a1b=db=ab，则三角形a1db为等边三角形，da1b=60故选c【点评】本小题主要考查直三棱柱abca1b1c1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题8如果直线l经过圆x2+y22x4y=0的圆心，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）a0，2b0，1c0，d0，【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】圆的方程可知圆心（1，2），直线l将圆：x2+y22x4y=0平分，直线过圆心，斜率最大值是2，可知答案【解答】解：由圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，斜率最大值是2，如图那么l的斜率的取值范围是0，2故答案为：0，2【点评】本题采用数形结合，排除法即可解出结果是基础题9过点a（a，a）可作圆x2+y22ax+a2+2a3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（）aa3或bca3d3a1或【考点】圆的切线方程【分析】圆x2+y22ax+a2+2a3=0的圆心（a，0）且a，并且（a，a）在圆外，可求a 的范围【解答】解：圆x2+y22ax+a2+2a3=0的圆心（a，0）且a，而且（a，a）在圆外，即有a232a，解得a3或故选a【点评】本题考查圆的切线方程，点与圆的位置关系，是中档题10已知a，b是球o的球面上两点，aob=90，c为该球面上的动点，若三棱锥oabc体积的最大值为36，则球o的表面积为（）a36b64c144d256【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大，利用三棱锥oabc体积的最大值为36，求出半径，即可求出球o的表面积【解答】解：如图所示，当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大，设球o的半径为r，此时voabc=vcaob=36，故r=6，则球o的表面积为4r2=144，故选c【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大是关键11已知矩形abcd，ab=1，bc=将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若a成立，则需bdec，这与已知矛盾；若c成立，则a在底面bcd上的射影应位于线段bc上，可证明位于bc中点位置，故b成立；若c成立，则a在底面bcd上的射影应位于线段cd上，这是不可能的；d显然错误【解答】解：如图，aebd，cfbd，依题意，ab=1，bc=，ae=cf=，be=ef=fd=，a，若存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直，则bdae，bd平面aec，从而bdec，这与已知矛盾，排除a；b，若存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直，则cd平面abc，平面abc平面bcd取bc中点m，连接me，则mebd，aem就是二面角abdc的平面角，此角显然存在，即当a在底面上的射影位于bc的中点时，直线ab与直线cd垂直，故b正确；c，若存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直，则bc平面acd，从而平面acd平面bcd，即a在底面bcd上的射影应位于线段cd上，这是不可能的，排除cd，由上所述，可排除d故选 b【点评】本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题12在平面直角坐标系中，两点p1（x1，y1），p2（x2，y2）间的“l距离”定义为|p1p2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与x轴上两个不同的定点f1，f2的“l距离”之和等于定值（大于|f1f2|）的点的轨迹可以是（）abcd【考点】轨迹方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出f1，f2的坐标，在设出动点m的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案【解答】解：设f1（c，0），f2（c，0），再设动点m（x，y），动点到定点f1，f2的“l距离”之和等于m（m2c0），由题意可得：|x+c|+|y|+|xc|+|y|=m，即|x+c|+|xc|+2|y|=m当xc，y0时，方程化为2x2y+m=0；当xc，y0时，方程化为2x+2y+m=0；当cxc，y0时，方程化为y=；当cxc，y0时，方程化为y=c；当xc，y0时，方程化为2x+2ym=0；当xc，y0时，方程化为2x2ym=0结合题目中给出的四个选项可知，选项a中的图象符合要求故选：a【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知两直线l1：ax2y+1=0，l2：xay2=0当a=0时，l1l2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆【分析】由垂直关系可得a的方程，解方程可得【解答】解：两直线l1：ax2y+1=0，l2：xay2=0相互垂直，a1（2）（a）=0，解得a=0故答案为：0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题14若圆心在x轴上、半径为的圆o位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆o的方程是（x+2）2+y2=2【考点】关于点、直线对称的圆的方程【专题】直线与圆【分析】设出圆心，利用圆心到直线的距离等于半径，可解出圆心坐标，求出圆的方程【解答】解：设圆心为（a，0）（a0），则，解得a=2圆的方程是（x+2）2+y2=2故答案为：（x+2）2+y2=2【点评】圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆相切；注意题目中圆o位于y轴左侧，容易疏忽出错15已知x2+y2=4x，则x2+y2的取值范围是0，16【考点】两点间的距离公式【专题】函数思想；换元法；直线与圆【分析】三角换元，令x2=2cos，y=2sin，代入式子由三角函数的知识可得【解答】解：x2+y2=4x，（x2）2+y2=4，故令x2=2cos，y=2sin，x2+y2=（2+2cos）2+（2sin）2=4+8cos+4cos2+4sin2=8+8cos，cos1，1，8+8cos0，16故答案为：0，16【点评】本题考查式子的最值，三角换元是解决问题的关键，属基础题16设mr，过定点a的动直线x+my=0和过定点b的动直线mxym+3=0交于点p（x，y）则|pa|pb|的最大值是5【考点】点到直线的距离公式【专题】直线与圆【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即a和b，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有papb；再利用基本不等式放缩即可得出|pa|pb|的最大值【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点a（0，0），动直线mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，经过点定点b（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直，p又是两条直线的交点，则有papb，|pa|2+|pb|2=|ab|2=10故|pa|pb|=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|pa|2+|pb|2是个定值，再由基本不等式求解得出直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在abc中，已知ab=2，ac=3，a=60（1）求bc的长；（2）求sin2c的值【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦【专题】解三角形【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可（2）利用正弦定理求出c的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可【解答】解：（1）由余弦定理可得：bc2=ab2+ac22abaccosa=4+9223=7，所以bc=（2）由正弦定理可得：，则sinc=，abbc，c为锐角，则cosc=因此sin2c=2sinccosc=2=【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键18sn为数列an的前n项和，已知an2，且an2+4n=4sn+1（1）求证：an为等差数列；（2）设bn=，求数列bn的前n项和【考点】数列的求和【专题】转化思想；数学模型法；配方法；等差数列与等比数列【分析】（1）利用递推关系可得，又an2，即可证明（2）利用“裂项求和”即可得出【解答】（1）证明：由，可得，得，即，an2，an+12=an，即an+1an=2，an为等差数列（2）解：由已知得a12+4=4a1+1，即，解得a1=1（舍）或a1=3，an=3+2（n1）=2n+1，bn=，数列bn的前n项和tn=+=【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19如图，在三棱柱abca1b1c1中，bac=90，ab=ac=2，aa1=4，a1在底面abc的射影为bc的中点e，d是b1c1的中点（1）证明：a1d平面a1bc；（2）求点b到平面a1acc1的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）设e为bc的中点，推导出a1eae，aebc，从而ae平面a1bc，再推导出a1aed为平行四边形，由此能证明a1d平面a1bc （2）推导出a1ebc，a1c=a1b，ae=be，由，能求出b到平面a1acc1的距离【解答】证明：（1）设e为bc的中点，由题意得a1e平面abc，a1eaeab=ac，aebc又a1ebc=e，a1e、bc平面a1bc故ae平面a1bc由d，e分别为b1c1、bc的中点，得deb1b，且de=b1b，又aa1be，aa1=be从而dea1a，且de=a1a，a1aed为平行四边形故a1dae，又ae平面a1bc，a1d平面a1bc （2）a1e平面abc，bc平面abc，a1ebc又e为bc的中点，a1c=a1bbac=90，e为bc中点，ae=be，rta1earta1eb，a1b=aa1=4，a1c=4a1ac中ac边上的高为，而，设b到平面a1acc1的距离为d由得，b到平面a1acc1的距离为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用20圆c过点m（2，0）及原点，且圆心c在直线x+y=0上（1）求圆c的方程；（2）定点a（1，3），由圆c外一点p（a，b）向圆c引切线pq，切点为q，且满足|pq|=|pa|求|pq|的最小值及此刻点p的坐标；求|pc|pa|的最大值【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；集合思想；综合法；直线与圆【分析】（1）由已知求出线段om的垂直平分线方程为x=1，与直线方程x+y=0联立，求出圆心坐标，进一步求出圆的半径，则圆的方程可求；（2）设出p点坐标，由题意可得：|pq|2=|pc|2|cq|2，结合|pq|=|pa|可得p的横纵坐标的关系，代入两点间的距离公式，利用配方法求得|pq|的最小值并求得点p的坐标；求出c关于直线l：2x+2y5=0的对称点为c（m，n），结合三角形两边之差小于第三边得答案【解答】解：（1）m（2，0），线段om的垂直平分线方程为x=1，又圆心c在直线x+y=0上，联立，得，圆心c的坐标为（1，1），则半径r=|oc|=，圆c的方程为（x+1）2+（y1）2=2；（2）设p（a，b），连结pc，cq，q为切点，pqcq，由勾股定理得：|pq|2=|pc|2|cq|2，|pq|=|pa|，（a+1）2+（b1）22=（a1）2+（b3）2，化简得2a+2b5=0；=，当时，此时p点坐标为；设c关于直线l：2x+2y5=0的对称点为c（m，n），则，解得，故|pc|pa|的最大值为【点评】本题考查圆的方程的求法，考查了直线和圆位置关系的应用，训练了配方法及放缩法求最值，是中档题21在平面直角坐标系xoy中，已知圆c