自动控制原理第七章 采样控制系统.ppt

连续系统 控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数 离散系统 控制系统中有一处或几处信号是间断的脉冲或数码 采样控制系统 脉冲控制系统 系统中的离散信号以脉冲序列形式出现 数字控制系统 计算机控制系统 系统中的离散信号以数码形式出现 第七章采样系统分析 例 炉温采样控制系统 第一节采样基本概念 连续控制方式 由于炉温上升有惰性 阀门敏感 造成炉温大幅度震荡 采样控制方式 只有检流计指针与电位器接触时 电动机才旋转 间隔T时间 接通 时间 等待炉温变化 避免振荡 炉 燃料供应阀 放大器与执行电机 给定炉温 误差信号 离散误差信号 电机转速 阀门开度 炉温 T 误差信号 离散误差信号 采样系统典型结构图 1 青藏铁路环境监测系统2 微机监测3 日本新干线综合安全监测系统4 计算机控制系统 其它典型采样控制系统 一 采样过程连续信号变换为脉冲信号 输出为宽度等于 的调幅脉冲系列 在采样瞬时nT n 0 1 2 时出现 第二节采样过程与采样定理 非常小 通常为毫秒到微秒级 一般远小于采样周期T e t e t T t 其中 t nT 是时刻t nT时强度为1的单位脉冲e t 只有在采样瞬间才有意义 理想采样器 单位脉冲序列 幅值调制过程 连续信号 二 采样过程的数学描述 采样过程的拉氏变换 有 根据拉氏变换的位移定理 设 试求采样拉氏变换E s 解 上式是eTs的有理函数 但eTs是含变量S的超越函数 不便进行分析和运算 因此常用Z变换代替拉氏变换 举例 从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号所必需的理论上的最小采样周期T 香农采样定理 如果采样器的输入信号e t 具有有限带宽 并且最高角频率为Wmax 则只要采样频率满足Ws 2Wmax 则采样后的脉冲序列中将包含了连续信号的全部信息 三 采样定理 第三节信号复现与零阶保持器 一 信号保持把离散信号转换为连续信号 称为信号保持 该装置称保持器 保持器 用离散时刻信号复现连续时刻信号 二 零阶保持器 作用 把采样信号e t 每一个采样瞬时值e kT 一直保持到下一个采样瞬间e k 1 T 从而使采样信号e t 变成阶梯信号eh t 2 名称由来 处在每个采样区间内的信号值为常数 导数为零 故得名 将阶梯信号eh t 的每个区间中点连接起来 可得到与e t 形状一致时间上落后T 2的曲线e t T 2 3 零阶保持器的传递函数和频率特性 r t t R s 1理想单位脉冲 gh t 1 t 1 t T 单位脉冲响应 传递函数 幅频特性 相频特性 其中 S 2 T 频率特性 零阶保持器的频率特性 低通特征 幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减 相角滞后特性 w ws处 相角滞后可达 180 零阶保持器可以用无源网络近似代替 G0 j S 2 S 3 S 零阶保持器的频率特性 信号e t 在t nT及t n 1 T之间的数值可以用一个级数来描述外推法 用采样点数值外推求得采样点之间的数值 只取第一项 零阶保持器 只取前两项 一阶保持器 一阶保持器比零阶保持器信号恢复更精确 但相位滞后增加 对稳定性不利 第四节Z变换理论 各项均含有esT因子 为S的超越函数 为便于应用 对离散系统的分析一般采用Z变换 同拉氏变换一样 是一种数学变换 离散信号e t 的拉氏变换为 一 Z变换 1 Z变换定义 代入上式得 e kT 表征采样脉冲的幅值 Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻 2 典型信号的Z变换 1 单位脉冲函数E z 1 由此可见 只要e t 相同 E z 就相同 无论e t 是否相同 3 单位理想脉冲序列 2 单位阶跃信号 4 单位斜坡序列e t t 常用Z变换可查表 例1 求指数函数e at a 0 的Z变换 解 指数函数采样后所得的脉冲序列如下所示e nT e anT n 0 1 代入Z变换的定义式可得E z 1 e aTz 1 e 2aTz 2 e 3aTz 3 若 e aTz 1 1 该级数收敛 利用等比级数求和公式 其Z变换的闭合形式为 级数求和法 举例 设 求e t 的Z变换 注意 不可将直接代入E s 求E z 因为E s 是连续信号e t 的拉氏变换 而Z变换是对离散的e t 而言的 解 举例 求正弦函数e t sin t的Z变换解 对e t sin t取拉氏变换得展开为部分分式 即求拉氏反变换得分别求各部分的Z变换 得化简后得 举例 1 线性定理 2 时移定理实数位移的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期 左移为超前 右移为延迟 3 Z变换的基本定理 例 试计算e a t T 的Z变换 其中a为常数 解 由时移定理例 已知e t t T 求E z 解 由时移定理 举例 3 复数位移定理复数位移定理的含义是 函数e t 乘以指数序列e aT的Z变换 就等于在E z 中 以ze aT取代原算子z 4 终值定理 E z Z e t 且E z 在Z平面的单位圆上除1之外没有极点 在单位圆外解析 则有 Z变换的基本定理 例 已知e t t e at 求E z 解 由复数位移定理 举例 例 设Z变换函数为试利用终值定理确定e nT 的终值 解 由终值定理 举例 二 Z反变换 Z反变换 已知Z变换表达式E z 求相应离散序列e nT 的过程 例 E z z展开部分分式 然后所得每一项都乘以z 即得E z 展开式 1 部分分式展开法 2 幂级数法 综合除法 分子分母同时除以分母得 根据Z变换定义 E Z e KT Z Ke KT 表征采样脉冲的幅值 Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻 举例 例 用Z变换法求解差分方程 用Z变换法解差分方程的实质和用拉氏变换解微分方程类似 对差分方程两端取Z变换 并利用Z变换的实数位移定理 得到以Z为变量的代数方程 然后对代数方程的解C z 取Z反变换 求得输出序列c k 例 试用Z变换法解下列二阶差分方程c k 2 3c k 1 2c k 0设初始条件为 c 0 0 c 1 1解 对差分方程的每一项 进行Z变换 根据实数位移定理Z c k 2 z2c k z2c 0 zc 1 z2C z zZ 3c k 1 3zC z 3c 0 3zC z Z 2c k 2C z 于是差分方程转换为Z的代数方程 z2 3z z C z z 举例 举例 查Z变换表 求出Z反变换即c k 1 K 2 K K 0 1 2 第五节脉冲传递函数 说明 1 零初始条件 t 0 输入脉冲序列各采样值r T r 2T 及输出脉冲序列各采样值C T C 2T 均为零 零初始条件下 输出采样信号的Z变换与输入量C采样信号的Z变换之比 一脉冲传递函数定义 2 输出的采样信号为 c t z 1 C z z 1 G z R z 3 实际系统的输出可能是连续信号 此时可以想象输出端虚设一采样开关 与输入采样开关同步工作 并具有相同的采样周期 只由系数及方程结构决定 分母为脉冲传递函数的特征方程 4 脉冲传递函数与差分方程式一一对应 说明 1 由定义出发 2 由S变换 Z变换关系求得 例 设某环节的差分方程为c nT r n k T 试求其脉冲传递函数G z 解 对差分方程取Z变换 并由实数位移定理得C z z kR z 由脉冲传递函数的定义 二脉冲传递函数的求法 例 举例 单位脉冲响应 单位脉冲作用下的输出 单位脉冲作用下输出采样信号的Z变换 输出的Z变换 单位脉冲 输入 Z变换 1单位脉冲传递函数 输出的Z变换 过程 如果已知连续系统或元件的传递函数G s g t L 1 G s 取其离散值得g t 则G z Z g t 2 串联连续环节的脉冲传递函数 例 Z G1 S G2 S Z G1 S Z G2 S 1 串联环节之间有采样开关 由脉冲传递函数定义D z R z G1 z C z D z G2 z 所以C z R z G1 z G2 z 即开环系统脉冲传递函数G z G1 z G2 z 上式表明 有理想采样开关隔开的两个线性环节串联时的脉冲传递函数 等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积 G1 z G2 z G z D z R z 2 串联环节之间无采样开关 D s R s G1 s C s D s G2 s C s R s G1 s G2 s 对C s 取离散化 并由采样拉氏变换的性质C s R z G1G2 s 取Z变换 得C z R z G1G2 z 即G z G1G2 z 上式表明 没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数 等于这两个环节传递函数乘积后的Z变换 G z R z D s R s C s 3 有零阶保持器的开环脉冲传递函数 f t T 为其采样后信号 比f t 延时一个周期T 由Z变换的时移定理 例 设如图所示离散系统 求系统的脉冲传递函数G z 其中解 举例 举例 加入零阶保持器 不会影响脉冲传递函数的分母 从而也不会影响采样系统的稳定性 三闭环系统脉冲传递函数 说明 1 无确定公式 采样开关位置不同 则 z 不同 2 z 有可能无法求出 而只能得到C z 例1 举例 结论 闭环离散系统的特征方程D z 1 HG z 相同 举例 例2 设闭环离散系统结构如图 试证其输出采样信号的Z变换函数 证 C s G s E s E s R s H s C s C s G s R s G s H s C s C s GR s GH s C s 举例 例3 如图所示的多环系统 求系统的输出的表达式 解 整理得又代入得 举例 举例 对其取脉冲变换得作Z变换并整理得 第六节采样系统的性能分析 1 离散系统稳定性的充分必要条件若离散系统在有界输入序列作用下 其输出序列也是有界的 则称该离散系统是稳定的 一稳定性分析 2 时域中离散系统稳定的充要条件当差分方程所有特征根的模时 相应的线性定常离散系统是稳定的 对于连续系统来说 其在S域稳定的充要条件是系统传递函数的极点均严格位于S左半平面 并由劳斯判据进行判断 为了把连续系统在S域分析稳定性的结果移植到Z域分析离散系统的稳定性 必须要先考虑S域到Z域的映射关系 脉冲传递函数与差分方程的关系 此式与系统的差分方程对应的特征方程式完全相同 即同一系统的差分方程与脉冲传递函数具有相同的特征方程 稳定性分析 即S域负实部根映射于Z域单位圆内 0 则 z 1 0 则 z 1 由则对应 稳定性分析 稳定性分析 S左半平面映射为Z平面的单位圆内 对应稳定区域 S右半平面映射为Z平面的单位圆外 为不稳定区域 S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆周 对应临界稳定状况 因此 同样可以得出Z域离散系统稳定的充要条件是当且仅当系统的脉冲传递函数的特征方程中全部特征根均处于单位圆内时 系统才是稳定的 3 采样系统稳定性判据 已知线性定常离散系统在时域和Z域稳定的充要条件 则可以通过求出系统特征方程的根从而判断系统是否稳定 但是当离散系数阶数较高时 直接求解差分方程或Z特征方程根总是不方便的 因此 和连续系统类似 在对离散系统进行稳定性判断时也引入了稳定判据以供使用 1 朱利 Jury 判据直接在Z域内应用的稳定性判据 类似于连续系统中的赫尔维茨判据 它是根据离散系统闭环特征方程D z 0的系数 判别其根是否严格位于Z平面的单位圆内 从而判断该离散系统是否稳定 略 2 劳斯判据 为了使用劳斯判据 我们需要在和S域类似的域上进行判断 通过使用w变换 双线性变换 最终可以把Z域单位圆内的部分映射到w域的左半平面 从而使用劳斯判据判稳成为可能 如果令上两式表明 复变量z与 互为线性变换 故 变换又称双线性变换 令z x jy代入上式 并分解为w u jv 劳斯判据 经过变换 Z域单位圆映射为 域的虚轴 Z域单位圆内映射为w域左半平面 Z域单位圆外映射为w域右半平面 通过从Z域到w域的变换 线性定常离散系统Z域的特征方程D z 转换为w特征方程D 则Z域的稳定条件即所有特征根均处于单位圆内转换为w域的稳定条件即特征方程的根严格位于左半平面 而该条件正是S平面上应用劳斯稳定判据的条件 所以根据w域的特征方程系数直接应用劳斯判据即可以判断离散系统的稳定性 同时还能给出特征根处于单位圆外的个数 劳斯判据 例 设离散系统Z域的特征方程为使用双线性变换 并用劳斯判据确定稳定性 解 对作双线性变换 得化简后 得 域特征方程为则构造成劳斯表如下 第一列全部为正 系统稳定 举例 例 设闭环离散系统如图 其中采样周期T 0 1s 试求系统稳定时k的临界值 解 举例 举例 w20 632k2 736 0 632kw11 264w02 736 0 632k 结论 连续稳定的系统采样后可能不再稳定 采样系统的稳定性与采样周期有关 采样周期一定时 加大开环增益会使离散系统的稳定性变差 k 0 且2 736 0 632k 0 则k 4 33故系统稳定的K值范围是 0 k 4 33 离散系统的稳态性能是用稳态误差来表征的 与连续系统类似 离散系统稳态误差和系统本身及输入信号都有关系 在系统特性中起主要作用的是系统的型别以及开环增益 稳态误差既可用级数的方法求取 也可用终值定理求取 二稳态误差分析 系统如图如果极点全部严格位于Z平面上的单位圆内 即系统稳定 则应用Z变换的终值定理即可求出采样瞬时的终值误差 由于离散系统没有唯一的典型结构图形式 所以误差脉冲传递函数也给不出一般的计算公式 用终值定理求取稳态误差 例 采样系统结构如图所示 采样周期T 0 2钞 输入信号r t 1 t t2 2试计算系统的稳态误差 解 1 求G z 查Z变换表可得将采样周期T 0 2秒代入并化简得 举例 闭环特征方程为展开得即进行w变换 将代入上式并整理得列劳斯表第一列全部为正 闭环系统稳定 2 判别系统的闭环稳定性 r t 1 t t2 2R z T 0 2e 0 1 3 求系统的稳态误差 通过定义误差系数来简化稳态误差的计算过程 静态加速度误差系数 静态速度误差系数 静态位置误差系数 与连续系统类似 定义误差系数 定义系统的型别分别为0型 型 型 依据G z 在z 1处极点的个数 单位反馈采样系统A B 举例 由此可知 对于单位反馈误差采样系统 可直接用静态误差系数求稳态误差 C 举例 静态误差系数和系统型别的关系 如果G z 在z 1有0 1 2 个极点 则系统的型别分别是0型 I型 II型 若G z 在z 1的极点个数为0 则Kp为有限值 若G z 在z 1时的极点个数大于或等于1 则Kp 可见对O型系统 Kp 对于I型及以上系统 Kp 若G z 在z 1的极点个数为0 则Kv 0 若G z 在z 1的极点个数为1 Kv为有限值 若G z 在z 1的极点个数大于或等于2 Kv 可见对0型及I型系统 Kv 对于II型及以上系统 Kv 依次类推 对于O型 I型 II型系统 Ka 对于III型及以上系统 Ka 单位反馈误差采样系统的误差系数和稳态误差表 重做上例 3 求e 先求静态误差系数 可见系统为II型系统所以 由表7 3可知 对于r t 1 t 作用下的稳态误差 举例 三 动态性能分析 如果已知采样控制系统的数学模型 差分方程 脉冲传递函数等 通过递推计算及Z变换法 不难求出典型输入作用下的系统输出信号的脉冲序列c t 从而可能以很方便地分析系统的动态性能 例 设有零阶保持器的采样系统如图所示 其中r t 1 t T 1 s k 1 试分析该系统的动态性能 解 先求开环脉冲传递函数G z 由图中可以看出 连续环节包含有零阶保持器 则查Z变换表并化简得 举例 再求闭环脉冲传递函数将代入 求出单位阶跃序列响应的Z变换利用长除法 将C z 展成无穷幂级数由Z变换定义 输出序列c nT 为 举例 根据C nT 的值 可以绘出单位阶跃响应c t 由图求得系统的近似性能指标为 上升时间 tr 2 s 峰值时间 tp 3 5 s 调节时间 ts 12 s 超调量 40 举例 闭环极点分布与瞬态响应的关系 设 z 无重极点 则C z z可展开成部分分式为 当输入信号r t 1 t 时 有 设系统闭环脉冲传递函数 分几种情况讨论瞬态分量的变化规律1 Pi为实轴上的单极点 f 1 交替变化符号的发散脉冲序列 e 1 交替变化符号的等幅脉冲序列 d 1 0 交替变化符号的衰减脉冲序列 c 0 1 单调衰减正脉冲序列 b 1 等幅脉冲序列 a 1 发散脉冲序列 Pi Pi Pi Pi Pi Pi 闭环极点分布与瞬态