《数值计算方法》课后题答案曾金平湖南大学.pdf

1 习题一习题一 1 设x 0 相对误差为 2 求x 4 x的相对误差 解 由自变量的误差对函数值引起误差的公式 f xx f xfxx f xf x 得 1 f xx 时 11 2 1 22 x xxxx x 2 4 f xx 时 44 4 4 4 2 8 x xxxx x 2 设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数 即误差不超过最后一位的半个单位 试指出他 们各有几位有效数字 1 12 1x 2 12 10 x 3 12 100 x 解 由教材 9 P关于 121 2 mn xa aa bbb 型数的有效数字的结论 易得上面三个数的有效 数字位数分别为 3 4 5 3 用十进制四位浮点数计算 1 31 97 2 456 0 1352 2 31 97 2 456 0 1352 哪个较精确 解 1 31 97 2 456 0 1352 21 0 3197 100 2456 10 0 1352 fl fl 2 0 3443 100 1352 fl 0 3457 2 10 2 31 97 2 456 0 1352 21 0 3197 10 0 2456 10 flfl 21 0 3197 100 2591 10 fl 0 3456 2 10 易见 31 97 2 456 0 1352 0 345612 2 10 故 2 的计算结果较精确 2 4 计算正方形面积时 若要求面积的允许相对误差为 1 测量边长所允许的相对误差限为多 少 解 设该正方形的边长为x 面积为 2 f xx 由 f xx f xfxx f xf x 解得 f xf x x xfx 2 22 f x xf x xx i 0 5 5 下面计算y的公式哪个算得准确些 为什么 1 已知1x A 2 11 y xxx xx B 11 yxx xx 3 已知1x A 2 2sin x y x B 1 cos2x y x 4 A 980y B 1 980 y 解 当两个同 异 号相近数相减 加 时 相对误差可能很大 会严重丧失有效数字 当两 个数相乘 除 时 大因子 小除数 可能使积 商 的绝对值误差增大许多 故在设计算法 时应尽量避免上述情况发生 1 A 中两个相近数相减 而 B 中避免了这种情况 故 B 算得准确些 2 B 中两个相近数相减 而 A 中避免了这种情况 故 A 算得准确些 3 A 中 2 sinx使得误差增大 而 B 中避免了这种情况发生 故 B 算得准确些 4 A 中两个相近数相减 而 B 中避免了这种情况 故 B 算得准确些 6 用消元法求解线性代数方程组 1515 12 12 1010 2 xx xx 假定使用十进制三位浮点数计算 问结果是否可靠 解 使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为 11616 12 111 12 0 100 100 100 100 100 10 1 0 100 100 100 100 200 10 2 xx xx 1 2 得 1616 2 0 100 100 100 10 x 即 1 2 0 100 10 x 把 2 x的值代入 1 得 1 0 000 x 3 把 2 x的值代入 2 得 1 1 0 100 10 x 解 1 1 10 100 10 20 000 10 x x 不满足 2 式 解 1 1 10 100 10 20 100 10 x x 不满足 1 式 故在十进制三位浮 点数解该方程用消元法计算结果不可靠 7 计算函数 32 331f xxxx 和 3 3 12 19g xxxxx 在处的函数值 采用 十进制三位浮点数计算 哪个结果较正确 解 110657 0 10480 0 310219 0 10480 0 19 2 1111 f 110657 010144 010105 0 122 1 0 167 10 19 2 g110219 0 310219 0 81 0 11 110219 010123 0 11 1 0 169 10 即 1 0 167 10f x 1 0 169 10g x 而当2 19x 时 32 331xxx 的精确值为 1 6852 故 g x的算法较正确 8 按照公式计算下面的和值 取十进制三位浮点数计算 1 6 1 1 3i i 2 1 6 1 3i i 解 1 6 23456 1 1111111 3333333 i i 0 3330 111 0 0370 0120 0040 001 489 0 2 1 65432 6 1111111 3333333 i i 0 001 0 0040 0120 0370 111 0 333 489 0 9 已知三角形面积 1 sin 2 SabC 其中0 2 C 证明 SabC 证明 由自变量的误差对函数值的影响公式 12 12 1 12 n in ni i ni xf x xx f x xxx f x xxx 得 aS a b CbS a b CCS a b C S a b CabC S a b CaS a b CbS a b CC 4 sin sin cos sinsinsin abC SbCaaCbabCC abCabCabC C abC tgC abC 当0 2 C 时 CtgC 命题得证 5 习题二习题二 1 找出下列方程在0 x 附近的含根区间 1 cos0 xx 2 3cos0 xx 3 sin 0 x xe 4 2 0 x xe 解 1 设 cosf xxx 则 0 1f 1 0 4597f 由 f x的连续性知在 1 0 x 内 f x 0 有根 同题 1 的方法可得 2 3 4 的零点附近的含根区间分别为 0 1 0 2 0 1 2 用二分法求方程sin10 xx 在 0 2内的根的近似值并分析误差 解 令 sin1f xxx 则有 0 10f sincos0fxxxx 0 2x 所以函数 f x在 0 2上严格单调增且有唯一实根x 本题中求根使得误差不超过 4 10 则由误差估计式 1 2 k k ab x 所需迭代次数k满足 4 1 10 2 02 时 x 单调递减 而 1 3 1 59171596 1 6 1 390625 因此 当 1 3 1 6x 时 1 3 1 6x 又当 1 3 1 6x 时 33 22 0 921 1 3 x x 0 x 所以当 1 3 1 6x 时 1 3 1 6x 又当 1 3 1 6x 时 22 22 33 221 6 0 5521 33 1 1 1 3 x x x 所以对任意初值 1 3 1 6x 原方程的根除外 迭代格式 1 1 1 k k x x 0 1 2 k 发 散 4 确定 xx 的简单迭代法 1 kk xx 的收敛区间 a b 如果收敛 试估计使精度达到 4 10 时所需的迭代次数并进行计算 A 2 2 3 x ex x B 2 5 2x x C sincos 2 xx x 解 A 方程为032 2 xxe x 设xxexf x 32 2 则01 0 f 0 0 8987 5 0 f 故有根区间为 5 0 0 题中 2 2 3 x ex x 3333 0 3 02 3 2 0 eex x x 故迭代公式 2 2 3 x ex x 在含根区间 5 0 0 内收敛 B 方程为052 23 xx 设52 23 xxxf 则0 1 875 5 2 f 故有根区间为 3 5 2 题中 2 5 2x x 10 64 5 2 10 10 33 f 0 0 6182 1 f 故有含根区间 1 0 题中 sincos 2 xx x 15 0 2 0sin0cos 2 sincos f 02 2 f 满足0 1 1 ff 由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为 0 1x 时迭代法收敛 牛顿迭代格式为 k k k k k k k kk x x x x x xf xf xx 3 22 6 2 1 k k x 0 1 1 3 5 2 2 60714285714286 3 2 45425636007828 4 2 44949437160697 5 2 44948974278755 6 2 44948974278318 9 7 2 44948974278318 在第 6 部迭代后 迭代点得小数点后 14 位已无变化 故可取2783182 44948974 6 x 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为 kk kk kk kk k kk xx xx xx xfxf xf xx 1 1 1 1 1 6 k k x 0 1 1 3 5 2 2 11111111111111 3 2 38613861386139 4 2 45425636007828 5 2 44942735725712 6 2 44948968214144 7 2 44948974278395 8 2 44948974278318 9 2 44948974278318 在第 8 部迭代后 迭代点得小数点后 14 位已无变化 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为 k k k k k kk xx xx xx xfxf xf xx 0 0 0 0 1 6 k k x 0 1 1 3 5 2 2 11111111111111 3 2 60714285714286 4 2 38613861386139 5 2 47660818713450 6 2 43818334735072 7 2 45425636007828 8 2 44748955456412 9 2 45033071771908 10 2 44913644779691 11 2 44963821399228 10 12 2 44942735725712 13 2 44951595791130 14 2 44947872716250 15 2 44949437160696 16 2 44948779773504 17 2 44949056010085 18 2 44948939934302 19 2 44948988709816 20 2 44948968214143 21 2 44948976826509 22 2 44948973207557 23 2 44948974728256 24 2 44948974089252 25 2 44948974357764 26 2 44948974244934 27 2 44948974292346 28 2 44948974272423 29 2 44948974280795 30 2 44948974277277 31 2 44948974278755 32 2 44948974278134 31 k以后 迭代点得小数点后 11 位已无变化 因收敛速度较慢 故只精确到小数点后 11 位 7 建立利用方程 3 0 xc 求 3 0 c c 的 Newton 迭代格式 并讨论算法的收敛性 解 牛顿迭代格式为 2 3 2 3 1 3 2 3 k k k k k k k kk x cx x cx x xf xf xx 令cxxf 3 因为当0 x时 03 2 xxf 06 xxf 故对于任何满足0 3 0 cxxf 即 3 0 cx 的初值 0 x 上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于 3 c 8 建立利用方程 2 0 c x x 求 3 0 c c 的 Newton 迭代格式 并讨论算法的收敛性 11 解 牛顿迭代格式为 cx cx x c x c x x xf xf xx k k k k k kk 2 3 2 1 3 3 2 1 令 2 c f xx x 因为当0 x时 0 2 1 3 x c xf 0 6 4 x c xf 故对于任何满足0 3 0 cxxf 即 3 0 0cx 的初值 0 x 上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于 3 c 9 判断用 Newton 迭代求解方程 f xsign xx 的收敛性 解 由 x x xf 0 0 x x i当0 x时 xxf 0 2 1 x xf 0 4 1 3 x xf 要使 Newton 迭代法 收敛对于初值 0 x 需满足0 00 x时 Newton 迭代法不收敛 ii当0 x时 同上的分析方法可得 初值也不存在的 故当0 或 2 00 20 xx 或 3 0 02x x k x k 2 0 1 lim 故迭代序列 k x不收敛 2 当 00 20 xx 或时 1 1 0 x 0lim k k x 迭代序列 k x收敛 但不收敛于方程的 解 3 当20 0 x时 1 1 0 又 1 11 2 0 a A 1 L A 16 其中 1 21 1 11 1 1 1 1 11 10 1 n a a L a a 显然 1 L非奇异 对任何 x 0 有 1 0L x A 正定 1111 0 T TT L xA L xxL AL x 11 T L AL正定 又 11 T L AL 1 11 2 0 0 a A 而 1 11 0a 故 2 A正定 1 当 A 对角占优时 1 1 n iiij ij aa 2 2 n iiij ij aa 1 1 1 1 1 1 1 1 11111111 2 n iiiiijij ij j aa aaaa aa 1 1 1 1 1 1 1 1 11111111 1 2 11 1 n iiiiijij ij j a aa aa aa a a 1 1 1 1 1 1 1 1 11111111 1 2 11 1 n iiiiijij ij j a aa aa aa a a 1 1 1 1 1 1111 1 2 1 11 1 nn iiijij ij jij j aaaa a a 1 1 1 1 1 1111 1 2 1 11 1 nn iiijij ij jij j aaaaa a 1 1 1 1 1 11111 1 2 11 1 n iiiji ij j aaaaa a 1 1 11 1 1 11 1 n ij ij j aa a 0 故 2 A对角占优 17 4 证明 1 两个单位上 下 三角形矩阵的乘积仍为单位上 下 三角形矩阵 2 两个上 下 三角形矩阵的乘积仍为上 下 三角形矩阵 证明 1 不妨考虑证单位下三角矩阵 单位上三角矩阵证明方法相同 设 AB C 其中 00 1 1 ijn n i ji j jiji AjiBjiCc ajibji 当 i 时 1 0 kj ni ijikkjikkj kkj jikb ca ba b 0 时 当i j时 当i j时 1 1 n iiikkiiiii k ca ba b 1 ni ijikkjikkj kkj ca ba b 当i j时 所以 C 为单位上三角矩阵 2 证明方法类似 1 5 证明单位上 下 三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上 下 三角形矩阵 非奇异上 下 三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上 下 三角形矩阵 证明 6 用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组 1 1 2 3 4 22351 12124 25327 13230 x x x x 18 解 1 1 1 2 131 1 211 2 L 0 X 2235 51 1 22 33 22 3 U 1 7 2 9 2 3 y 2 1 2 1 x 2 1 2 3 4 12342 1491610 18276444 1 1681256190 x x x x 解 1 11 131 1761 L 1234 2612 624 24 U 2 8 18 24 y 1 1 1 1 x 3 1 2 3 4 81362718252 361166268148 2762984474x x x x 解 9 410 358 2617 L 28 26 15 7 y 4 3 2 1 x 4 1 2 3 4 42 42312 280 2 45 4445 816 928 245 217 4522 957 35 87 4519 6650 945 x x x x 解 19 2 1 22 11 41 5 1 522 13 L 6 14 4 78 6 75 6 y 1 2 0 8 1 7 2 x 7 求解矩阵方程 123412 47101446 142231451417 X 解 X 1 123412 47101446 142231451417 111 000 101 8 用追赶法解线性代数方程组 213 1315 1113 213 X 解 1 2b 2 3b 3 1b 4 1b 2 1a 3 1a 4 2a 1 1c 2 1c 3 1c 11 2lb 111 1 2ucl 2221 5 2 lba u 222 2 5 ucl 3332 3 5 lba u 333 5 3 ucl 4443 7 3 lba u 1 3 2 y 22122 7 5 ydy al 33233 8 3 ydy al 44344 1ydy al 44 1xy 3334 1xyu x 2223 1xyu x 1112 1xyu x 1 1 1 1 x 10 证明等价关系 121 1 xxxx n 20 证明 2 2 1 1 x max n ii i n i xxx 又 1 1 111 max nnn ii i n iii xxxxnx 所以 1 x x n 由 Cauchy 不等式知 2 11 nn ii ii xx 所以 12 xx 综上说述 即证 11 证明由 0 max p p x p Ax A x 定义的 是 n n R 中的范数 证明 显然 0 0 0 max maxmax p p x p p P pp xx pp AB x A x Bx AX BA xx pA0 且 00 p AA 任意常数 0 max p p x p Ax A x 0 max p x p Ax x 0 max p x p Ax x A A B 0 max p x p AB x x 0 max p x p AXBx x 0 max Pp x p AXBx x 0 0 maxmax p P xx pp Bx AX xx pA pB 12 证明 1 1 1 max n i j j n i Aa 证明 对任何 1 1x 由于 1 1 i x 故 1 111 111 max max max nnn ijjijjij j nj nj n iii Axa xaxa 因此 1 1 1 max n ij j n i Aa 21 另一方面 设指标 o j满足 1 11 max o nn ijij j n ii aa 定义 x如下 10 10 o o ij ij a x a 显然 x 1 而且 1 111 max oo o nnn ijiijij j j n iii Axa xaa 从而 1 1 1 max o n jij j n i AxAxa 即成立 1 111 1 1 max max n ij xj n i AAxAxa 综上得命题成立 13 研究线形代数方程组 1 2 1 0001 0012 001 1 0001 0002 000 x x 的性态 并求精确解 设近似解 2 0 x 计算余量rbAx 以及近似解的相对误差 xx x 解 因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为 1000 1001 1000 1000 条件数为 4 0020e 003 远大于 1 所以其为病态的 其精确解为 1 1 x 余量为 r 2 001 2 000 1 0001 0012 1 0001 0000 0 001 0 1 1 4142 1 xx 1 1 4142 1 x 所以 100 xx x 14 计算 Hilbert 矩阵 22 111 1 23 1111 2341 1111 1221 n n Hn nnnn 解 先求出 3456 HHHH的逆矩阵 1111 3456 HHHH 然后 计算 3 H 1 3 H 4 H 1 4 H 5 H 1 5 H 6 H 1 6 H 得出 3 748cond H 3 4 3 10cond H 5 5 9 10cond H 7 6 6 10cond H 15 求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解 取初始向量 0 X 0 123 123 123 31 1 3620 3374 xxx xxx xxx 12 123 234 34 1056 510425 2 4811 511 xx xxx xxx xx 解 1 雅可比迭代式为 1 123 1 213 1 312 1 1 3 1 2 6 1 43 7 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取 0 0 0 0 x 则 1 1 3 0 4 7 x 2 1 7 5 14 3 7 x 23 2 雅可比迭代式为 1 12 1 213 1 324 1 43 1 65 10 1 2554 10 1 114 8 1 11 5 kk kkk kkk kk xx xxx xxx xx 取 0 0 0 0 0 x 则 1 3 5 5 2 11 8 11 5 x 2 13 20 33 20 2 5 99 40 x 16 若要求精度 3 10 k xx 知 需要 10 次迭代 2 雅可比迭代矩阵为 24 1 000 2 12 00 25 11 00 28 1 000 5 J B 同上 需要 22 次迭代 17 求用高斯 塞德尔迭代求解 15 题的两次迭代解 取初始向量 0 X 0 1 高斯赛德迭代式 1 123 1 1 213 1 1 1 312 1 1 3 1 2 6 1 43 7 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取 0 0 0 0 x 则 1 1 3 1 6 1 2 x 2 1 9 2 9 13 21 x 2 高斯赛德迭代式 1 12 1 1 213 1 1 324 1 1 43 1 65 10 1 2554 10 1 114 8 1 11 5 kk kkk kkk kk xx xxx xxx xx 取 0 0 0 0 0 x 则 1 0 6000 2 2000 2 7500 2 2550 x 2 0 5000 2 6400 0 3369 2 2674 x 25 18 求用 SOR 迭代 1 1 求解 15 题的两次迭代解 取初始向量 0 X 0 解 1 1 11123 1 1 22213 1 1 1 33312 1 1 3 1 3 1 1 6 2 6 1 1 7 43 7 kkkkk kkkkk kkkkk xxxxx xxxxx xxxxx k 0 1 取 0 0 0 0 x 则 1 0 3333 0 1833 0 5007 x 2 0 0492 0 1923 0 5880 x 2 1 1112 1 1 22213 1 1 33324 1 1 4443 1 1 10 65 10 1 102554 10 1 8114 8 1 511 5 kkkk kkkkk kkkkk kkkk xxxx xxxxx xxxxx xxxx k 0 1 取 0 0 0 0 0 x 则 1 0 6000 2 1700 0 1815 2 2399 x 2 0 6535 2 5625 0 2554 2 0322 x 19 设有线性代数方程组 123 123 123 21 2224 25 xxx xxx xxx 1 判断雅克比迭代的收敛性 2 判断高斯 塞德尔迭代的收敛性 解 1 雅克比迭代矩阵 26 011 202 110 J B J IB 11 22 11 2 50 5 1 2 J B 故雅克比迭代发散 2 高斯 塞德尔迭代矩阵 1 200011 220002 112000 G S B 1 00 2 011 11 0002 22 000 11 0 42 11 0 22 11 0 22 1 00 2 2 1 0 2 G S IB 1 1 2 G S B 1 1 2 0 1 2 2 3 2 2 3 1 所以 232 3 2 1 2 1 2 2895Nxxxxxx 13 给出数表 i x 1 2 3 i y 2 4 12 j y 3 试求 Hermite 多项式插值 解 1 2 2 4 2 33 3 4 2 4 5 3 12 8 2 3 2 1 1 2 4 1 2 Nxxxxx 32 4193114xxx 14 利用差分性质证明 1 2 1 21 nnn 12 1 6 1 21 222 nnnn 15 设对每一个整数 j 有 1 j j f 计算 j f 6 并对该函数做一个差分表 解 1 1 j 2 1 1 j 2 1 j 3 2 1 j 2 1 j 4 1 j 4 3 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 5 4 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 16 1 j 6 5 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 16 1 j 32 1 j 7 6 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 16 1 j 32 1 j 64 1 j 所以 6 64 1 j j f 16 设函数11 251 12 xxy取等距样条节点 h nihixi 2 1 0 1 1 计算函数在这些节点处的函数值 并作 解 取 0 1 26 y 21 1 125 11 yh 21 125 1 yihi 2 2 251 50 i i i x x y 12 3 1 2 1 1 251 2 jh h hxxxx xS jj 1 3 2 1 1 251 2 jh h hxxxx jj 34 2 2 22 1 1 1 1 1 251 1 1 50 h hjxhjx hj hj 2 2 22 1 1 1 251 1 50 h jhxjhx jh jh 17 给定插值条件数据 i x 0 1 2 3 i y 0 0 0 0 和端点条件 1 0 1 30 mm 2 0 1 30 MM 试分别求满足上述条件的三次样条插值的分段表达式 解 1 易知 hi 1 j 1 2 i 1 2 i 0 1 2 3 由基本方程组 jjjjji cmmm 11 2 和 1 11 3 j jjj j jj j h yy h yyj c 即有 02 2 1 0 2 1 2 2 1 21 210 mm mmm 解出 15 4 1 m 15 1 2 m 当 1 0 x时 1511 1 15 1 15 4 1 1 1 15 4 1 22 xxxxxxxxxxxxS 当 2 1 x时 2 1 15 1 1 2 15 4 22 xxxxxS 37 1 2 15 1 xxx 当 3 2 x时 1 3 15 1 2 xxxS 2 因为 jjjjji cmmm 11 2 0 j d 0 j c j 0 1 2 3 1 0 m 0 3 m 35 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 M M N 解出 2 15 0 0 N 15 4 1 M 15 1 2 M 由 j jjj j j jjj j j j j j j j h xxhM y h xxhM y h xx M h xx MxS 1 22 1 1 1 3 1 6 6 6 6 知 3 2 4 20 3 90 1 2 1 125 20 1 90 1 1 0 2619 1 90 1 xxxx xxxx xxxx xS 18 证明函数 00 0 3 x xx xS 对任何含 0 为节点的分划都是三次样条函数 19 证明式 4 4 32 线性无关 36 习题五习题五 1 求最小二乘拟合直线拟合如下数据 a k x 2 1 0 1 2 k y 1 2 3 3 4 解 由 1 2 1 m kk k m k k xxyy b xx ayb x 其中 1 1 m k k xx m 1 1 m k k yy m 计算可得0 x 2 6y 1 7 m kk k xxyy 2 1 10 m k k xx 0 7b 2 6ayb x 该组数据的最小二乘拟合直线为 2 60 7yx b k x 4 2 0 2 4 k y 1 2 2 8 6 2 7 8 13 2 解 解 法 同 上 题 用matlab计 算 得0 x 6 24y 1 58 m kk k xxyy 2 1 40 m k k xx 1 45b 6 24ayb x 该组数据的最小二乘拟合直线为 6 241 45yx c k x 0 0 0 25 0 50 0 75 1 00 k y 1 0000 1 2840 1 6487 2 1170 2 7183 解 解法同上题 用matlab计算得0 5x 1 7536y 1 1 0674 m kk k xxyy 2 1 0 625 m k k xx 1 7078b 0 8997ayb x 该组数据的最小二乘拟合直线为 0 89971 7078yx 2 求最小二乘拟合一次 二次和三次多项式 拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形 a k x 1 0 1 1 1 3 1 5 1 9 2 1 k y 1 84 1 96 2 21 2 45 2 94 3 18 解 1 一次最小二乘拟合多项式 做法如题一 37 1 4833 x 2 4300 y m k k xx 1 2 0 9683 1 1810 1 m k kk yyxx m k k m k kk xx yyxx b 1 2 1 1 2196 0 6209 xbya 该一次最小二乘拟合多项式为 xbxaxp2196 16209 0 11 21 41 61 822 22 4 1 8 2 2 2 2 4 2 6 2 8 3 3 2 离 散 点 表 示 和 一 次 拟 合 多 项 式 x y 2 二次最小二乘拟合多项式 设二次最小二乘拟合多项式为 2 210 xaxaaxp 由 教材分析知 系数满足如下正规方程组 m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy y a a a xxx xxx xxm 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 把表中的数值代入得 0962 38 808 22 9 8 8629 42023 2417 14 023 2417 149 8 17 149 86 2 1 0 a a a 解得 01085343 0 253293 1 5965807 0 2 1 0 a a a 该二次最小二乘拟合多项式为 38 22 210 1085343 0253293 15965807 0 xxxaxaaxp 11 21 41 61 822 22 4 1 8 2 2 2 2 4 2 6 2 8 3 3 2 离 散 点 表 示 和 二 次 拟 合 多 项 式 x y 3 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 设 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 为 3 3 2 210 xaxaxaaxp 由教材分析知 系数满足如下正规方程组 m k kk m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy xy y a a a a xxxx xxxx xxxx xxxm 1 3 1 2 1 1 3 2 1 0 1 6 1 5 1 4 1 3 1 5 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 把表中的数值代入得 1883 67 0962 38 8080 22 9 8 8010 1515192 798629 42023 24 5192 798629 42023 2417 14 8629 42023 2417 149 8 023 2417 149 86 3 2 1 0 a a a a 39 解得 001004723 0 03533252 0 185010 1 6290193 0 3 2 1 0 a a a a 该三次最小二乘拟合多项式为 323 3 2 210 001004723 003533252 0185010 16290193 0 xxxxaxaxaaxp 11 21 41 61 822 22 4 1 8 2 2 2 2 4 2 6 2 8 3 3 2 3 4 3 6 离 散 点 表 示 和 三 次 拟 合 多 项 式 x y b k x 4 0 4 2 4 5 4 7 5 1 5 5 5 9 6 3 6 8 7 1 k y 102 56 113 18 130 11 142 05167 53195 14224 87256 73 299 50 326 72 解 1 一次最小二乘拟合 做法如题一 4100 5 x 8390 951 y m k k xx 1 2 7090 01 9531 717 1 m k kk yyxx 0845 72 1 2 1 m k k m k kk xx yyxx b 1382 194 xbya 该一次最小二乘拟合多项式为 xbxaxp0845 721382 194 40 44 555 566 577 5 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 离 散 点 表 示 和 一 次 拟 合 多 项 式 x y 2 二次最小二乘拟合多项式 设二次最小二乘拟合多项式为 2 210 xaxaaxp 由 教材分析知 系数满足如下正规方程组 m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy y a a a xxx xxx xxm 1 2 1 1 2 1 0 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 把表中的数值代入得 68007 11367 1 54 105238 175939 303 8 175939 3091 54 39 3031 5410 2 1 0 a a a 解得 61821 6 14352 1 23556 1 2 1 0 a a a 该二次最小二乘拟合多项式为 22 210 61821 614352 1123556 1 xxxaxaaxp 41 44 555 566 577 5 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 离 散 点 表 示 和 二 次 拟 合 多 项 式 x y 3 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 设 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 为 3 3 2 210 xaxaxaaxp 由教材分析知 系数满足如下正规方程组 m k kk m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy xy y a a a a xxxx xxxx xxxx xxxm 1 3 1 2 1 1 3 2 1 0 1 6 1 5 1 4 1 3 1 5 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 把表中的数值代入得 417730 68007 11367 1 54 40562064608105238 1759 64608105238 175939 303 105238 175939 3031 54 8 175939 3031 5410 3 2 1 0 a a a a 解得 0136742 0 84557 6 37919 2 42904 3 3 2 1 0 a a a a 该三次最小二乘拟合多项式为 32 0136742 084557 637919 242904 3 xxxxp 42 44 555 566 577 5 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 离 散 点 表 示 和 三 次 拟 合 多 项 式 x y 3 证明正弦函数组 xnxxx 1sin 3sin 2sin sin 在点集 1 0 nk n k xX k 上线性无关 证明 假设存在 121 n ccc 使得 0 1sin 2sinsin 121 xncxcxc n 成立 由x取值于X 当nk 0 时 上述等式显然成立 当1 2 1 nk 时 由方程组 0 1 sin 1 3 sin 1 2 sin 1 sin 0 1 3 sin 3 sin 6 sin 3 sin 0 1 2 sin 6 sin 2 sin 2 sin 0 1 sin 3 sin 2 sinsin 2 321 2 321 3 2 21 321 n n c n n c n n c n n c n n c n c n c n c n n c n c n c n c n n c n c n c n c n n n n 要判断函数组xnxxx 1sin 3sin 2sin sin 在点集X上线性无关或线性 由线性代数知 识 只需判断上面导出的线性方程组的系数矩阵的行列式是否为零即可 系数行列式为 43 Adet n n n n n n n n n n nnn n n nnn n n nnn 2 2 2 1 sin 1 3 sin 1 2 sin 1 sin 1 3 sin 3 sin 6 sin 3 sin 1 2 sin 6 sin 2 sin 2 sin 1 sin 3 sin 2 sinsin 数学归纳法 当2 n时 01 2 sindet A 当3 n时 0 3 sin 3 sin2 3 4 sin 3 2 sin 3 2 sin 3 sin det A 假设当1 kn时 0det A 当kn 时 分两种情况 1 12 mkn 考察行列式的第i行和第1 in行 1 mi 元素的关系易知 n in n i 1 sinsin n in n i 1 2 sin 2 sin n in n i 1 3 sin 3 sin n in n i 1 4 sin 4 sin n inn n in 1 2 sin 2 sin n inn n in 1 1 sin 1 sin 所以我们可以把第1 in行上元素与第i行对应元素相加 1 mi 则行列式转化为 0 1 2 sin20 1 3 sin20 1 sin2 0 2 1 sin20 1 3 sin20 1 sin2 1 sin 2 sin 3 sin 2 sinsin 1 sin 2 sin 3 sin 2 sinsin n nn n n n n n nm n m n m n nm n nm n m n m n m n n n n nnn 再 将第i行对应元素与第1 in行上元素的一半对应相减 1 mi 则行列式转化为 44 0 1 2 sin20 1 3 sin20 1 sin2 0 2 1 sin20 1 3 sin20 1 sin2 1 sin00 2 sin0 1 sin00 2 sin0 n nn n n n n n nm n m n m n nm n m n n n 最后把第i列与第1 in列交换则可把行列式转化为如下的块对角行列式 CB C B A mm 1 0 0 1 det 由归纳假设0 0 CB 所以0det A 2 当mkn2 时的处理方法类似 这里从略 所以对于任意的2 n 0det A成立 由0det A我们知道前面的线性方程组有唯一的零解 即仅当0 21 n ccc 时 0 1sin 2sinsin 121 xncxcxc n 成立 所以得证 4 求解例 5 1 1 解 该问题得数据表格为 x 58 108 150 228 y 88 225 365 687 由数据做草图观察可设 b axT 令TYln xXln aAln 于是方程转化为一次最小二乘拟合求 bXAY 数据表格转化为 xXln 4 0604 4 6821 5 0106 5 4293 yYln 4 4773 5 4161 5 8999 6 5323 7956 4 4 4 1 k k X X 5814 5 4 4 1 k k Y Y 4998 1 4 1 2 4 1 k k k kk XX YYXX b 6108 1 XbYA 一次最小二乘拟合多项式为 XbXAY4998 16108 1 转化为原方程得未知数得方程 4998 1 1997 0 xT 此即为所求得拟合曲线 45 4 06 08 01 0 01 2 01 4 01 6 01 8 02 0 02 2 02 4 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 拟 合 的 效 果 5 求形如xbxacossin 的函数拟合如下数据 3 0 1 5 0 0 1 5 3 0 0 1385 2 1587 0 8330 2 2774 0 5110 解 xsin 0 xcos 1 1 k 5 4 3 2 1 k问题变为求 10 xbxaxp 使得min 2 5 1 k kk yxp 相应得正规方程组为 5 1 1 5 1 2 1 5 1 10 5 1 0 5 1 01 5 1 2 0 k kk k k k kk k kk k kk k k xybxaxx xybxxax 由于 5 1 5 1 2 2 0 2 0298 sin kk kk xx 0 cos sin 5 1 5 1 10 k kk k kk xxxx 2 9702 cos 5 1 5 1 2 2 1 kk kk xx 3724 4 sin 5 1 5 1 0 k kk k kk xyxy 4844 1 cos 5 1 5 1 1 k kk k kk xyxy 正规方程组为 4844 19702 20 3724 400298 2 ba ba 其解为 1541 2 a 4998 0 b 因此 所求的拟合函数为 xxxpcos4998 0sin1541 2 46 6 求拟合函数 bx ae xp 1 1000 拟合如下数据 0 1 2 3 4 200 400 650 850 950 解 令 1 1000 ln y Y xX 1000ln A bB 则数据表格转化为 xX 0 1 2 3 4 1 1000 ln y Y 1 3863 0 4055 0 6190 1 7346 2 9444 问题变为求该组数据的一次最小二乘拟合 BxAY 计算 5 1 2 k k XX 7012 0 5 1 k k YY 0802 1 10 8015 10 5 1 2 5 1 k k k kk XX YYXX B 4591 1 XBYA 故一次最小二乘拟合多项式为 XY0802 14591 1 转化为原未知数 3021 4 A ea 0802 1 Bb 所求拟合函数为 x e xp 0802 1 3021 41 1000 7 设 为内积空间Y中的内积 证明 fff 为Y中的范数 证明 要证 f为范数即需要证明下列范数公理 1 齐次性 ff 2 三角不等式 gfgf 3 正定性 0 f 00 ff 222 fxfxxfxfff b a b a 2 2 22 gfggffgggfffgfgfgf gfgf 这里 应用了SchwarzCauchy 不等式 由 f得定义易见0 f 0 0 0 22 fxfxfxfff b a 得证 47 8 证明性质 5 2 3 证明 必要性 设 n 10 于 ba线性