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高等数学 第三章测试题 使用专业、班级 学号 姓名 l题数一二三四五六七总分得分 一、填空题 每小题4分，共计20分1、_ _。2、曲线的拐点坐标是_。 ，令，当时，；当时而当时，拐点为3、若在含的（其中）内恒有二阶负的导数，且_,则是在上的最大值。当时，单调增加；当时，单调减少4、曲线的上凸区间是_。 令，当时，上凸，其它区间，上凹，故应填入。5、在内有_1_个零点。 ，在上单调增加又.在内有1个零点。 二、单选题 每小题4分，共计20分1、设则在内曲线（ ）（）单调增凹的； （）单调减凹的；（）单调增凸的； （）单调减凸的。 当时，又 在上单调减且为凹的。2、已知在的某个邻域内连续，且，则在点 处（ ）（）不可导； （）可导，且；（C）取得极大值； （）取得极小值。利用极限的保号性可以判定的正负号：（在的某空心邻域）；由，有，即在取极小值。3、设有二阶连续导数，且，则（）（）是的极大值；（）是的极小值；（）是曲线的拐点；（）不是的极值点。 由极限的保号性：（在的某空心邻域）；由此（在的某空心邻域），单调增，又由，在由负变正，由极值第一充分条件，是的极小点 。4、设、在连续可导，且，则当时，则有（ ）（）； （）；（）； （）。由单调减少，.5、在内连续，则在 处（ ）（）取得极大值； （）取得极小值；（）一定有拐点； （）可能取得极值，也可能有拐点。，则，是的拐点；设，则，而是的极值点。 三、计算题 每小题7分，共计28分（1）计算下列极限解： （2）解： （3）试确定常数与的一组数，使得当时，与为等价无穷小。解： ，（4）已知，利用泰勒公式求。解： 泰勒公式而对比 的导数有： 四、（8分）证明不等式当时，有不等式。证明：令在时 ，在上单调增 即 五、（8分）作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该体积最小值。解： 设圆锥的高为，底面圆半径为，则有比例关系 令唯一驻点所以，当时，体积最小，此时 六、（8分）设，证明。证明：令 ，则在上连续 在上单调增加，得 ， 即 七、（8分）若在上有三阶导数，且，设，试证：在 内至少存在一个，使。证明： 由题设可知在上存在，又，由罗尔定理，使，又，可知在上满足罗尔定理，于是，使，又，对在上再次利用罗尔定理，故有，使得。考试形式开卷（ ）
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