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第三节 一 三重积分的概念 二 三重积分的计算 三重积分 第九章 一 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 采用 引例 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质 求分布在 内的物质的 可得 大化小 常代变 近似和 求极限 解决方法 质量M 密度函数为 定义 设 存在 称为体积元素 若对 作任意分割 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似 性质 例如 下列 乘 中值定理 在有界闭域 上连续 则存在 使得 V为 的 体积 积和式 极限 二 三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 一 为定积分 二 即二重积分 方法3 三次积分法 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 其中 为三个坐标 例1 计算三重积分 所围成的闭区域 解 面及平面 化三重积分为三次积分 其中积分区域为由曲面及 所围成的闭区域 例2 解 由 得交线投影区域 故 化三重积分为三次积分 例3 解 所围成的闭区域 其中积分区域为由曲面 原式 积分域为 例4 计算三重积分 解 用 先二后一 例5 计算积分 所围成 其中 由 分析 若用 先二后一 则有 计算较繁 采用 先一后二积分 较好 所围 故可 表示为 解 2 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 例6 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 与平面 其中 由抛物面 原式 其中 为由 例7 计算三重积分 所围 解 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体 解 在柱面坐标系下 其中 为由抛物面 例8 计算三重积分 3 利用球坐标计算三重积分 就称为点M的球坐标 直角坐标与球坐标的关系 坐标面分别为 如图所示 在球坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围 1 积分域表面用球坐标表示时方程简单 2 被积函数用球坐标表示时变量互相分离 例9 计算三重积分 解 在球坐标系下 所围立体 其中 与球面 例10 求曲面 所围立体体积 解 由曲面方程可知 立体位于xoy面上部 利用对称性 所求立体体积为 yoz面对称 并与xoy面相切 故在球坐标系下所围立体为 且关于xoz 例11 计算三重积分 解法1 在球面坐标系下 其中 法2 在柱面坐标下 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁 或 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 对应雅可比行列式为 变量可分离 围成 1 将 用三次积分表示 其中 由 所 提示 六个平面 围成 思考与练习 2 设 计算 提示 利用对称
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