数学奥赛教练员培训班讲义(平面几何).doc

数学奥赛教练员培训班讲义（1） 第一讲 平面几何 平面几何是数学竞赛中的一个基本内容。它以严密的逻辑结构、灵活的证题方法，在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力等方面起着特殊的作用。因此在数学竞赛中平面几何的内容占有十分突出的地位。平面几何主要研究度量关系的证明、位置关系的证明、面积关系解题、几何量的计算、轨迹问题等。 一、与三角形有关的重要定理1.梅涅劳斯定理 一直线分别截ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）于D、E、F，则。说明：（1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。（2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。（3）其逆定理为：如果D、E、F分别在ABC的边BC、CA、AB（或其延长线上），并且，那么D、E、F三点在同一条直线上。（4）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。2.塞瓦定理 设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D，E，F，则。说明：（1）该定理可借助于梅氏定理来证明（也可用面积法来证明）。如果O点在三角形外，结论仍然是成立的。（2）其逆定理为：分别在ABC三边（所在直线）BC、CA、AB上各取一点D、E、F，若有，则AD、BE、CF平行或共点。（3）塞瓦定理及其逆定理是证明三直线交于一点（线共点）问题的重要定理，应用塞瓦定理很容易证明三角形中的主要线段的共点问题。3.三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成21的两段。三角形的外心和内心的距离。此公式称为欧拉式，由此还得到。当且仅当ABC为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R和r分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。与的一边及另两边的延长线均相切的圆称为的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。二、与圆有关的重要定理4.四点共圆的主要判定定理（1）若1=2，则A、B、C、D四点共圆；（2）若EAB=BCD，则A、B、C、D四点共圆；（3）若PAPC=PBPD，则A、B、C、D四点共圆；（4）若ABDC+ADBC=ACBD，则A、B、C、D四点共圆。5.西姆松定理 过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（称为西姆松线）。说明：（1）其逆定理为：若一点到三角形三边所在直线的垂足共线，则该点在三角形的外接圆上。（2）推广（卡诺定理）：通过ABC外接圆上的一点P引与三边BC、CA、AB分别成同向等角的直线PD、PE 、PF，分别与三边交于D、E、F，则D、E、F三点共线。6.托勒密定理 若四边形内接于一圆，则该四边形的两对边乘积之和等于它的对角线乘积。说明：（1）其逆定理为：若四边形两对边乘积之和等于它的对角线乘积，则该四边形内接于圆。（2）推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，恒有两对边乘积之和大于或等于它的对角线乘积。三、典例例1. 已知ABC为等腰直角三角形，C为直角，延长CA到D，以AD为直径作圆O，边BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么=（ ）A1 B C D2例2. （08年联赛）如图，设，为三角形的三条高，若，则线段的长为 （ ）. 4. . .例3. 三角形ABC为锐角三角形,AD为该三角形的一条高.设P为线段AD上一点,直线BP、CP分别交AC、AB于点E、F，证明：DA平分EDF。例4. 设A,B,C顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA,PC,PB上的点,线段AC,CB对点P的张角分别为,且+ AC ,O是它的外心,H是它的垂心,F是高CH的垂足,过F作OF的垂线交边CA于P.证明:FHP=BAC.15.给定以O为圆心,AB为直径的半圆周,在其上取点K和M,在直径上取点C,使得KCA=MCB.证明:K,C,O,M四点共圆.16. 如图，圆O（圆心为O）与直线L相离，作OPL于P。设点Q是L上任意一点（不与点P重合），过点Q作圆O的两条切线QA和QB，A和B为切点，AB与OP相交于点K，作点P作PMQB于M，PNQA于N，求证:直线MN平分线段KP。奥数简介数奥的价值：（1）普及数学；（2）推动促进教改；（3）激发兴趣，发展个性；（4）拓宽视野，培养品质；（5）现代数学思想；（6）素质与智能教育；（7）发现人才；（8）合作创新精神，提高能力。内容：代数、几何、数论、组合题型特点：新、活、巧、奇、野，双超（超前、超常）高考加分规定：参加全国中学生学科（如数学）奥赛获省级赛区一等奖者，加20分。挡不住的诱惑：（1）高考加分规定；（2）保送上大学；（3）终身荣誉，代表当地学校的最高水平。注意：（1）数奥不是人人都能吃得消，不宜偏科；（2）最好恰当搞一点奥赛；（3）封杀奥赛，并非数奥本身有错，主要是错在某些人为的不恰当的引导，视奥赛为“金榜题名”的人生名利场，过度应试极易扼杀兴