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第九章组合变形 9 1组合变形和叠加原理9 2斜弯曲9 3拉伸或压缩与弯曲的组合9 4弯曲和扭转的组合9 5偏心压缩和截面核心 2020 1 27 1 轴向拉伸与压缩Axialtension compression 剪切Shear 扭转Torsion 弯曲Bending 此外 还有组合变形CombinedDeformation 9 1组合变形和叠加原理 9 1 1四种基本变形 2020 1 27 2 拉弯组合变形 9 1 2组合变形工程实例 9 1组合变形和叠加原理 这类由两种或两种以上基本变形组合而成的变形 称为组合变形 2020 1 27 3 压弯组合变形 9 1 2组合变形工程实例 9 1组合变形和叠加原理 本章介绍几种常见的组合变形 分别是 斜弯曲 拉弯或压弯组合 弯扭组合 偏心压缩 2020 1 27 4 弯扭组合变形 9 1 2组合变形工程实例 马达卷扬机 9 1组合变形和叠加原理 2020 1 27 5 传动轴 在齿轮啮合力的作用下 发生弯曲 扭转 9 1组合变形和叠加原理 9 1 2组合变形工程实例 2020 1 27 6 压弯组合变形 9 1 2组合变形工程实例 屋架传来的压力 吊车传来的压力 自重 风力 9 1组合变形和叠加原理 2020 1 27 7 9 1 3叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下 力的独立性原理是成立的 即所有载荷作用下的内力 应力 应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的叠加 9 1组合变形和叠加原理 说明 1 必须是线弹性材料 加载在弹性范围内 服从胡克定律 2 必须是小变形 保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算 且能保证与加载次序无关 2020 1 27 8 说明 小变形前提 图示纵横弯曲问题 横截面上内力为 当变形较大时 弯矩中与挠度有关的附加弯矩不能略去 虽然梁是线弹性的 弯矩 挠度与P的关系却是非线性的因而不能用叠加法 除非梁的刚度较大 挠度很小 轴力引起的附加弯矩可以略去 9 1组合变形和叠加原理 9 1 外力分析将外力进行简化分解 把构件上的外力转化为几个静力等效载荷 使之每个载荷对应一种基本变形 即将组合变形分解为基本变形 3 应力分析画出危险截面的应力分布图 利用叠加原理将基本变形下的应力叠加 建立危险点的强度条件 9 1 4处理组合变形的基本方法 2 内力分析求每个外力分量对应的内力方程和内力图 确定危险截面 分别计算在每一种基本变形下构件的应力 9 1组合变形和叠加原理 2020 1 27 10 9 2斜弯曲 9 2 1斜弯曲变形工程实例 檩条受到的荷载作用在铅垂作用面内 然而 檩条弯曲变形后的轴线并不在铅垂作用面内 因此 檩条发生斜弯曲变形 2020 1 27 11 9 2斜弯曲 9 2 2斜弯曲变形的前提条件 一是载荷作用在一个平面内 但载荷作用面与梁的纵向对称面不重合 图a 二是载荷都作用在对称面内 但不在同一纵向对称面内 图b 2020 1 27 12 9 2斜弯曲 9 2 3内力与应力计算 1 外力分析 荷载分解 考察图示矩形截面梁 对其进行分析计算 2020 1 27 13 9 2斜弯曲 9 2 3内力与应力计算 2 内力分析 距自由端为x的任意截面A上引起的弯矩分别为 2020 1 27 14 9 2斜弯曲 9 2 3内力与应力计算 3 应力分析 对应的应力分布 如图所示 于是 A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公式计算 得 2020 1 27 15 9 2斜弯曲 9 2 3内力与应力计算 3 应力分析 一点总应力 以截面上第一限点 y z 为例 压应力 拉应力 利用叠加原理 该点总应力为 9 3 2020 1 27 16 中性轴 9 2斜弯曲 9 2 4中性轴分析 上例中 斜弯曲截面应力分布如图所示 根据中性轴处正应力为零 令 9 3 式等于零便可得中性轴方程 9 4 中性轴方程 上式为没有截距的直线方程 可见此时中性轴通过截面形心 如图所示 2020 1 27 17 中性轴 9 2斜弯曲 9 2 4中性轴分析 这表明 斜弯曲时 中性轴与加载方向不垂直 这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一 得 设中性轴与y轴的夹角为 则由 工程中 一般 说明 也就是 2020 1 27 18 9 2斜弯曲 9 2 5最大正应力和强度条件 最大正应力为 1 最危险截面 为固定端截面 以上一悬臂梁为例 如右图所示 2 最危险截点 为正应力最大点 可根据叠加原理分析得出 如下图所示 强度条件为 9 5 9 7 2020 1 27 19 例题9 1 已知 l 4m 160MPa 5 P 60kN求 校核梁的强度 解 将P沿两主轴分解 1 外力分析 9 2斜弯曲 2020 1 27 20 例题9 1 已知 l 4m 160MPa 5 P 60kN求 校核梁的强度 解 2 内力分析 危险截面 简支梁 当小车至梁中点时 Mmax 危险截面是梁跨度中点处的截面 9 2斜弯曲 2020 1 27 21 已知 l 4m 160MPa 5 P 60kN求 校核梁的强度 解 3 应力分析 危险点 危险点在D2 D1处 塑性材料 只计算一处即可 32a工字钢 5 例题9 1 单位 mm3 由于 max仅比 大0 19 故可认为安全 9 2斜弯曲 2020 1 27 22 9 3 1变形举例 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 a 当杆件上同时作用有轴向外力和横向外力 如图所示 则杆件的变形为轴向拉伸 或压缩 与弯曲的组合变形 横向力引起的剪切变形忽略不计 2020 1 27 23 9 3 2内力与应力计算 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 a 以图 a 所示的受力杆件为例 说明拉 压 与弯曲组合时的正应力及其强度计算 1 荷载分析 荷载F可以分为两个方向 轴向Fx和横向Fy 2 内力分析 轴力由水平分力Fx决定 弯矩由横向分力Fy决定 2020 1 27 24 9 3 2内力与应力计算 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 3 应力分析 应用叠加原理 横向力作用下梁发生平面弯曲 正应力 如图 c 轴力单独作用时 横截面上的正应力 如图 b b c d 总应力 加号代表代数和 使用时注意拉应力取正 压应力取负 9 8 2020 1 27 25 9 3 3最大正应力和强度条件 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 1 危险截面 轴力各截面相等 弯矩固定端最大 2 危险点 如图 d 可知 最危险点在固定端的最下边缘 综合可知 固定端最危险 最大正应力 强度条件 9 9 2020 1 27 26 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 例题9 2悬臂吊车如图所示 横梁用20a工字钢制成 其抗弯刚度Wz 237cm3 横截面面积A 35 5cm2 总荷载F 34kN 横梁材料的许用应力为 125MPa 校核横梁AB的强度 解 1 荷载分析 分析AB的受力情况 AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 2020 1 27 27 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 例题9 2悬臂吊车如图所示 横梁用20a工字钢制成 其抗弯刚度Wz 237cm3 横截面面积A 35 5cm2 总荷载F 34kN 横梁材料的许用应力为 125MPa 校核横梁AB的强度 中间截面为危险截面 最大正应力发生在该截面的上下边缘 上压下拉 2 内力分析 确定危险截面 FN图 M图 2020 1 27 28 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 例题9 2悬臂吊车如图所示 横梁用20a工字钢制成 其抗弯刚度Wz 237cm3 横截面面积A 35 5cm2 总荷载F 34kN 横梁材料的许用应力为 125MPa 校核横梁AB的强度 3 压缩正应力 4 最大弯曲正应力 5 危险点的应力 满足强度要求 2020 1 27 29 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 例题9 2悬臂吊车如图所示 横梁用20a工字钢制成 其抗弯刚度Wz 237cm3 横截面面积A 35 5cm2 总荷载F 34kN 横梁材料的许用应力为 125MPa 校核横梁AB的强度 3 压缩正应力 4 最大弯曲正应力 5 危险点的应力 满足强度要求 2020 1 27 30 2020 1 27 31 例题9 3小型压力机的铸铁框架如图所示 已知材料的许用拉应力 t 30MPa 许用压应力 c 160MPa 试按立柱的强度确定压力机的许可压力F 50 50 150 150 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 2020 1 27 32 解 1 确定形心位置 A 15 10 3m2 z0 7 5cm Iy 5310cm4 计算截面对中性轴y的惯性矩 50 50 150 150 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 2020 1 27 33 2 分析立柱横截面上的内力和应力 在n n截面上有轴力FN及弯矩My n n 350 F F 50 50 150 150 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 2020 1 27 34 由轴力FN产生的拉伸正应力为 n n 350 F F 50 50 150 150 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 2020 1 27 35 由弯矩My产生的最大弯曲正应力为 50 50 150 150 n n 350 F F 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 2020 1 27 36 3 叠加 在截面内侧有最大拉应力 50 50 150 150 n n 350 F F 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 2020 1 27 37 在截面外侧有最大压应力 F 45 1kN 所以取 50 50 150 150 n n 350 F F 9 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 2020 1 27 38 研究对象 主要是圆截面杆 研究内容 杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算 变形特点 受力特点 杆件同时承受扭矩和横向力作用 发生扭转和横力弯曲两种基本变形 横力剪切变形忽略不计 9 4弯曲和扭转的组合 2020 1 27 39 1 外力分析 图 b c 分别为该圆轴的弯矩图和扭矩图 已知悬臂圆轴在悬臂端受到横向集中力和外力偶矩的作用 如图 a 所示 9 4弯曲和扭转的组合 9 4 1弯扭组合轴 2 内力分析 最危险截面 即支座截面A 2020 1 27 40 3 应力分析 支座A截面内力分量如图 a 所示 9 4弯曲和扭转的组合 9 4 1弯扭组合轴 扭转切应力极值出现在外边缘 如图 b 所示 a 弯曲正应力极值出现在上下边缘 如图 c 所示 综上可知 C1 C3为最危险点 2020 1 27 41 3 应力分析 弯扭组合轴多采用抗拉和抗压强度相等的塑性材料制成 则只要校核一点的强度就可以了 9 4弯曲和扭转的组合 9 4 1弯扭组合轴 C1点应力状态如上图所示 可求得该点主应力为 2020 1 27 42 4 强度条件 C1点为二向应力点 故按强度理论建立强度条件 9 4弯曲和扭转的组合 9 4 1弯扭组合轴 同理 第四强度理论也可以转化成如下形式 按第三强度理论有 已知 而且圆截面 9 10 代入公式 9 10 得 9 11 9 12 9 13 2020 1 27 43 图示梁同时承受弯矩 扭矩和剪力时 危险点不仅仅是C1和C3 还有C4点 9 4弯曲和扭转的组合 9 4 2同时承受弯矩 扭矩 剪力和轴力的圆杆 C4点 该点 或 第三强度理论 第四强度理论 2020 1 27 44 如果在本例中再加入轴力的作用 那么危险点需要根据实际情况有所改变 若轴力为拉力 则本例危险点是C1和C4点 9 4弯曲和扭转的组合 9 4 2同时承受弯矩 扭矩 剪力和轴力的圆杆 F 对C1点 对C4点 2020 1 27 45 例题9 4传动轴左端的轮子A由电机带动 传入的扭转力偶矩Me 300N m 两轴承中间的齿轮E半径R 200mm 径向啮合力F1 1400N 轴的材料许用应力 100MPa 试按第三强度理论设计轴的直径d 解 1 受力分析 作计算简图 F2向轴简化 得一附加力偶矩 大小等于Me 9 4弯曲和扭转的组合 2020 1 27 46 2 作内力图 危险截面E处 9 4弯曲和扭转的组合 47 9 4弯曲和扭转的组合 2020 1 27 48 2 作内力图 危险截面E处 3 由强度条件设计d 合成弯矩为 9 4弯曲和扭转的组合 49 例齿轮轴AB如图所示 已知轴的转速n 265r min 输入功率P 10kW C为主动轮 两齿轮直径D1 396mm D2 168mm 压力角 轴的直径d 50mm 材料为45号钢 许用应力为 试校核轴的强度 9 4弯曲和扭转的组合 2020 1 27 50 解 轴的外力分析 将啮合力分解为切向力与径向力 并向齿轮中心 轴线上 平移 考虑轴承约束力后得轴的受力图如图 b 所示 由得 由扭转力偶计算相应切向力 径向力 同理 得 9 4弯曲和扭转的组合 2020 1 27 51 轴上铅垂面内的作用力P1y P2y 约束力YA YB构成铅垂面内的平面弯曲 由平衡条件可求得 轴上水平面内的作用力P1z P2z 约束力ZA ZB构成水平面内的平面弯曲 由平衡条件可求得 2020 1 27 52 作内力图 分别作轴的扭矩图T图 图c 铅垂面内外力引起的轴的弯矩图Mz图 水平面外力引