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奥运会临时超市网点设计的数学模型摘要本问题是建立在统计数据上的综合问题，是具有概率统计特点的优化模型。针对大量的调查数据我们利用SARS软件进行了一维、二维的统计，并用直方图及饼图进行描述，从而总结出有关观众在出行、用餐和购物方面以及相互之间的交叉规律。 我们把每个商区看作为一个节点，建立了基于“节点链流量”计算的流量分析计算模型：（）=（）+（）。通过确定关联系数，建立关联矩阵，分别计算出各节点（商区）的出行总流量：和就餐总流量：；从而计算出各商区的流量分布为：商业区A1A2A3A4A5百分比(%)5.724.385.256.166.99商业区A6A7A8A9A10百分比(%)13.526.125.254.383.52（B,C区略）我们以满足观众的购物需要为优先原则，建立了单位时间内最大动态实际购买人流量配置MS数量模型Fmax,Si。在一些参数的合理假设下，通过确立单位时间t内滞留在各商区的人流数来确立MS的个数，并兼顾分布均衡原则，赢利原则得出优化后的各商区的大小两种不同的MS的配置数目：商业区A1A2A3A4A5大超市62244小超市34434商业区A6A7A8A9A10大超市124422小超市34243（B,C区略）我们还提供了不同参数下模型改造的方法，使模型更具有实用性。一、问题重述2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和施工阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭的临时商业网点，称为迷你超市（Min Supermarket,以下记做MS）网，以满足观众，游客，工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品，旅游用品，文体用品和小日用品等。在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点，大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求，分布基本均衡和商业上赢利。 图1(略)给出了比赛主场馆的规划图。作为真实地图的简化，在图2（略）中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场图3（略）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。请你按以下步骤对图2（略）的20个商区设计MS网点：1 根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。 2 假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。3 如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。4 阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。二、问题分析该题要求以统计数据为依据，利用数据反映出的相关的规律，规划各商业区中的超市数量和结构。为此，我们必须对大量的抽样信息，进行一维，二维情况的归类分析，找出其内在规律，从而获得解决问题的入手点；由于调查问卷反馈的信息缺乏动态性，因而由此确定的人流量分布情况会与实际购物人数分布有较大偏差，为此必须建立动态的数学模型来分析实际购物人员的分布，在满足购物要求，分布基本均衡和商业赢利的原则基础上确定各商区的MS的实际配备数量及类型。三 、模型假设(1)问卷调查的反馈信息能够真实反映观众的实际需求；(2)观众在出行和用餐时，按同一线路往返；(3)每个看台都坐满观众(4)各看台无优劣之分，各看台观众分布随机； (5)计算人流量时，只考虑两次出行，其中一次进出场馆，一次就餐；(6)每个看台上的观众在进出时只选择对应的出口；(7)看台的编号与对应的商业区的编号一致。四、 符号设定各看台的观众人数。国家体育场的观众出行引起的第j商业区的人流量。为用餐进出国家体育场的观众引起的第j商业区的人流量。 国家体育场的第j商业区的人流量各看台的乘公交车观众人数。各看台的乘出租车观众人数。各看台的乘私家车观众人数。 各看台的乘地铁观众人数。 乘第k各种交通工具的观众占总人数的百分比。每个看台上吃中餐的观众人数。每个看台上吃西餐的观众人数。每个看台上去商场（餐饮）就餐的观众人数。享用第 t种饮食方式的观众人数占总人数的百分比。国家体育馆的第m商业区的人流量。国家游泳中心的第n商业区的人流量。( j = 1,2,3 10;m= 1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,4;k=1,2,3,4; t=1,2,3)五、 问卷调查情况分析 根据对观众问卷调查反馈的情况，我们利用SARS软件进行了统计和分析。并用MATLAB做出相对应的条状图与饼状图1，得出以下五组统计数据表：（一）、出行工具选择统计与分析表（1） 观众所乘交通工具统计交通工具公交（南北）公交（东西）出租私车地铁（东）地铁（西）人数（人）17741828201095820062024百分比33.98%18.96%9.04%38.02%（为了清晰的反映各种交通工具的比例关系,我们采取在百分比中将公交(南北),公交(东西) 两项合并。同样将地铁(东),地铁(西)两项合并.并辅以主状图和饼状图.）分析结论：从图中我们可以发现观众的出行工具选择比例情况，乘地铁的观众最多共有4030人占38.02%，乘公交车的观众有3602人占33.98%，而乘出租车私家车的观众最少各占18.96%和9.04%，究其原因可以从以下几种情况分析(a)私家车拥有量比例不高；(b)乘公共交通工具可以避免交通堵塞。 我们也可以做如下的推断：对于观看大型比赛项目，由于观众人数较多，为了避免赛场附近出现交通拥挤的情况，人们更多的会选择乘坐公共交通工具。（二）、观众就餐方式统计与分析表（2）观众就餐情况的统计就餐种类中餐西餐商场（餐饮）人数238255672651百分比22.47%52.52%25.01%分析结论：从图表中我们不难得到结论，观众中选择西餐的人数5567人，占总人数的52.52%已经半数，而选择商场餐饮和中餐的情况相差不大，分别占25.01%，22.47%。观众更多的选择了西餐，这主要是因为随着中国经济的发展，作为首都的北京的国际化大都市的地位不断加强，北京的国际化交往越来越频繁，人们越来越多的接受了国际化的大趋势，更多的选择了西餐也就不足为奇了，我们还可以大胆的推断到2008年北京奥运会期间全世界的体育迷将汇聚北京，那时候对于观众来说，西餐是当然的首选。（三）、购物档次统计与分析表（3） 观众消费额（非餐饮）档次情况进行统计消费档次123456人数206026294668983157103百分比19.44%24.08%44.04%9.27%1.48%0.97%分析结论：根据图表3情况我们也可以看出观众购物更多的集中在第三档，共4668人占总人数的44.04%，将进半数，而第1，2档的情况略高于第5，6档的情况，其原因则在于观众在观看比赛的同时，不忘购买一些价格不高，而非常有意义的纪念品。花销集中在中档水平，正符合此种情况。（四）、出行方式与就餐模式、出行方式与购物档次的综合统计与分析：我们建立二维的数据统计表（4）和表（5）表（4） 交通工具和就餐情况统计 就餐模式出行方式中餐（人数，比例）西餐（人数，比例）商场餐饮（人数，比例）公交（847，23.51）（1828，50.75）（927，25.74）出租（452，22.49）（1050，52.24）（508，25.27）私车（208，21.71）（517，53.97）（233，24.32）地铁（875，21.71）（2172，53.90）（983，24.39）表（5） 交通工具和购物档次情况的统计购物档次出行方式1（人数，比例）2（人数，比例）3（人数，比例）4（人数，比例）5（人数，比例）6（人数，比例）公交（660，18.32）（900，24.99）（1528，42.42）（357，9.91）（96，2.67）（61，1.69）出租（374，18.61）（484，24.08）（880，43.78）（234，11.64）（23，1.14）（15，0.75）私车（184，19.21）（230，24.01）（424，44.26）（105，10.96）（6，0.63）（9，0.94）地铁（842，20.89）（1015，25.19）（1836，45.56）（287，7.12）（32，0.79）（18，0.45）分析结论：从统计数字我们可以看出，无论何种出行方式在各种消费档次人数占该种出行方式的总人数的比例是一致的，各种出行方式在选择就餐方式的人数比例也是几乎相同的，这说明从中、低、高收入人群的选择消费档次及就餐方式的人数比例无明显差别。因此我们在单独考虑外出方式和消费方式条件下的问题时，可以不考虑交互的影响。六、流量模型的建立与求解基于以上分析我们来建立流量模型求出各商区人流量分布。从题图（）可以看出A、B、C三个场馆相对独立，人流在这三个场馆无交叉流动情况出现，我们可以建立三个相同的人流模型来处理各场馆所属商区的人流分布问题。（一）、A场馆流量的模型建立首先我们将乘公交车，出租车，私家车，地铁等交通工具分别记做乘第1，2，3，4 种交通工具。把吃中餐，西餐，去商场就餐分别记做第1，2，3种就餐方式。结合观众所乘交通工具统计表与题图（3）的情况进行分析，不难发现观众在乘地铁时，地铁东站与地铁西站的观众人数基本相等。同样对于乘公交车的情况，可以得出公交（南北）站与公交（东西）站人数基本相同。并观察了图3国家体育馆周围交通布局图，可以得到如下结论：观众乘交通工具来比赛场地采用最短路径原则就近原则。因此我们在以下的计算中都采取此原则处理问题。考虑到往返的路径相同，故只做单程考虑。 显然，各商业区人流量由两种不同的人流量构成，一次为观众进出场馆人流量（出行人流量），一次为餐饮人流量（就餐人流量）。我们建立A区场馆各商区总流量的计算模型（A）=（A）+（A）（二）、A场馆流量的模型的求解我们采取节点流量法来计算各商业区的人流量。我们把每个商区做为一个节点，把每个看台当做一个流量源，把每个出行的站点和就餐点做为目的地，每一次出行和就餐就构成了一条节点链。节点链方向以最短路径为原则，若路程相同时，采用顺时针方向。例如A馆1号看台到西餐馆构成一条节点链，如图所示：1号看台（源头）AAA1西餐处（目的地）AAA再例如A馆8号看台到中餐馆构成一条节点链，如下图所示：8号看台（源头）AAA中餐处（目的地）A很明显，在同一流量链上各节点的流量（人流量）相同各节点总流量等于通过该节点的所有各节点链流量的总和出行时，各节点链的流量为M*q。我们可以用以下方法来计算各节点总流量：设第i个看台（源头）与第j商业区的关联系数为1 乘坐公交车的第i看台的观众经过第j个商业区 x= 0 乘坐公交车的第i看台的观众不经过第j个商业区1乘坐出租车的第i看台的观众经过第j个商业区y= 0 乘坐出租车的第i看台的观众不经过第j个商业区1乘坐私车的第i看台的观众经过第j个商业区z= 0 乘坐私车的第i看台的观众不经过第j个商业区1 乘坐地铁车的第i看台的观众经过第j个商业区t= 0 乘坐地铁车的第i看台的观众不经过第j个商业区对各节点链分析，可建立如下关联系数矩阵：X= Y=Z= T=则第j个节点的出行流量（单程） 编程计算（C+语言）得到为进出场馆造成的人流量为2： (A1j)=(35200, 25600, 30000, 34400, 38800, 74800, 34400, 30000, 25600, 21200 )同理，对就餐出行情况进行分析，建立相似的节点链，确定相对应的数据及矩阵1第i看台选择中餐的观众用餐出入时经过第j个商业区d= 0 第i看台选择中餐的观众用餐出入时不经过第j个商业区 1第i看台选择西餐的观众用餐出入时经过第j个商业区f= 0 第i看台选择西餐的观众用餐出入时不经过第j个商业区1第i看台选择餐饮的观众用餐出入时经过第j个商业区g= 0 第i看选择吃餐饮的观众用餐出入时不经过第j个商业区对各节点链分析，也可得如下关联系数矩阵：D= F=G= 第j个节点的就餐流量为计算得到用餐进出场馆造成的人流量为：(A2j)=(30233, 24494, 30000, 35506, 41012, 79777, 35506, 30000, 24494, 18988)所以在国家体育场中各节点的人流量（即各商区的单程总人流量）为：(A)=(A)+(A)=(65433, 50094, 60000, 69906, 79812, 154577, 69906, 60000, 50094, 40188)（三）、B区和C区各商区总流量的计算对B区和C区采用相同的分析方法，进行计算。得出国家体育馆第m商业区的人流量。国家游泳中心第n商业区的人流量 (B)=(36602, 30094, 52031, 36602, 43110, 84571) (C)=(26198, 38594, 33802, 61406)（四）、各商区流量分布：我们定义流量分布比例为“通过该区的总人流量/全部20个商区的总人流量”，可以得到以下数据。 A区人流量分布如下表商业区A1A2A3A4A5百分比(%)5.724.385.256.166.99商业区A6A7A8A9A10百分比(%)13.526.125.254.383.52B区人流量分布如下表商业区B1B2B3B4B5B6百分比(%)3.202.634.553.203.777.40C区人流量分布如下表商业区C1C2C3C4百分比(%)2.293.772.96 5.37七、各商区MS配备数量模型的建立与求解（一）、模型的建立各商区总的人流量是配备MS数量的一个衡量数据，但由于总的人流量是一段（长时间）内的形成的迭加数，并非购买商品的实际期望人数，故更有说服力的是根据单位时间动态人流量中的实际购买期望人数来确定该商区的MS分布数目，为此我们在优先考虑满足观众的购物需求的前提下兼顾分布基本均衡和商业赢利的原则下建立单位时间最大动态实际购买人流配备MS数量模型Fmax,S ；其中 Fmax为通过单位时间内通过第商业区（节点）时的最大人流数，S为第商业区满足最大人流数时购物需求的MS个数。(二)、模型的求解考虑观众出行时进出体育场馆的时间相对于就餐时间来说更为宽裕，我们认为通过各节点最大流量数发生在就餐人员的流动过程中，因此我们只需对就餐时各节点人流量进行求解。有关数据的假定和确定单位时间t0，我们把单位时间确定为t02(分钟)，我们认为通过一个商业区所需要的时间大约是2分钟，因此我们只考虑在一个节点上2分钟所滞留的人数最大人流量;看台全部人员就餐退（进）场的时间t,实际计算中我们把t确定为20分钟;平均购物欲望指数k的定义与确定，我们把平均欲望指数定义为该顾客群购买商品人数在该群顾客所占的比例值。根据日常生活消费进行分析可以认为消费档次越高，购买欲望越强。不妨对六档的消费情况根据购买欲望赋予购买欲望值。对第一档次赋予k1=0.1，其余依次赋予k2=0.2，k3=0.3，k4=0.4，k5=0.5，k6=0.6。则所有观众购买欲望指数数学期望为（按各档次比例加权运算）k=0.1*19.44%+0.2*24.80%+0.3*44.04%+0.4*9.29%+0.5*1.48%+0.6*0.97%=0.25显然，各节点在单位时间的滞留人数F=F进F离，该函数在离此节点最远的流量源的人流到达此节点出口处时达到最大值。例如：在8号看台（源头）AAA中餐处（目的地）A的节点链中A1不断的接收来自各相关源头的人流（同时也在流走），但是只有当通过节点A1且距A1最长距离源头的节点链：6号看台（源头）A7A8A9中餐处（目的地）A1A10的人流到达A1时单位时间内通过A1节点的人流数才达到最大值。在实际的运算过程中我们只需要考虑实际购买期望人数，所以我们还做如下规定：假若观众从源头出发经过n个商业区，最终达到目的地，则其经过的各个商业区购物机会的均等，所以其在每个节点区的购买可能性均为1/n，另外，由于两次进出商业区，每次购买就等可能性的发生在就餐和出行路途中。所以一次“进餐方式选择为中餐，且经过第j商业区”的最大购物人数F=*“进餐方式选择为西餐，且经过第j商业区”的最大购物人数 F=*“进餐方式选择为商场餐饮，且经过第j商业区”的最大购物人数 F=*并且因此通过A节点单位时间内动态最大实际购买人数的期望值为F=F+F+F此时取M=10000,计算可得： （F）=(254, 126, 126, 147, 194, 477, 183, 136, 116, 116)(三)、其他节点的动态流量最大值运算采用同样的方法，对国家体育馆和国家游泳中心的各个商业区情况进行分析，设H为国家体育馆第m个商业区的最大购物人数期望值，L为国家游泳中心第n个商业区的最大购物人数期望值。计算求得如下数据： (H)=(141, 109, 214, 125, 156, 380) (L)=(94, 63, 156, 438)(四)、各节点处MS的配置数量我们假定小超市单位时间内接待的人数为20（人），大超市接待客人的能力为30人/单位时间。由此可推算出各节点满足最大实际购物人流量的小型MS配备数值S。利用此不等式可推算出A区各节点小型MS的最小数量为：B区各节点小型MS的最小数量为： 8 6 11 7 8 19C区各节点小型MS的最小数量为： 5 4 8 22（五）、MS配置数量的进一步优化上述MS配备数量是根据满足顾客购物需求为第一原则所确定的，因此在分布上是不够均衡的，为了满足分布均衡的要求，制定以下规则对模型进行改进：各商业区超市数量相对均衡（各节点为一般配置6-8个MS,重点节点不得超过15个MS）在重点节点处（最大购物流量较大者）以大超市为主超市密集商区节点10购物人流平均由两侧邻接商区建超市承担如上述原则还不能满足要求（特别是在C区单侧流量大时），考虑人们的购物心理，购物时机会选择在非就餐流程进行。以区为例，在这些调整原则下对各商区超市分布初步调整为（仍以小超市为参考）：由于接点处的超市分布过多，我们可以从有两个接点处开始考虑，其较多的购物人员不断向临近的区域扩散，并自邻区域购物使不断自邻区域扩散并自己邻区域购物不断传递扩散，最后扩散到中部扩散如下所示：12,23110,10965,5467,78为满足分布均衡的要求，对于购物人数较多的商业区可以适当增加大超市的数量来减少该区内的超市总数量，则进一步调整后的A区的各商业区超市最终分布商业区A1A2A3A4A5大超市62244小超市34434商业区A6A7A8A9A10大超市124422小超市34243同样分析得到B区，C区各商区超市的最终分布 B区商业区B1B2B3大超市424小超市234商业区B4B5B6大超市2410小超市43