阿贝成像原理的matlab实现.doc

武汉工业学院毕业设计（论文）设计（论文）题目：阿贝成像原理的matlab实现姓 名： 刘 辉 学 号： 071203112 院 （系）： 数理科学系 专 业： 电子信息科学与技术指导教师： 李 鸣 2011年6月13日目 录摘 要 IAbstract II1. 绪论 1 1.1 阿贝成像的发现和其对光学信息处理的影响 1 1.2 阿贝成像理论的推广 1 1.2.1 阿贝成像理论在教学中的推广 1 1.2.2 阿贝成像理论在工程设计领域中的推广 2 1.3 阿贝成像原理对空间滤波的影响 22. 阿贝成像原理 3 2.1 二维傅里叶变换 3 2.2 光学傅里叶变换 3 2.3 阿贝成像原理的理论证明 4 2.4 阿贝成像原理 63. MATLAB环境的阿贝- 波特空间滤波实验仿真 8 3.1 实验介绍 8 3.2 基于MATLAB 的数字图像的频率域滤波 8 3.3 阿贝- 波特空间滤波实验仿真 9 3.3.1 实验仿真的基本步骤 9 3.3.2 圆孔低通光阑滤波 10 3.3.3 圆孔高通光阑滤波 11 3.3.4 圆环带通光阑滤波 12 3.3.5 方向光阑滤波 12 3.3.6 网格字的滤波 15 3.3.7 散斑的消除 17 3.3.8 零频滤波 18 3.3.9 相位滤波 20结 束 语 23谢 词 24参考文献 25摘要阿贝成像原理是在透镜后焦面上得到光场空间频率分布的傅里叶变换，成像又是一次逆变换的过程，这种变换可由快速傅里叶变换(FFT)轻松实现。利用阿贝波特实验装置和空间滤波系统，从改变频谱入手改造一幅光学图像，可以进行光学信息处理。本文在此基础上，用Matlab强大的计算及图像可视化功能完成阿贝波特实验的物理模型的构建并进行计算机模拟，从而实现数字图像的处理。在介绍阿贝- 波特空间滤波实验原理基础上，给出了实验仿真中几个关键的数字图像处理函数，讨论了低通、高通、带通等滤波实验的仿真实现，仿真结果表明，此方式能较好地完成了滤波成像仿真，是计算机辅助实验的一个可行途径。关键词: MATLAB；阿贝成像原理；空间滤波；数字图像处理AbstractAbbe imaging principle is Fourier which in the focal plane obtains the light field complex amplitude distribution after the lens transforms, and forms image also is a Fourier inverse transformation, this kind of transformation may be transformed by fast Fourier (FFT) and be relaxed realization. Use the Abbe - baud experiment device and the spatial filtering systems, from the change frequency spectrum transforms an optics picture and carries on optics information processing.In this foundation, I complete the Abbe- baud experiment in the Matlab environment the physical model to construct and to carry on the computer simulation, thus realization digital image processing.In this paper I talk about how to simulate Abbe - Baud spatial filtering experiment based on MATLAB. The principle of the experiment is introduced at first . Then some functions of Digital Image processing are presented. Finally, the thesis discusses how to implement the filtering experiment by low pass filters, high pass filters and band pass filters etc. In frequency domain. The results shows that the experiment can be emulated well in this way and the method is feasible and effective for computer aided experiment in Optical Laboratory Course.Key words :MATLAB; Abbe imaging principle; spatial filtering; Digital picture processingI1. 绪 论1.1 阿贝成像的发现和其对光学信息处理的影响早在1873年，阿贝（EAbbe，18401905）在德国蔡司光学器械公司研究如何提高显微镜的分辨本领问题时，就认识到相干成像的原理。他的发现不仅从波动光学的角度解释了显微镜的成像机理，明确了限制显微镜分辨本领的根本原因，而且显微镜（物镜）两步成像的原理本质上就是两次博里叶变换，被认为是现代傅里叶光学的开端。空间滤波的主要目的是通过有意识地改变像的频谱，使像实现所希望的变化。光学信息处理是一个更为广阔的领域。光学信息处理是基于光学频谱分析，利用傅里叶综合技术，通过空域或频域调制，借助空间滤波技术对光学信息进行处理的过程。阿贝提出的二次成像理论和20世纪初的阿贝波特实验，已经为光学信息处理打下了一定的理论基础。阿贝提出了关于相干成像的一个新原理，即阿贝成像原理。他提出的二次衍射理论为空间滤波奠定了理论基础。阿贝本人和波特分别于1893年、1906年用实验验证了阿贝成像原理。阿贝- 波特空间滤波实验是对阿贝成像原理最好的验证和演示，该实验对相干光成像的机理、对频谱的分析和综合的原理做出了深刻的解释。同时，这种用简单模板做滤波的方法，直到今天，在图像处理中仍然有广泛的应用价值。11.2 阿贝成像理论的推广1.2.1 阿贝成像理论在教学中的推广在阿贝成像理论的教学中，单纯依靠数学推演来讲解，效果不好，特别是空间频率、空间滤波等概念的形成有一定的困难。虽然可以通过演示阿贝- 波特实验来加强教学效果，但由于在普通教室难以完成演示实验，在实验室又受仪器、场地等方面的限制，实验现象不太理想。为此，我们设计出计算机模拟实验，获得较好的模拟效果。而且，学生可以自己动手制作各种物面图形，观察各种物体的空间频率分布，设计各种不同的空间滤波器，比较它们对成像的不同影响。近30年来，随着计算机硬件、软件技术的快速发展，在光学信息处理领域内，研究成果不断涌现，应用范围日益扩大。阿贝波特(Abbe-Porter)实验作为近代物理实验中的重要实验之一，能很好地帮助学生理解频谱分解、空间频率、空间滤波、频谱综合等概念，更有助于学生以对数字图像处理等专业课程的学习。在实验中，学生了解阿贝成像原理后，利用阿贝波特实验装置和滤波系统，从改变频谱入手来改造一幅光学图像，进行光学信息处理。在此基础上，让学生在Matlab环境中完成阿贝波特实验的计算机模拟，从而实现数字图像的处理。这样，既保证了学生实际实验技能的训练，又培养了学生对现代科技手段的掌握，提高了近代物理实验的综合性和实用程度。1.2.2 阿贝成像理论在工程设计领域中的推广在工程设计领域中，人们通过对研究对象建立模型，用计算机程序实现系统的运行和得到运行结果，寻找出最优方案，然后再予以物理实现，这就是计算机仿真科学。在计算机日益普及的今天，计算机仿真技术作为虚拟实验手段已经成为计算机应用的一个重要分支。它是继理论分析和实物实验之后，认识客观规律性的新型手段。作为科学计算软件，Matlab的特点是使用方便、输入便捷、运算功能齐全，而且有大量的函数可供使用。因此本文提出基于Matlab软件，通过在频谱面上设置滤波器对空间频谱的处理，实现对阿贝-波特实验装置和空间滤波系统的模拟。为了实现仿真实验操作的方便，本文设计出了图形用户可操作界面(GUI)。1.3 阿贝成像原理对空间滤波的影响空间滤波原理根据阿贝成像原理，相干光学成像过程可分为两步：第一步称为分频过程，即从物平面到光源的共轭像平面或曰频谱面，由输入的物作为衍射屏对照射光波产生夫琅和费衍射；第二步称为合频或频谱综合过程，即从频谱面到输入物的共轭像平面，被分解的频谱成分经进一步的衍射后再次叠加形成输入物的共轭像。按照傅里叶变换理论，两步成像过程实际上是光学系统对携带输入物信息的二维光场的复振幅分布进行的。2. 阿贝成像原理2.1 二维傅里叶变换设有一个空间二维函数，其傅里叶变换为2 (2-1)式中分别为方向的空间频率，其量纲为，而又是的逆傅里叶变换，即 (2-2)式(2-2)表示任意一个空间函数可以表示为无穷多个基元函数的线形叠加。是相应于空间频率的基元函数的权重，称为的空间频率。当是一个空间周期性函数时，其空间频率是不连续的离散函数。2.2 光学傅里叶变换理论证明，如果在焦距为的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为的图像作为物，并以波长为f的单色平面波垂直照明物体图像，则在透镜后焦面上的振幅分布就是的傅里叶变换。其中与坐标的关系为 （2-3）故面称为频谱面（傅氏面），如图2.1所示。由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换。频谱面上的光强分布则为，称为频谱，也就是物的夫琅禾费衍射。图2.1 光学傅里叶变换2.3 阿贝成像原理的理论证明 用单色平行光照明近轴小物ABC，成像于ABC，对于成像过程，可以用几何光学的物像关系理解，也可以从频谱转换的角度解释。图2.2 阿贝成像原理 物可以看作是一系列不同空间频谱的集合。图2.2所示的相干成像分两步完成。第一步是物上的光发生夫琅和费衍射，在透镜的后焦平面上形成一系列的衍射斑。第二步是将各个衍射斑作为新的光源，其发出的各个球面次波在像平面上进行相干叠加，像是干涉的结果，即干涉场。这就是阿贝成像原理。可以用数学方法说明。 物光波为: = （2-4） 其发出的三列平面衍射波在透镜的像方焦平面上形成三个衍射斑，。三个衍射斑作为三个点光源，发出的球面波在像平面上进行相干叠加。其振幅为， ，相位，为光栅（物）中心到衍射场点的光程。分别表示为BS1和BS0，则三个次波光源的复振幅可写为 ， （2-5） ， （2-6）。 （2-7） 在像平面的复振幅为 （2-8） （2-9） 物像之间的等光程性，可以把前两个位相因子合写作，三列波在像平面上叠加的干涉场为 （2-10） 根据阿贝正弦条件，V为像的横向放大率，于是有 ，即， （2-11）而，代入的表达式，有 （2-12） 而物光波为 （2-13）两者除相因子外，有相似的表达式。而相因子在强度表达式中不出现。故像与物有相同的光波场分布。此外，有两点需要说明。（1）物的空间频率为f，而像的空间频率为f/V，或空间周期由d变为Vd，表示像的几何放大或缩小，不影响像的质量。 （2）像质的反衬度可以通过交流部分与直流部分的比值体现，对于物像，都有， 即，即像的反衬度没有下降。对于任意的物，都可以通过Fourier变换，使之成为一系列正弦光栅的和，所以上述证明具有普遍的意义。2.4 阿贝成像原理在相干平行光照明下，显微镜的物镜成像可以分成两步：入射光经过物的衍射在物镜的后焦面上形成夫琅禾费衍射图样；衍射图样作为新的子波源发出的球面波在像平面上相干叠加成像。相干光的成像过程本质上是两次傅里叶变换，第一次将光场空间分布变成频率分布，第二次则是傅里叶逆变换，即将各频谱分量复合为像。图2.3显示了成像的这两个步骤。为便于说明这两步傅里叶变换，以熟知的一维光栅做物，考察其刻痕经凸透镜成像情况（图2.3）。当单色平行光束透过置于物平面上的光栅（刻痕顺着轴，垂直于轴）后，衍射出沿不同方向传播的平行光束。其波阵面垂直于面（沿透镜光轴）。经透镜聚焦，在其焦平面上形成沿轴分布的各具不同强度的衍射斑，继而从各斑点发出的球面光波到达像平面。相干叠加形成的光强分布就是光栅刻痕的放大实像。 图2.3 ？的光路概括地说，上述成像过程分两步：先是“衍射分频”，然后是“干涉合成”。所以如果着手改变频谱，必然引起像的变化。在频谱面上作的光学处理就是空间滤波。最简单的方法是用各种光栏对衍射斑进行取舍，达到改造图像的目的。例如对图2.4(a)所示两种具有不同透过函数的光栅（物），分别如图2.4(b)所示遮挡其频谱的不同部位。在像面上就会有图2.4(c)，2.4(d)，2.4(e)那样不同的振幅分布、光强分布和图像效果。图中左列让频谱的零级和级通过，像中条纹界限不如原物那样清晰，而且在暗条中间还有些亮；右列挡住零级频谱，图像对比度发生了反转，即原物不透光部分变得比透光部分还要明亮，栅线的边界变成细锐黑线。 a:d=1:3 a:d=2:3图2.4 空间滤波举例限制高频成分的光栏（如图2.4左方）构成低通滤波器，它能减轻图像的颗粒效应。图右方的光栏只阻挡了低频成分而让高频成分通过，称高通滤波器。高通滤波限制连续色调而强化锐边，有助于细节观察。高级的滤波器可以包括各种形状的孔板、吸收板和移相板等。图2.5是三种常见的滤波器。3图2.5 滤波器3. 基于MATLAB环境的阿贝- 波特空间滤波实验仿真3.1 实验介绍实验中将相干光源照射在一张细丝网络上，在透镜的后焦面上出现周期网格的傅里叶频谱，最后这些频谱综合并在像平面上得复现网格的像。在频谱面上放置不同形状的光阑(如圆环、狭缝和圆形光阑)用以改变频谱，从而使像发生相应的变化。这些光阑或与之有相同性能的光学元件统称为空间滤波器。因为不同形状的光阑允许通过的物的空间频谱不同，起到了二元空间滤波器的作用，像平面上出现了不同形式的像结构。3.2 基于MATLAB 的数字图像的频率域滤波用计算机实现阿贝- 波特空间滤波仿真实验，首先要处理复振幅与其频谱之间的傅里叶变换与逆变换；其次是显示物、像及频谱的图像。本文利用MATLAB软件进行阿贝- 波特空间滤波实验仿真。下面简单介绍与之相关的一些MATLAB 函数的使用方法。fft2是二维快速离散傅里叶变换函数，调用格式为：X = fft2 ( x , ROWS ,COLS) (3-1)上式表示对输入参数x进行傅里叶变换，输入ROWS，COLS指定输出X的行数和列数，如果这两个参数为2的整数次幂，函数的运行效率会大大提高。ifft2是二维离散傅里叶逆变换函数，调用调用格式与fft2相似。fft2函数在进行傅里叶变换时，变换结果将0频率分量(直流成份)放在起始的位置，fft shift函数则将fft2变换后的低频频谱移至频谱的中央，这样便于观测。fft shift的逆函数为ifft shift。4MATLAB软件显示图像的函数有很多，本文实验选用imshow函数来显示物、像及频谱的图像，其调用格式如下:imshow( I , low high ) (3-2)在指定的灰度范围内显示数据I的图像，I中任何小于或等于low的值显示为黑色，任何大于或等于high的值显示为白色。如果将第2个输入参数置空，形如imshow( I , )，则将I中最小值设置为黑色，最大值设置为白色，其他值以线性关系对应黑色、白色间的灰度值。如果图像数据I的值多集中于低端，则须对I数据进行压扩。比如用非线性对数函数处理数据I，以扩大低灰度值，压缩高灰度值，这样便于更清晰地显示低灰度值像素。另外，为显示频谱图像，须取复数的模或实部，MATLAB分别提供abs或real函数取复数的模和实部。用离散傅里叶变换完成滤波器对图像的过滤，为防止图像处理过程中的“卷边”现象发生，可以通过补零扩大图像和滤波器的空间。例如图像f的大小为mn，则fft2在变换前应对f进行零填充，扩充后大小至少应为(2m - 1) (2n -1)。同时，考虑到fft2和ifft2的函数的运行效率，变换空间大小尽量设置为2的整数次幂，这样实验中滤波器的空间大小设置为2nextpow2 (2m - 1) 2nextpow2 (2n - 1) ，MATLAB函数nextpow2 (x)，求取不小于x的最小的2的整数次幂次。3.3 阿贝- 波特空间滤波实验仿真3.3.1 实验仿真的基本步骤在阿贝- 波特空间滤波实验的频谱面位置，运用MATLAB 的图像处理程序，将物(即光栅)的傅里叶变换与预先设置的光阑滤波器函数相乘，便得到光栅通过滤波器的频谱仿真数据；在像平面位置，对该频谱进行傅里叶逆变换，得到的就是光栅的像数据。仿真步骤如下:5(1) 构建光栅数据f：linewidth = 3; %光栅宽度linespan = 15; %光栅间的跨度f = zeros (200 ,200); %生成200 200 的图像for i = 1 :linewidthf (i :linespan :end , :) = 1;endfor i = 1 :linewidthf ( : ,i :linespan :end) = 1;end图3.1为上述程序生成的光栅图像。图3.1 光栅图像(2) 对光栅数据进行傅里叶变换:pq(1) = 2nextpow2 (2 3 size (f ,1) - 1); %设置扩充后的行数pq(2) = 2nextpow2 (2 3 size (f ,2) - 1); %设置扩充后的列数F = ff t2 (f ,pq(1) ,pq (2) ); %对光栅进行快速傅里叶变换(3) 构建不同形状的光阑数据H(即滤波器)，并以图像方式显示H：H = filterpass (pq); %具体空间滤波器见后文各仿真程序(4) 对光栅F与光阑H的乘积进行傅里叶逆变换:G= ifft2 ( H. 3 F); %快速傅里叶逆变换g = real ( G); %图像数据为实数，变换后虚部可忽略，取其实部g = g (1 : size (f ,1) ,1 : size (f ,2) ) %还原的图像，因为变换空间为补零后的扩充(5) 以图像方式显示光栅经滤波器后的图像:imshow(g , ) ; %显示还原后的光栅图像 3.3.2 圆孔低通光阑滤波构建圆孔光阑，进行阿贝- 波特空间滤波的低通滤波实验。生成低通滤波器的函数如下:function H = lowpass (pq ,low); %pq 为图像补零扩充后的行、列数，low 为低通滤波器归一化截止半径low = low 3 min (pq) / 2; %转换后的截止半径u = 0 : (M - 1) ; u (u = M/ 2) = u (u = M/ 2) - M;v = 0 : (N - 1) ; v (v = N/ 2) = v(v = N/ 2) N;V ,U = meshgrid (v ,u); %产生网格数据D = sqrt (U.2 + V.2); %计算各点到原点的距离H = double (D = low);如下，图3.2为滤波器截止半径为0. 2 时的仿真结果:图3.2(a)为滤波器(即光阑) 的图像(须用fft shift 函数将低频移到中央)，图3.2(b)为光栅频谱和滤波器相乘再取模后所得数据的图像，图3.2(c)为光栅通过光阑后得到的仿真图像，即平行光通过光栅，再经光阑后在像平面形成的图像。6(a) 滤波器(光阑) 图像(b) 光栅频谱与滤波器相乘后图像(c) 光栅通过光阑后的还原图像图3.2 低通滤波器截止半径0. 2 的仿真图像 改变滤波器的截止半径，像平面的仿真图像发生变化：:随着半径缩小，通过光阑的频谱分量减少，光栅在像平面的还原图像又变得模糊，将半径置零时，将无任何频谱通过光阑，在像平面得不到任何信息；反之，增大截止半径，通过频谱面处的光栅的频率增多，像中光栅的边缘就由模糊变得清晰；如果继续增大半径，使光栅频谱尽可能多地通过频谱面的光阑，仔细比对像平面的仿真图像仍没有光栅原像清晰。从理论上讲，如果这两次傅氏变换完全是理想的，信息在变换过程中没有损失，则像和物完全相似。但由于光阑(滤波器)的空间有限，不能涵盖所有频率信息，会使一部分高频信息丢失，这与真实实验中因物镜直径受限，总有一部分衍射角度较大的高频成份不能进入物镜而被丢弃是一个道理。通过仿真实验验证了显微镜分辨率受到限制的原因。圆孔低通光阑滤波的作用是去掉高频成份，仅使靠近零频的低频成份通过。由于低频集中在频谱面的光轴附近，高频则落在远离光轴的地方。故低通滤波器就是一个圆形光孔，图像的精细结构及突变部分主要由高频起作用，故经低通滤波后图像的精细结构消失，黑白突变处变模糊。3.3.3 圆孔高通光阑滤波构建圆孔高通光阑，进行阿贝- 波特空间滤波的高通滤波实验。调用上节的低通滤波器函数: H = 1 - lowpass (qp ,low)，即取低通滤波器的反，就得到高通滤波器。(a) 滤波器(光阑) 图像(b) 光栅频谱与滤波器相乘后图像(c) 光栅通过光阑后的还原图像图3.3 高通滤波器截止半径0. 2 的仿真图像图3.3为截止半径为0. 2 时的圆孔高通光阑滤波实验仿真结果，进一步验证了高频落在远离光轴的地方。从中可以发现该滤波器可用来突出像的边缘部分，也可实现像的对比度翻转。如果光栅由透明和不透明部分组成，则经过高通滤波的处理，光栅的轮廓及相应于物的透光和不透光的交界处会显得特别明显。3.3.4 圆环带通光阑滤波构建圆环带通光阑，进行阿贝- 波特空间滤波的带通滤波实验。仍调用低通滤波器函数: H = lowpass (qp ,high) -lowpass (qp ,low)，即取截止频率(半径)较高的低通滤波器与截止频率(半径)较低的低通滤波器的差值，就得到带通滤波光阑。7(a) 滤波器(光阑) 图像(b) 光栅频谱与滤波器相乘后图像(c) 光栅通过光阑后的还原图像图3.4 带通滤波器半径0. 2 - 0. 21 的仿真图像图3.4为带通滤波器半径在0. 2 - 0. 21时，圆环带通光阑滤波实验的仿真结果，它可以使所需要的频谱通过，过滤多余频谱，即选择所需频段信号通过。3.3.5 方向光阑滤波首先构建水平方向光阑，进行阿贝- 波特空间滤波的水平方向滤波实验。设水平线宽为linewidth，水平方向光阑生成程序:H = zeros (pq);dw = floor ( (pq(1) - linewidth) / 2); H (dw :dw - 1 + linewidth , :) = 1;将该滤波器代入上述仿真过程，得到如图3.5所示的仿真结果。该滤波器只通过中央一排水平方向的频谱分量，这正是水平方向一维光栅的夫琅和费衍射花样。也就是说水平方向光阑滤波器突出了光栅的水平方向的特征。和真实实验结果一样，像平面得到的仿真结果只包含垂直结果，而完全没有水平结构，说明了光栅的水平方向的频谱分量对应于像的垂直结构。8(a) 滤波器(光阑) 图像(b) 光栅频谱与滤波器相乘后图像(c) 光栅通过光阑后的还原图像图3.5 水平方向光阑滤波仿真图像将水平方向光阑旋转一定角度就是一定方向的光阑滤波器。这可以用图像处理函数imrotate生成该光阑滤波器:H = imrotate ( H ,angle ,bilinear ,crop); %将H 旋转angle度图3.6中的左图是水平方向光阑旋转45度得到的滤波器，右图为光栅通过光阑后得到的仿真图像，说明该光阑只让光栅中45度的频谱分量通过。(a) 滤波器(光阑) 图像(b) 光栅频谱与滤波器相乘后图像(c) 光栅通过光阑后的还原图像图3.6 45度方向光阑滤波仿真图像当然，还可以通过多方向光阑滤波器选择光栅的多个方向频谱分量，这样在像平面就可以得到这些频谱分量傅里叶逆变换的叠加图像。图3.7是十字光阑滤波(即水平方向滤波与垂直方向滤波的叠加)的仿真结果。9(a) 滤波器(光阑) 图像(b) 光栅频谱与滤波器相乘后图像(c) 光栅通过光阑后的还原图像图3.7 十字光阑滤波仿真图像将图3.7左图所示的十字光阑中间部分挡住，则在像平面得到的光栅仿真图像。挡住光阑中间就挡住光栅的零频部分，从光的传播上讲也就是挡住了沿直线传播的光，而这部分光强相对于衍射后沿其它方向传播的光要大得多，所以原本亮的地方成为暗的。同时，光栅条纹间明暗变化较大，经衍射产生高频的信号(即灰度跳变处信息频率较高)这部分能量未被挡住，故在像面上有亮的条纹。(a) 滤波器(光阑) 图像(b) 光栅频谱与滤波器相乘后图像(c) 光栅通过光阑后的还原图像图3.8 高斯低通滤波仿真图像上述仿真中用到的滤波器为理想滤波器，这种滤波器在计算机上实现很方便，但在图像滤波时会产生振铃现象(参见图3.2右图)，并且滤波后的图像有负值，显示时需要先对图像进行标定。如果光栅换为更复杂的图像则要考虑调用其他性能较好的滤波器以降低振铃现象的影响。10图3.8是用高斯低通滤波替代理想低通得到的仿真结果，与图3.2的右图相比，图3.8的右图基本上没有振铃现象。3.3.6 网格字的滤波在计算机模拟中，用一幅图像代替物体。物面图像可有图像处理软件预先画出保存为BMP格式，如图3.9所示。11 图3.9 原始图像对这幅图进行傅里叶变换得到相应的频谱分布。这一步骤相当于实验中透镜L3所起的傅里叶变换作用。平面图如图3.10(a)所示，立体图如图3.10(b)所示。 (a) 平面频谱图 (b) 空间立体图图3.10 频谱（a）平面频谱图（b）空间立体图接着设计一个低通滤波器其平面显示如图3.11所示，立体图如图3.12所示。 图3.11 低通滤波器 图3.12 低通滤波器空间图将设计的低通滤波器与经过傅里叶变换过的频谱相乘。这一步相当于实验中在频谱面上设置低通滤波器进行滤波。12最后，对改造后的频谱结构进行逆傅里叶变换。这一步实验中透镜L4所起的傅里叶变换作用，在输出面显示改造后的图像如图3.13所示。图3.13滤波图像光栅为一周期性函数，其频谱是有规律排列的离散点阵，而字迹不是周期性函数，它的频谱是连续的，一般不容易看清楚，由于光字笔画较粗，其空间低频成分较多，因此频谱面的光轴附近只有光字信息而没有网格信息。经过低通滤波，滤掉了物的高频信息，处理图像显示了物的低频信息即光字。由于经过滤波后的图像能量有所损失导致输出图像比原图像模糊。13滤波程序如下：clearf=imread(w1.bmp);figure,imshow(f);title(原始图像);PQ=paddedsize(size(f);U,V=dftuv(PQ(1),PQ(2);D0=0.03*PQ(2);F=fft2(f,PQ(1),PQ(2);%傅里叶变换g=abs(fftshift(F); figure,imshow(0.00001*g);title(点阵图);x=1:15:1000;y=1:15:1000;figure,mesh(x,y,g(x,y);colormap(jet);H=lpfilter(gaussian,PQ(1),PQ(2),D0);g=dftfilt(f,H);H=fftshift(H);figure,mesh(H(1:10:1000,1:10:1000);axis(0 100 0 100 0 1);figure, imshow(H,);figure, imshow(g,);3.3.7 散斑的消除由于各种原因，图像上常会出现一些随机分布的散斑从而影响图像的品质，这同样可以利用空间滤波来消除。由于条件所限，虽经多次尝试但未能在实验上完成这一滤波过程，但是这一原理可以通过Matlab来模拟。14首先我们对一幅图像加入噪声如图3.14。接着运行下列程序:clearf=imread(w2.bmp);I2=imnoise(f,salt & pepper);imshow(I2);title(噪声图像);PQ=paddedsize(size(I2);U,V=dftuv(PQ(1),PQ(2);D=sqrt(U.2+V.2);D0=0.05*PQ(2);F=fft2(f,PQ(1),PQ(2);H=exp(-(D.2)/(2*(D02);g=dftfilt(f,H);figure, imshow(ifftshift(H),)figure,imshow(log(1+abs(ifftshift(F),)figure, imshow(g, )最后得到如图3.15所示的图像。可以看出计算机模拟达到了预期的目的，处理效果比较理想。 图3.14 噪声图像 图3.15滤波图像由于散斑小而无序，所以频率很高，偏离傅里叶面的x轴和y轴。经过傅里叶变换的频谱的幅度值表现在三维立体图中如图3.10(b)所示。可以看出中心的幅度值比两旁的较大，其代表低频信息，x轴和y轴代表高频信息。153.3.8 零频滤波在实验中观测到这样一种现像：当傅里叶面上零频部分被挡住时，像会发生对比度的反转:原来亮的条纹变成暗条纹，而原来暗的条纹变成了亮条纹。 同样，这一现像可以在Matlab中实现。图3.19是间隔较大且暗条纹较粗的光栅(图3.16)滤去零频后的像。图3.21则是间隔较小且暗条纹较细的光栅(图3.20)滤去零频后的像。可以看到，后者滤波后的像的对比度要高于前者，而实验亦验证了这一点。像的对比度与光栅间距有密切的关系，只要选择合理的a:d值就可以产生比较明显的对比反衬现像。16主程序如下:clearI1=imread(w3.bmp);imshow(I1);title(原始图像);figuref=double(I1);g=fft2(f); %傅里叶变换g=fftshift(g); result1,result2=filt(g); result1=ifftshift(result1); result2=ifftshift(result2); X2=ifft2(result1); X3=uint8(real(X2); imshow(X3);title(Butterworth滤波图像);图3.16 原始图像显示出设计的一个高通滤波器程序：H=fftshift(hpfilter(gaussian,500,500,20);mesh(H(1:10:500,1:10:500);colormap(jet);axis(0 50 0 50 0 1)其平面显示如图3.17所示，立体图如图3.18所示。 图3.17 高通滤波器 图3.18 高通滤波器空间图图3.19 处理图像经过Butterworth高通滤波后，图3.19显示了处理结果。由于像的高频信息主要代表物的细节，低频信息主要代表物的非周期性结构，所以高通滤波后物的高频信息通过，在像面上显示了图像的细节，图像边缘部分得到加强。17 图3.20 原始图像 图3.21 处理图像 设计好网格的间距及高通滤波器的大小，可以使图像发生明显的对比反衬现象。如图3.21所示。对这一现像可作如下定性解释：挡住零频部分也就是挡住了沿直线传播的光。而这部分光强相对于衍射后沿其它方向传播的光要大得多，所以原本亮的地方成为暗的。而在每一条光栅处由于明暗变化很大，经衍射产生高频的信号，这部分能量未被挡住，故在像面上有亮的条纹。而对于光栅间距较小的情况，相邻的高频部分的能量又有一部分相叠加，分给了零频部分，所以最终显示的对比度不及光栅间距大得情况。但是，对于暗条纹光强与亮条纹的平均值两者是一样的。3.3.9 相位滤波以上的滤波过程均是将振幅吸收掉，由于光场经过傅里叶变换得到的是一个复分布，所以滤波过程也可以通过改变相位来实现. 对于m*n大小的全1矩阵N，用fft算法得到的结果是:零频位置N(1,1)=m*n，而且对于任意由和组成的矩阵，用fft作用后零频部分的大小正是所有元素之和。这一点的物理意义是很明确的，因为零频信号实际上反映了物面上的照明情况。在Matlab中，为简单起见，设物矩阵为A，像矩阵为B由于我们观测的是振幅的平方，所以令B=A-1可以实现明暗反转。A= 0 0 0 0 0 B= -1 -1 -1 -1 -1 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1有A-B=1，fft2（A）-fft2（B）=fft2（C）。其中C是维数等于A的全1矩阵。由以上分析可编程实现相位滤波。程序如下：clearf=imread(w5.bmp);figure imshow(f);m,n=size(f); N=ones(m,n); C=fft2(N); A=fft2(f)-C; B=abs(ifft2(A); figure imshow(B) 图3.22 相位滤波图3.22是使用这种相位滤波方式的例子。左边是物，右边是滤波后的图像，可以看到明暗的反转。结束语综上所述，在频谱面(即透镜焦平面)处人为地插上一些特殊形状的光阑以改变焦平面上的光振幅和位相，即根据需要选取频谱，可在像平面上获得所需要的频谱信息。通过仿真阿贝- 波特空间滤波实验，一方面滤波器参数的替换可以让学生更为灵活地观察到比真实实验更多的实验现象，让学生更好的