19北京版小五奥数教材课程十九、代换法解应用题.doc

课程十九 代换法解应用题学习目标学会用一种思维方式“代换法”来解应用题重 点在有些应用题中，要求两个或两个以上的未知量。解答时，可以分析这些未知量之间的相等关系，根据它们之间的相等关系，用一种未知量来代换其他的未知量，从而找到问题的答案总 结一般的解题方法是：1.把条件排列，把同一种量对齐，如果有一种量的数相同，就可以把这种量消去，直接求出另一种量；2.如果两种量的数都不同，要通过运算进行转化，设法使其中的一个数量相同（把一个等式扩倍，或两个等式都扩倍），消去这个数量，求出数量不同的那个量，再求出数量相同的量。3.用等量代换解题的关键是比较，从比较相同的数量和不同数量中确定消元解题。解答后，可把得数代入进行计算，检验是否符合题意。 例1小红买了4本练习本和2支钢笔，共用去12元，小龙买了同样的4本练习本和3支钢笔，一共用去17元，钢笔和练习本各多少元？ 分析与解法由条件找出对应的数，用两个等式表示：4本练习本+ 2支钢笔=12元4本练习本+3支钢笔=17元比较这两个等式，可发现买的练习本相同，不同的是小龙买的钢笔多一支，钱数也由12元变为17元，因此两人花掉的钱数的差就是1支钢笔的价格。解：17-12=5（元）（12-52）4=0.5（元）答：钢笔和练习本的价格分别是5元和0.5元说明： 本题练习本的数量相同，因此价钱也应相同，两者的差价就是钢笔的价格。 例28头牛和3只羊每天共吃草136千克；3头牛和8只羊每天共吃草106千克。问：每头牛和每只羊每天各吃草多少千克？ 分析与解法把条件排列起来：8头牛吃草千克数+3只羊吃草千克数=136（千克）3头牛吃草千克数+8只羊吃草千克数=106（千克）比较两个等式，牛的头数和羊的只数都不同，两个数交换了位置，这就给我们解答带来了便利，把两式相加，就是11头牛吃草千克数加上11只羊吃草千克数，应该是（136+106）千克，由于牛的头数和羊的只数相同，因此可以求出1头牛和1只羊吃草的千克数，再乘3（或乘8），就可以把式子与上边的两式比较求解了。解： 1头牛和1只羊每天一共吃草（136+106）（8+3）=24211=22（千克）3头牛和3只羊每天一共吃草223 =66（千克）1头牛1天吃草（136-66）（8-3）=14（千克）1只羊1天吃草22-14=8（千克）答：1头牛1天吃草14千克，1只羊1天吃草8千克。说明：本题牛和羊的数目和相同，因此可以计算1头牛和1只羊每天吃草数量，从而把题目转化为例1的形式来解。 例3某幼儿园采购图书，第一次买了5包科技书和7包故事书共620本；第二次又买同样的6包科技书和3包故事书共420本。问：每包科技书比每包故事书少多少本？ 分析与解法把条件排列起来：5包科技书+7包故事书=620（本）6 包科技书+3包故事书=420（本）比较两个等式，科技书和故事书的包数都不同，必须先消去一种量，如果把第二个等式每一部分都除以3，就得到2包科技书加1包故事书共（4203）本，再把每一部分都乘7，就得到（72）包科技书和7包故事书共（42037）本，这样故事书的包数相同，科技书的包数不同，就可以求1包科技书多少本了。解： 把第二个等式各部分都除以3，得2包科技书+1包故事书=140（本）把上式各部分都乘7，得14包科技书+7包故事书=980（本）1包科技书的本数为（980 -620）（14-5）=3609=40（本）1包故事书的本数为140-402=60（本）60-40=20（本）答：每包科技书比故事书少20本。说明：解此类题关键是消元。消元的方法就是设法使得两式的系数相同，然后消去。 例4某工厂食堂上周运来7袋大米和5袋面粉共重920千克；本周又运来3袋大米和6袋面粉共重780千克。问：每袋大米、面粉各重多少千克？ 分析与解法排列条件，进行比较大米袋数和面粉袋数都不同，要先消去大米或先消去面粉，只剩下一种量才能求出答案。消去的办法是把大米的袋数统一或把面粉的袋数统一，这样才能求出没有统一的那种量的1袋的质量。解： 7袋大米+5袋面粉=920（千克） 3袋大米+6袋面粉=780（千克）把式各部分乘3，式各部分乘7，得21袋大米+15袋面粉=9203=2760（千克） 21袋大米+42袋面粉=7807=5460（千克） 1袋面粉（5460-2760）（42-15）=270027=100（千克）1袋大米（780-1006）3=1803=60（千克）答：1袋大米重60千克，1袋面粉重100千克。说明：本题这种消元法是解题时常用的方法，要仔细体会。 例5有红、黄、绿三种球，红球与黄球共10个，黄球与绿球共7个，绿球与红球共5个，问：红、黄、绿三种球各有多少个？ 分析与解法红球+黄球=10个，黄球+绿球=7个，绿球+红球=5个，把10，7，5加起来，正好是红、黄、绿三种球的总数的2倍，再与三个等式比较就可以求出红、黄、绿球各有多少个。解： 红球、黄球、绿球一共有（10+7+5）2=222=11（个），红球的个数为11-7=4（个），黄球的个数为11-5=6（个），绿球的个数为11-10=1（个）。答：红球、黄球、绿球的个数分别为4个、6个和1个。说明：此题知道的是两两数的和，因此可以求出球的总数。 例61千克葡萄的价钱登于3千克苹果的价钱，也等于4.5千克梨的价钱，等于1千克苹果加2千克桃和1千克梨的价钱，那么1千克葡萄的价钱等于多少千克桃的价钱？ 分析与解法数比较多，我们可以列等式解题解： （以下等式均指价钱）1千克葡萄=3千克苹果，3千克苹果=4.5千克梨，1.5千克梨=1千克苹果。1千克葡萄=1千克苹果+2千克桃+1千克梨，所以4.5千克梨=1.5千克梨+2千克桃+1千克梨。由此可得：2千克梨=2千克桃，1千克梨=1千克桃，因为1千克葡萄的价钱与4.5千克梨的价钱相等。所以1千克葡萄的价钱等于4.5千克桃的价钱。说明： 当数比较多时，我们可以采取列等式的方法来解题。 例7有甲、乙、丙三个村共建小学教室，用去木头若干，当时甲村出了45根，乙村出了27根，（每根木料的价钱是一样的）丙村因没有木料，就拿出1440元。问：甲、乙两村各应收回多少钱？ 分析与解法分析与解法： 根据题意，盖教室共用45+27=72（根）木料，每个村应分摊723=24（根）木料，丙村没木料（两村代付），就拿出1440元，这1440元就是24根木料的价钱，则每根木料是144024=60（元）。解： 1440（45+27）3=60（元） 6045-1440=1260（元） 6027-1440=180（元）答：甲村应收回1260元，乙村应收回180元。说明：对于这类题目，应该先计算出木料的单价，再来计算每村应得的钱数 例8甲、乙、丙三种货物，买3件甲、7件乙与1件丙共用3.15元；买4件甲、10件乙与1件丙共用4.20元。问：买甲、乙、丙三种货物各1件需多少钱？ 分析与解法此题有三种量，求的又是三种货物各一件的和，因此需要把三种货物各一件作为一个整体。消去这个整体之外的数就可以了。解：3甲+7乙+丙=3.154甲+10乙+丙=4.20把（甲+乙+丙）作为整体，上式可化为：2甲+6乙+（甲+乙+丙）=3.153甲+9乙+（甲+乙+丙）=4.20再把第一式