2018年高考数学复习演练第十章圆锥曲线与方程含2014_2017年真题.docx

第十章 圆锥曲线考点1 椭圆及其性质1.（2017新课标,10）已知椭圆C： =1（ab0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A. B. C. D.1. A 以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切， 原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 椭圆C的离心率e= = = 故选A2.（2017浙江,）椭圆 + =1的离心率是（ ） A. B. C. D.2. B 椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ，所以椭圆的离心率为： = 故选B3.(2016浙江，7)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e213. A 由题意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.4.(2016全国，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.4.A 设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.5.(2014大纲全国，6)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.15.A由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，椭圆的方程为1，故选A.6.(2016江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.6. 联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又F(c,0),则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得：c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.7.(2016全国，20)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围.7.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，E的方程为1,A(-2,0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得kb0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值.8.(1)解由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得m.由得x1x2，x1x2.所以|PA|，同理|PB|.所以|PA|PB|m2.故存在常数，使得|PT|2|PA|PB|.9.(2015重庆，21)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.9.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)法一如图设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|22(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a,从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.法二如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，得|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e.10.(2015福建，18)已知椭圆E：1(ab0)过点(0，)，且离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.10.解法一(1)由已知得，解得所以椭圆E的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0).得(m22)y22my30.所以y1y2，y1y2，从而y0.所以|GH|2yy(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|GH|2my0(1m2)y1y20，所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外.法二(1)同法一.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0，所以cos，0.又，不共线，所以AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.11.(2015陕西，20)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.11.解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d,由dc,得a2b2,解得离心率.(2)法一由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB|，易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由x1x24，得4，解得k，从而x1x282b2，于是|AB|x1x2|，由|AB|，得，解得b23，故椭圆E的方程为1.法二由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2，依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB，因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2，于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23，故椭圆E的方程为1.12.(2015北京，19)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.12.解(1)由题意得解得a22，故椭圆C的方程为y21.设M(xM，0).因为m0，所以1n1.直线PA的方程为y1x.所以xM，即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，n).设N(xN，0)，则xN.“存在点Q(0，yQ)使得OQMONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得”，即yQ满足y|xM|xN|.因为xM，xN，n21.所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，).13.(2014辽宁，15)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.13.12设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.14.(2014安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_.15.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得0，根据题意有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2得，所以e.考点2 双曲线1.（2017新课标,9）若双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ） A.2 B. C. D.1. A 双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得： ，可得e2=4，即e=2故选A2.（2017新课标,5）已知双曲线C： =1 （a0，b0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（ ） A. =1 B. =1C. =1 D. =12. B 椭圆 + =1的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（3，0），可得c=3，双曲线C： =1 （a0，b0）的一条渐近线方程为y= x，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： =1故选B3.（2017天津,5）已知双曲线 =1（a0，b0）的左焦点为F，离心率为 若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（） A.=1 B.=1 C.=1 D.=13. B 设双曲线的左焦点F（c，0），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y= x=x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则 =1，c=4，则a=b=2 ，双曲线的标准方程： ；故选B4.(2016全国，5)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(1，3) B.(1，) C.(0，3) D.(0，)4.A 方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故选A.5.(2016全国，11)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D.25.A 离心率e，由正弦定理得e.故选A. 6.(2015福建，3)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 D.36.B由双曲线定义|PF2|PF1|2a,|PF1|3,P在左支上,a3,|PF2|PF1|6，|PF2|9，故选B.7.(2015安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()A.x21 B.y21 C.x21 D.y217.C 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为yx，只有C符合，故选C.8.(2015广东，7)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.18.B 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选B.9.(2015四川，5)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B.2 C.6 D.49.D 焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，|AB|2(2)4.选D.10.(2015新课标全国，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B.2 C. D.10.D如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0),则|AB|2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1，y1)在第一象限内,过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e ，选D.11.(2015新课标全国，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B. C. D.11.A由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，由得y，所以y00，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.112.A由题意可知，双曲线的其中一条渐近线yx与直线y2x10平行，所以2且左焦点为(-5,0),所以a2b2c225,解得a25,b220,故双曲线方程为1.选A.13.(2014广东，4)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A.离心率相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.焦距相等13.D由0k0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3 C.m D.3m14.A双曲线的方程为1，焦点F到一条渐近线的距离为.15.(2014重庆，8)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.315.B由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|2a,又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|-|PF2|)29b2-4a2,即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9-40,则0，解得，则双曲线的离心率e.16.(2014山东，10)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A.xy0 B.xy0 C.x2y0 D.2xy016.A椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.17.(2014大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上.若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B. C. D.17.A由双曲线的定义知|AF1|AF2|2a，又|AF1|2|AF2|，|AF1|4a，|AF2|2a.e2，c2a，|F1F2|4a.cosAF2F1，故选A.18.（2017山东,14）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a0，b0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_18. y= x 把x2=2py（p0）代入双曲线 =1（a0，b0），可得：a2y22pb2y+a2b2=0，yA+yB= ，|AF|+|BF|=4|OF|，yA+yB+2 =4 ， =p， = 该双曲线的渐近线方程为：y= x故答案为：y= x 19.（2017北京,9）若双曲线x2 =1的离心率为 ，则实数m=_ 19.2 双曲线x2 =1（m0）的离心率为 ，可得： ，解得m=2故答案为：220.（2017江苏,8）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是_ 20.2 双曲线 y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，所以P（ ， ），Q（ ， ），F1（2，0）F2（2，0）则四边形F1PF2Q的面积是： =2 故答案为：2 21.(2016山东，13)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.21.2 由已知得|AB|,|BC|2c,232c,又b2c2-a2,整理得：2c2-3ac-2a2=0，两边同除以a2得2320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去).22.(2015浙江，9)双曲线y21的焦距是_，渐近线方程是_.22.2yx由双曲线方程得a22，b21，c23，焦距为2，渐近线方程为yx.23.(2015北京，10)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.23.双曲线渐近线方程为yx，又b1，a.24.(2015湖南，13)设F是双曲线C：1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_.24.不妨设F(c，0)，则由条件知P(c，2b)，代入1得5，e.25.(2015江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点.若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_.25.双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.26.(2014浙江，16)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_.26.联立直线方程与双曲线渐近线方程yx可解得交点为，而kAB，由|PA|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为3，即3，化简得4b2a2，所以e.27.(2014江西，20)如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.27.(1)解设F(c，0)，因为b1，所以c，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B.又直线OA的方程为yx，则A，kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)证明由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M；直线l与直线x的交点为N.则，因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所求定值为.考点3 抛物线1.(2016全国，10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.81.B 不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0),如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，5r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.2.(2015天津，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.12.D双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立解得a24，b23，所求双曲线的方程为1，选D.3.(2015浙江，5)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.B. C.D.3.A由图象知，由抛物线的性质知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|-1，xA|AF|1，.故选A.4.（2017新课标,16）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，则|FN|=_ 4. 6 抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6故答案为：65.(2016浙江，9)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_.5.9 抛物线y24x的焦点F(1,0).准线为x-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM110,解得xM9,所以点M到y轴的距离为9.6.(2015陕西，14)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.6.2由于双曲线x2y21的焦点为(，0)，故应有，p2.7.(2014湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a， b(a0)经过C，F两点，则_.7.1由正方形的定义可知BCCD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|pa，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b22pa22ab，变形得10，解得1或1(舍去)，所以1.8.(2014上海，3)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.8.x-2c29-54,c2.椭圆1的右焦点为(2，0),2,即p4.抛物线的准线方程为x-2.9.(2014大纲全国，21)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.9.解(1)设Q(x0，4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21).又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23).故MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2.化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.10.(2015新课标全国，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.10.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y,故y在x2处的导数值为,C在点(2，a)处的切线方程为y-a(x-2)，即x-y-a0.y在x-2处的导数值为-,C在点(-2，a)处的切线方程为y-a-(x2),即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点p(0，a)符合题意.考点4 直线与圆锥曲线的位置关系1.（2017新课标,）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（） A.16 B.14 C.12 D.101. A 如图，l1l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x1，联立方程组 ，则y24y4=0，y1+y2=4，y1y2=4，|DE|= |y1y2|= =8，|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，故选A.2.(2015重庆,10)设双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(1,0)(0,1) B.(,1)(1,)C.(,0)(0,) D.(,)(,)2.A由题意A(a,0),B,C,由双曲线的对称性知D在x轴上,设D(x,0),由BDAC得1,解得cx,所以cxaac,所以c2a2b2101,因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1),选A.3.(2014辽宁,10)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A. B. C. D.3.DA(2,3)在抛物线y22px的准线上,2,p4,y28x,设直线AB的方程为xk(y3)2,将与y28x联立,即,得y28ky24k160,则(8k)24(24k16)0,即2k23k20,解得k2或k=-(舍去),将k2代入解得,即B(8,8),又F(2,0),kBF,故选D.4.(2014新课标全国,10)设F为抛物线C：y23x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A. B. C. D.4.D易知直线AB的方程为y(x),与y23x联立并消去x得4y212y90.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y23,y1y2.SOAB|OF|y1y2|.故选D.5.(2014福建,9)设P,Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5 B. C.7 D.65.D设圆的圆心为C,则C(0,6),半径为r,点C到椭圆上的点Q(cos ,sin )的距离|CQ|5,当且仅当sin 时取等号,所以|PQ|CQ|r56,即P,Q两点间的最大距离是6,故选D.6.(2014湖北,9)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C.3 D.26.A假定焦点在x轴上,点P在第一象限,F1,F2分别在左、右焦点.设椭圆的方程为1(ab0),双曲线的方程为1(m0,n0),它们的离心率分别为e1,e2,则|PF1|am,|PF2|am,在PF1F2中,4c2(am)2(am)22(am)(am)cos a23m24c234,则,当且仅当a3m时,等号成立,故选A.7.(2014四川,10)已知F为抛物线y2x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.7.B设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y10,y20),直线AB的方程为xtym,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由消去x,得y2tym0,所以y1y2m.又2,所以x1x2y1y22,(y1y2)2y1y220,因为点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y22,故m2.又F(,0),于是SABOSAFO2(y1y2)y1y123,当且仅当y1,即y1时取“”,所以ABO与AFO面积之和的最小值是3.8.（2017新课标,20）已知椭圆C： + =1（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上（12分） (1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点 8.（1）解：根据椭圆的对称性，P3（1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，椭圆必不过P1（1，1），P2（0，1），P3（1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上把P2（0，1），P3（1， ）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，椭圆C的方程为 =1（2）证明：当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，yA），直线P2A与直线P2B的斜率的和为1， = = =1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，x1x2= ，则 = = = = =1，又b1，b=2k1，此时=64k，存在k，使得0成立，直线l的方程为y=kx2k1，当x=2时，y=1，l过定点（2，1） 9.（2017新课标,20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（）证明：坐标原点O在圆M上；（）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程 9.方法一：证明：（）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，2），则 =（2，2）， =（2，2），则 =0， ，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），整理得：k2x2（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y20，则y1y2=4，由 =x1x2+y1y2=0，则 ，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，整理得：y22my4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则y1y2=4，则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 =x1x2+y1y2=0，则 ，则坐标原点O在圆M上，坐标原点O在圆M上；（）由（）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=4，圆M过点P（4，2），则 =（4x1 ， 2y1）， =（4x2 ， 2y2），由 =0，则（4x1）（4x2）+（2y1）（2y2）=0，整理得：k2+k2=0，解得：k=2，k=1，当k=2时，直线l的方程为y=2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=1，则M（ ， ），半径为r=丨MP丨= = ，圆M的方程（x ）2+（y+ ）2= 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，圆M的方程为（x3）2+（y1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=2x+4，圆M的方程（x ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x2，圆M的方程为（x3）2+（y1）2=10 10.（2017天津,）设椭圆 + =1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 已知A是抛物线y2=2px（p0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 （）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为 ，求直线AP的方程 10.（）解：设F的坐标为（c，0）依题意可得 ，解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2c2= 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x（）解：直线l的方程为x=1，设直线AP的方程为x=my+1（m0），联立方程组 ，解得点P（1， ），故Q（1， ）联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y= B（ ， ）直线BQ的方程为（ ）（x+1）（ ）（y ）=0，令y=0，解得x= ，故D（ ，0）|AD|=1 = 又APD的面积为 ， = ，整理得3m22 |m|+2=0，解得|m|= ，m= 直线AP的方程为3x+ y3=0，或3x y3=0 11.（2017新课标,20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = （）求点P的轨迹方程；（）设点Q在直线x=3上，且 =1证明：过点P且垂