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文档简介
第十章 圆锥曲线考点1 椭圆及其性质1.(2017新课标,10)已知椭圆C: =1(ab0)的左、右顶点分别为A1 , A2 , 且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切,则C的离心率为( ) A. B. C. D.1. A 以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切, 原点到直线的距离 =a,化为:a2=3b2 椭圆C的离心率e= = = 故选A2.(2017浙江,)椭圆 + =1的离心率是( ) A. B. C. D.2. B 椭圆 + =1,可得a=3,b=2,则c= = ,所以椭圆的离心率为: = 故选B3.(2016浙江,7)已知椭圆C1:y21(m1)与双曲线C2:y21(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e213. A 由题意可得:m21n21,即m2n22,又m0,n0,故mn.又ee11,e1e21.4.(2016全国,11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.A 设M(c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以,a3c,e.5.(2014大纲全国,6)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.15.A由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4,a.又e,c1.b2a2c22,椭圆的方程为1,故选A.6.(2016江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆1(ab0)的右焦点,直线y与椭圆交于B,C两点,且BFC90,则该椭圆的离心率是_.6. 联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又F(c,0),则,又由BFC90,可得0,代入坐标可得:c2a20,又因为b2a2c2.代入式可化简为,则椭圆离心率为e.7.(2016全国,20)已知椭圆E:1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t4,|AM|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|AN|时,求k的取值范围.7.解(1)设M(x1,y1),则由题意知y10.当t4时,E的方程为1,A(-2,0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0,解得y0或y,所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3,k0,A(,0),将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1,故|AM|x1|.由题设,直线AN的方程为y(x),故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得,即(k32)t3k(2k1),当k时上式不成立,因此t.t3等价于0,即0.由此得或解得kb0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2|PA|PB|,并求的值.8.(1)解由已知,ab,则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23),由0,得b23,此时方程的解为x2,所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2,1).(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0),由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2),由0,解得m.由得x1x2,x1x2.所以|PA|,同理|PB|.所以|PA|PB|m2.故存在常数,使得|PT|2|PA|PB|.9.(2015重庆,21)如图,椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|2,|PF2|2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|PQ|,求椭圆的离心率e.9.解(1)由椭圆的定义,2a|PF1|PF2|(2)(2)4,故a2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c|F1F2|2,即c,即c,从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)法一如图设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2,则1,xyc2,求得x0,y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00,从而|PF1|22(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a,从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|PQ|,知|QF1|PF1|,因此,(2)|PF1|4a,即(2)(a)4a,于是(2)(1)4,解得e.法二如图,由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|PQ|,知|QF1|PF1|,因此,4a2|PF1|PF1|,得|PF1|2(2)a,从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2,知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2,因此e.10.(2015福建,18)已知椭圆E:1(ab0)过点(0,),且离心率e.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:xmy1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.10.解法一(1)由已知得,解得所以椭圆E的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).得(m22)y22my30.所以y1y2,y1y2,从而y0.所以|GH|2yy(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2),故|GH|2my0(1m2)y1y20,所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外.法二(1)同法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则,.由得(m22)y22my30,所以y1y2,y1y2,从而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0,所以cos,0.又,不共线,所以AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.11.(2015陕西,20)已知椭圆E:1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x2)2(y1)2的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.11.解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bxcybc0,则原点O到该直线的距离d,由dc,得a2b2,解得离心率.(2)法一由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,圆心M(2,1)是线段AB的中点,且|AB|,易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,由x1x24,得4,解得k,从而x1x282b2,于是|AB|x1x2|,由|AB|,得,解得b23,故椭圆E的方程为1.法二由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2,依题意,点A,B关于圆心M(2,1)对称,且|AB|,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x4y4b2,x4y4b2,两式相减并结合x1x24,y1y22,得4(x1x2)8(y1y2)0,易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB,因此直线AB的方程为y(x2)1,代入得x24x82b20,所以x1x24,x1x282b2,于是|AB|x1x2|.由|AB|,得,解得b23,故椭圆E的方程为1.12.(2015北京,19)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQMONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.12.解(1)由题意得解得a22,故椭圆C的方程为y21.设M(xM,0).因为m0,所以1n1.直线PA的方程为y1x.所以xM,即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,n).设N(xN,0),则xN.“存在点Q(0,yQ)使得OQMONQ”,等价于“存在点Q(0,yQ)使得”,即yQ满足y|xM|xN|.因为xM,xN,n21.所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y轴上存在点Q,使得OQMONQ,点Q的坐标为(0,)或(0,).13.(2014辽宁,15)已知椭圆C:1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|BN|_.13.12设MN交椭圆于点P,连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点),利用中位线定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.14.(2014安徽,14)设F1,F2分别是椭圆E:x21(0bb0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_.15.设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得0,根据题意有x1x2212,y1y2212,且,所以0,得a22b2,所以a22(a2c2),整理得a22c2得,所以e.考点2 双曲线1.(2017新课标,9)若双曲线C: =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( ) A.2 B. C. D.1. A 双曲线C: =1(a0,b0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0,圆(x2)2+y2=4的圆心(2,0),半径为:2,双曲线C: =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为: = ,解得: ,可得e2=4,即e=2故选A2.(2017新课标,5)已知双曲线C: =1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为( ) A. =1 B. =1C. =1 D. =12. B 椭圆 + =1的焦点坐标(3,0),则双曲线的焦点坐标为(3,0),可得c=3,双曲线C: =1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y= x,可得 ,即 ,可得 = ,解得a=2,b= ,所求的双曲线方程为: =1故选B3.(2017天津,5)已知双曲线 =1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为 若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为() A.=1 B.=1 C.=1 D.=13. B 设双曲线的左焦点F(c,0),离心率e= = ,c= a,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线的渐近线方程为y= x=x,则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k= = ,则 =1,c=4,则a=b=2 ,双曲线的标准方程: ;故选B4.(2016全国,5)已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(1,3) B.(1,) C.(0,3) D.(0,)4.A 方程1表示双曲线,(m2n)(3m2n)0,解得m2n3m2,由双曲线性质,知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距),焦距2c22|m|4,解得|m|1,1n3,故选A.5.(2016全国,11)已知F1,F2是双曲线E:1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为()A. B. C. D.25.A 离心率e,由正弦定理得e.故选A. 6.(2015福建,3)若双曲线E:1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|3,则|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 D.36.B由双曲线定义|PF2|PF1|2a,|PF1|3,P在左支上,a3,|PF2|PF1|6,|PF2|9,故选B.7.(2015安徽,4)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()A.x21 B.y21 C.x21 D.y217.C 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D项双曲线焦点均在y轴上,但D项渐近线为yx,只有C符合,故选C.8.(2015广东,7)已知双曲线C:1的离心率e,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.18.B 因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e,所以c5,a4,b2c2a29,所以所求双曲线方程为1,故选B.9.(2015四川,5)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|()A. B.2 C.6 D.49.D 焦点F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x2,渐近线方程为x20,将x2代入渐近线方程得y212,y2,|AB|2(2)4.选D.10.(2015新课标全国,11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A. B.2 C. D.10.D如图,设双曲线E的方程为1(a0,b0),则|AB|2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MNx轴于点N(x1,0),ABM为等腰三角形,且ABM120,|BM|AB|2a,MBN60,y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a,x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1,y1)的坐标代入1,可得a2b2,e ,选D.11.(2015新课标全国,5)已知M(x0,y0)是双曲线C:y21上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若0,则y0的取值范围是()A. B. C. D.11.A由题意知M在双曲线C:y21上,又在x2y23内部,由得y,所以y00,b0)的一条渐近线平行于直线l:y2x10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.112.A由题意可知,双曲线的其中一条渐近线yx与直线y2x10平行,所以2且左焦点为(-5,0),所以a2b2c225,解得a25,b220,故双曲线方程为1.选A.13.(2014广东,4)若实数k满足0k9,则曲线1与曲线1的()A.离心率相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.焦距相等13.D由0k0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3 C.m D.3m14.A双曲线的方程为1,焦点F到一条渐近线的距离为.15.(2014重庆,8)设F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.315.B由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|2a,又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|-|PF2|)29b2-4a2,即4|PF1|PF2|9b24a2,又4|PF1|PF2|9ab,因此9b24a29ab,即9-40,则0,解得,则双曲线的离心率e.16.(2014山东,10)已知ab0,椭圆C1的方程为1,双曲线C2的方程为1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy0 B.xy0 C.x2y0 D.2xy016.A椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以,所以a4b4a4,即a44b4,所以ab,所以双曲线C2的渐近线方程是yx,即xy0.17.(2014大纲全国,9)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|2|F2A|,则cosAF2F1()A. B. C. D.17.A由双曲线的定义知|AF1|AF2|2a,又|AF1|2|AF2|,|AF1|4a,|AF2|2a.e2,c2a,|F1F2|4a.cosAF2F1,故选A.18.(2017山东,14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 =1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_18. y= x 把x2=2py(p0)代入双曲线 =1(a0,b0),可得:a2y22pb2y+a2b2=0,yA+yB= ,|AF|+|BF|=4|OF|,yA+yB+2 =4 , =p, = 该双曲线的渐近线方程为:y= x故答案为:y= x 19.(2017北京,9)若双曲线x2 =1的离心率为 ,则实数m=_ 19.2 双曲线x2 =1(m0)的离心率为 ,可得: ,解得m=2故答案为:220.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1 , F2 , 则四边形F1PF2Q的面积是_ 20.2 双曲线 y2=1的右准线:x= ,双曲线渐近线方程为:y= x,所以P( , ),Q( , ),F1(2,0)F2(2,0)则四边形F1PF2Q的面积是: =2 故答案为:2 21.(2016山东,13)已知双曲线E:1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|3|BC|,则E的离心率是_.21.2 由已知得|AB|,|BC|2c,232c,又b2c2-a2,整理得:2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2得2320,即2e23e20,解得e2或e1(舍去).22.(2015浙江,9)双曲线y21的焦距是_,渐近线方程是_.22.2yx由双曲线方程得a22,b21,c23,焦距为2,渐近线方程为yx.23.(2015北京,10)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0,则a_.23.双曲线渐近线方程为yx,又b1,a.24.(2015湖南,13)设F是双曲线C:1的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为_.24.不妨设F(c,0),则由条件知P(c,2b),代入1得5,e.25.(2015江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2y21右支上的一个动点.若点P到直线xy10的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为_.25.双曲线x2y21的渐近线为xy0,直线xy10与渐近线xy0平行,故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立,得c,故c的最大值为.26.(2014浙江,16)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|PB|,则该双曲线的离心率是_.26.联立直线方程与双曲线渐近线方程yx可解得交点为,而kAB,由|PA|PB|,可得AB的中点与点P连线的斜率为3,即3,化简得4b2a2,所以e.27.(2014江西,20)如图,已知双曲线C:y21(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:y0y1与直线AF相交于点M,与直线x相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.27.(1)解设F(c,0),因为b1,所以c,直线OB的方程为yx,直线BF的方程为y(xc),解得B.又直线OA的方程为yx,则A,kAB.又因为ABOB,所以1,解得a23,故双曲线C的方程为y21.(2)证明由(1)知a,则直线l的方程为y0y1(y00),即y.因为直线AF的方程为x2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x的交点为N.则,因为P(x0,y0)是C上一点,则y1,代入上式得,所求定值为.考点3 抛物线1.(2016全国,10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|4,|DE|2,则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.81.B 不妨设抛物线C:y22px(p0),则圆的方程可设为x2y2r2(r0),如图,又可设A(x0,2),D,点A(x0,2)在抛物线y22px上,82px0,点A(x0,2)在圆x2y2r2上,x8r2,点D在圆x2y2r2上,5r2,联立,解得p4,即C的焦点到准线的距离为p4,故选B.2.(2015天津,6)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,) ,且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上,则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.12.D双曲线1的渐近线方程为yx,又渐近线过点(2,),所以,即2ba,抛物线y24x的准线方程为x,由已知,得,即a2b27,联立解得a24,b23,所求双曲线的方程为1,选D.3.(2015浙江,5)如图,设抛物线y24x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.B. C.D.3.A由图象知,由抛物线的性质知|BF|xB1,|AF|xA1,xB|BF|-1,xA|AF|1,.故选A.4.(2017新课标,16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点,则|FN|=_ 4. 6 抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点,可知M的横坐标为:1,则M的纵坐标为: ,|FN|=2|FM|=2 =6故答案为:65.(2016浙江,9)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_.5.9 抛物线y24x的焦点F(1,0).准线为x-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM110,解得xM9,所以点M到y轴的距离为9.6.(2015陕西,14)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点,则p_.6.2由于双曲线x2y21的焦点为(,0),故应有,p2.7.(2014湖南,15)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a, b(a0)经过C,F两点,则_.7.1由正方形的定义可知BCCD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|pa,D,F,将点F的坐标代入抛物线的方程得b22pa22ab,变形得10,解得1或1(舍去),所以1.8.(2014上海,3)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为_.8.x-2c29-54,c2.椭圆1的右焦点为(2,0),2,即p4.抛物线的准线方程为x-2.9.(2014大纲全国,21)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,直线y4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.9.解(1)设Q(x0,4),代入y22px得x0.所以|PQ|,|QF|x0.由题设得,解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1y24m,y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m),|AB|y1y2|4(m21).又l的斜率为m,所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x,并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3,y3)、N(x4,y4),则y3y4,y3y44(2m23).故MN的中点为E,|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|,从而|AB|2|DE|2|MN|2,即4(m21)2.化简得m210,解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.10.(2015新课标全国,20)在直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线l:ykxa(a0)交于M,N两点,(1)当k0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN?说明理由.10.解(1)由题设可得M(2,a),N(2,a),或M(2,a),N(2,a).又y,故y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a(x-2),即x-y-a0.y在x-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a-(x2),即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k,x1x24a.从而k1k2.当ba时,有k1k20,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPMOPN,所以点p(0,a)符合题意.考点4 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2017新课标,)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1 , l2 , 直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16 B.14 C.12 D.101. A 如图,l1l2 , 直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B,E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,又直线l2过点(1,0),则直线l2的方程为y=x1,联立方程组 ,则y24y4=0,y1+y2=4,y1y2=4,|DE|= |y1y2|= =8,|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,故选A.2.(2015重庆,10)设双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(1,0)(0,1) B.(,1)(1,)C.(,0)(0,) D.(,)(,)2.A由题意A(a,0),B,C,由双曲线的对称性知D在x轴上,设D(x,0),由BDAC得1,解得cx,所以cxaac,所以c2a2b2101,因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1),选A.3.(2014辽宁,10)已知点A(2,3)在抛物线C:y22px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A. B. C. D.3.DA(2,3)在抛物线y22px的准线上,2,p4,y28x,设直线AB的方程为xk(y3)2,将与y28x联立,即,得y28ky24k160,则(8k)24(24k16)0,即2k23k20,解得k2或k=-(舍去),将k2代入解得,即B(8,8),又F(2,0),kBF,故选D.4.(2014新课标全国,10)设F为抛物线C:y23x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A. B. C. D.4.D易知直线AB的方程为y(x),与y23x联立并消去x得4y212y90.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y23,y1y2.SOAB|OF|y1y2|.故选D.5.(2014福建,9)设P,Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5 B. C.7 D.65.D设圆的圆心为C,则C(0,6),半径为r,点C到椭圆上的点Q(cos ,sin )的距离|CQ|5,当且仅当sin 时取等号,所以|PQ|CQ|r56,即P,Q两点间的最大距离是6,故选D.6.(2014湖北,9)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C.3 D.26.A假定焦点在x轴上,点P在第一象限,F1,F2分别在左、右焦点.设椭圆的方程为1(ab0),双曲线的方程为1(m0,n0),它们的离心率分别为e1,e2,则|PF1|am,|PF2|am,在PF1F2中,4c2(am)2(am)22(am)(am)cos a23m24c234,则,当且仅当a3m时,等号成立,故选A.7.(2014四川,10)已知F为抛物线y2x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.7.B设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y10,y20),直线AB的方程为xtym,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由消去x,得y2tym0,所以y1y2m.又2,所以x1x2y1y22,(y1y2)2y1y220,因为点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y22,故m2.又F(,0),于是SABOSAFO2(y1y2)y1y123,当且仅当y1,即y1时取“”,所以ABO与AFO面积之和的最小值是3.8.(2017新课标,20)已知椭圆C: + =1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上(12分) (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:l过定点 8.(1)解:根据椭圆的对称性,P3(1, ),P4(1, )两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,椭圆必不过P1(1,1),P2(0,1),P3(1, ),P4(1, )三点在椭圆C上把P2(0,1),P3(1, )代入椭圆C,得:,解得a2=4,b2=1,椭圆C的方程为 =1(2)证明:当斜率不存在时,设l:x=m,A(m,yA),B(m,yA),直线P2A与直线P2B的斜率的和为1, = = =1,解得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足当斜率存在时,设l:y=kx+b,(b1),A(x1 , y1),B(x2 , y2),联立 ,整理,得(1+4k2)x2+8kbx+4b24=0,x1x2= ,则 = = = = =1,又b1,b=2k1,此时=64k,存在k,使得0成立,直线l的方程为y=kx2k1,当x=2时,y=1,l过定点(2,1) 9.(2017新课标,20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆()证明:坐标原点O在圆M上;()设圆M过点P(4,2),求直线l与圆M的方程 9.方法一:证明:()当直线l的斜率不存在时,则A(2,2),B(2,2),则 =(2,2), =(2,2),则 =0, ,则坐标原点O在圆M上;当直线l的斜率存在,设直线l的方程y=k(x2),设A(x1 , y1),B(x2 , y2),整理得:k2x2(4k2+2)x+4k2=0,则x1x2=4,4x1x2=y12y22=(y1y2)2 , 由y1y20,则y1y2=4,由 =x1x2+y1y2=0,则 ,则坐标原点O在圆M上,综上可知:坐标原点O在圆M上;方法二:设直线l的方程x=my+2,整理得:y22my4=0,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),则y1y2=4,则(y1y2)2=4x1x2 , 则x1x2=4,则 =x1x2+y1y2=0,则 ,则坐标原点O在圆M上,坐标原点O在圆M上;()由()可知:x1x2=4,x1+x2= ,y1+y2= ,y1y2=4,圆M过点P(4,2),则 =(4x1 , 2y1), =(4x2 , 2y2),由 =0,则(4x1)(4x2)+(2y1)(2y2)=0,整理得:k2+k2=0,解得:k=2,k=1,当k=2时,直线l的方程为y=2x+4,则x1+x2= ,y1+y2=1,则M( , ),半径为r=丨MP丨= = ,圆M的方程(x )2+(y+ )2= 当直线斜率k=1时,直线l的方程为y=x2,同理求得M(3,1),则半径为r=丨MP丨= ,圆M的方程为(x3)2+(y1)2=10,综上可知:直线l的方程为y=2x+4,圆M的方程(x )2+(y+ )2= 或直线l的方程为y=x2,圆M的方程为(x3)2+(y1)2=10 10.(2017天津,)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为 已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为 ()求椭圆的方程和抛物线的方程;()设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为 ,求直线AP的方程 10.()解:设F的坐标为(c,0)依题意可得 ,解得a=1,c= ,p=2,于是b2=a2c2= 所以,椭圆的方程为x2+ =1,抛物线的方程为y2=4x()解:直线l的方程为x=1,设直线AP的方程为x=my+1(m0),联立方程组 ,解得点P(1, ),故Q(1, )联立方程组 ,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y= B( , )直线BQ的方程为( )(x+1)( )(y )=0,令y=0,解得x= ,故D( ,0)|AD|=1 = 又APD的面积为 , = ,整理得3m22 |m|+2=0,解得|m|= ,m= 直线AP的方程为3x+ y3=0,或3x y3=0 11.(2017新课标,20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足 = ()求点P的轨迹方程;()设点Q在直线x=3上,且 =1证明:过点P且垂
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