高三立体几何一轮复习教案.doc

立体几何1空间几何体表面积与体积运算一、空间几何体的分类空间几何体对于空间几何体不用耗费时间归纳概括结构特征，只需从字面意思直接感知，再借助几何直观加深印象即可二、柱锥台的结构特征1、棱柱：有两个平行的面，这两个平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的侧面，侧面是平行四边形，相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱，棱柱的侧棱平行且相等棱柱的特征简记为：底面平行，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等2、棱锥：有一个面是多边形（底面），其它各面（侧面）都是有公共顶点的三角形，相邻两侧面的公共边叫侧棱。注意：棱锥的侧棱相交于一点3、棱台：用平行于棱锥底面的截面取截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台注：棱台是用棱锥截出来的，所以棱台侧棱延长线相交于一点多面体用顶点字母命名如棱柱ABC，棱锥V-ABC，棱台ABC对于棱柱和棱台也可用对角线顶点字母命名如棱柱注：在同一条棱上的字母对应着写4、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征：圆柱圆锥圆台球旋转示意图轴轴轴 轴直观图O圆柱，圆锥，圆台用轴线字母命名如圆柱，圆锥圆台。球用球心字母表示如球O注：圆柱，圆锥，圆台的母线与轴共面例给出下列命题，在圆柱上下底面圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线在圆台上下底面圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线圆柱任意两条母线所在的直线是相互平行的其中正确的有三、棱柱分类及直棱柱与正棱柱的结构特征1、棱柱的分类及直棱柱与正棱柱的结构特征棱柱特别地：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱四棱柱底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，显然正四棱柱是特殊的长方体，棱长都相等的长方体是正方体注：重点掌握直棱柱与正棱柱的结构特征直棱柱的结构特征 正棱柱的结构特征想一想：能不能说出直三棱柱与正三棱柱与正四棱柱的的结构特征？直四棱柱结构特征 正四棱柱结构特征设计说明：从实用的角度讲要牢牢掌握下面两项内容多面体：直以及正三、四、六棱柱；正三、四、六棱锥、台的结构特征，截面图及画法。旋转体：圆柱、锥台和球截面图和画法判断：有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱（）师生活动：讲课时最好不要让学生凭空想象，教师课前做好模型如右图有两个相邻侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱（）有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱（）各侧面都是正方形的棱柱是正棱柱（）反例：底面是菱形的直棱柱对角面是全等矩形的六面体是长方体（）反例：底面是等腰梯形的直棱柱棱长都相等的直棱柱是正方体（）反例底面是菱形的直棱柱四个侧面两两全等的棱柱是直棱柱（）反例平行六面体若有两个过相对侧棱的截面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱（V）若四棱柱的四条对角线两两全等，该四棱柱四直四棱柱（v）四、正棱锥与正棱台的结构特征1、正棱锥结构特征以三角形为例解释“中心”的含义外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，反之到三角形各顶点距离相等的点一定是三角形的外心内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三内角角分线的交点。三角形的内心到三角形各边的距离相等，反之到三角形各边距离相等的点不一定是三角形的内心，也可能是旁心旁心：旁切圆的圆心，如图重心：三角形三边中线的交点,三角形的重心把三角形中线分成1:2两部分垂心：三角形三条高线的交点正三角形外心，内心，中心，垂心重合于一点，该点叫做三角形的中心想一想：能不能说出正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的结构特征？ CBA2、正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥棱长都相等的正三棱锥是正四面体，正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体正棱台的结构特征：上下底面为正多边形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱延长后相交于一点，六、几何体的表面积表面积=侧面积（所有侧面面积）+底面积（所有底面面积）1、柱体（直棱柱，圆柱）的侧面积底面周长为c,高为h直棱柱的高=侧棱=斜高圆柱的高=母线2、锥体的侧面积正棱锥的底面正多边形边数为n,边长为a,周长为c,斜高为注：对于一般的锥体侧面积=所有侧面的面积和圆锥的侧面积设圆锥的底面圆半径为r,周长为c，母线为l3、台体的侧面积正棱台的边数为n,斜高为，上下底面正多边形边长，周长，分别为，a;,c圆台的上下底面半径,周长分别为，r, ，c,母线为l圆台的侧面积4、球的表面积七、几何体的体积1、柱体（直棱柱，圆柱）柱体的底面积为S，高为h,V=Sh特别的底面半径为r,高为h的圆柱体积2、锥体（棱锥，圆锥）设锥体底面面积为S，高为h则体积特别的底面半径为r,高为h的圆锥体积3、台体（棱台，圆台）的体积，S分别是台体上下底面面积，h为台体的高特别的上下底面半径分别为，r，高为h的圆台体积4、球的体积设球的半径为R，球的体积典型题：一、截面问题（降维问题：把空间图形化成平面图形）正棱柱，正棱锥，正棱台截面图正棱柱正棱锥正棱台截面图l侧棱长,h高斜高hrRlR，r为底面正多边形半径与边心距lrRhR，r为底面正多边形半径与边心距hl为上下底面正多边形半径为上下底面正多边形半径旋转体的截面图圆柱圆锥圆台球直观图 轴截面h高l母线r上底面圆半径R下底面圆半径Rlh矩形Rlh等腰三角形Rrl等腰梯形圆在解决柱，锥，台的计算问题时，除了要掌握它们截面图特征还要熟练掌握正三角形，正方形，正六边形的相关量的计算方法正三角形正方形正六边形平面图形a,R，r，h,S分别为正多边形外接圆半径，内切圆半径,高及面积aRrharRarR练习正四棱台的高是17cm，两底面边长分别是4cm和16cm,求这个棱台的侧棱长和斜高答案：侧棱长19cm,斜高cm正四棱锥底面正方形的边长是4cm，高与斜高的夹角是，求正四棱锥的侧面积和表面积答案：侧面积32，表面积48正四棱台两底面边长分别是a,b（ab）,若侧棱所在直线与上下两底面正方形中心的连线所成角为，求棱台的侧面积答案：已知一个圆台轴截面的面积为a,母线与高的夹角是，求圆台的侧面积答案：若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的A、倍 B、2倍 C、倍 D、3倍答案：B（08湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积答案：二、空间几何体的侧面展开与平面图形的旋转问题1、几何体的侧面展开CrC66页1母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为A、 B、 C、 D、三、空间几何体外接与内切问题解题思路：利用组合体的轴截面和横截面解决问题如图在直三棱柱内挖去一个与三棱柱相内切的圆柱，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,柱高6cm求剩余几何体的体积？bcarACB以下略练习：已知三棱锥SABC的各顶点都在半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，,则球的体积与三棱锥的体积比A、 B、 C、 D、COBAS答案：D已知圆锥的高为H，底面半径为R，它的内接圆柱的高为x,则这个内接圆柱的侧面积为-当x为多少时，内接圆柱的侧面积最大提示：用组合体的轴截面分析，答案：侧面积，当时，内接圆柱面积最大一个长方体的各个顶点都在同一个球的球面上，且一个顶点上三条棱长分别为1,2,3则此球的表面积为答案：14有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为R的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求容器中水的深度倒完水后该组合体相当于一个半径为r的球内切于大圆锥（水面看成圆锥的上底面），球和大圆锥同轴，作出该组合体的轴截面rHR为大圆锥底面圆的半径，为大圆锥的母线，H为大圆锥的锥高，r为球半径则，大圆锥的体积，球的体积水的体积把球拿出后剩余的水体为小圆锥，求此时容器中水深等价于求求小圆锥锥高h问题变成截锥问题如果一个正方体内接于球，长方体的体对角线相当于球的直径四、空间几何体的截割与补形1、截锥（正棱锥，圆锥）问题OV对于正棱锥：把小锥与大锥的棱长比定义为相似比，小锥与大锥的长度比（高；斜高；底面正多边形边长，半径，边心距，周长）等于相似比；面积比（底面积，侧面积）等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方对于圆锥：把小锥与大锥的母线比定义为相似比，小锥与大锥的长度比（高，周长）等于相似比；面积比（底面积，侧面积）等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方该性质要和合分比定理一起用合分比定理是研究比例式运算问题的合分比定理：对于比例式，等式 两边运算方式一致结果相等（仅限于对比例式的项进行加减运算及对等式两边的分式整体取倒数运算）合分比定理应用65页8把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面半径比为1:4，母线长是10cm,则圆锥的母线长是多少？设大锥的母线长为lcm，小锥母线为l-10合分比定理cm65页10题用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，解得圆台上下底面面积之比是1:16，截去圆锥母线长为3cm,求圆台的母线长设圆台的母线长为lcm,小锥的母线长为3cm,大锥的母线长为l+3cm由合分比定理以下略15过正三棱锥高的中点，做平行于底面的截面，截得正三棱台的上底边长为2，高恰为上，下底面边长的等差中项，则棱台的体积是答案：2、截补法求体积例68页跟3如图，在多面体ABC-DEF中，已知ABCD是边长为1的正方形且，均为正三角形，EF|AB，EF=2，则该多面体的体积为A、 B、 C、 D、FHGECDBA过AD，BC做与EF垂直的截面ADG，截面BCH，将原几何体截割成两个三棱锥和一个直三棱柱MDAGG1BA11EF，两个小三棱锥的体积直三棱柱AGD-BHC的体积，原几何体的体积为已知正方体的棱长为a,E，F分别是棱与的中点，求四棱锥A-的体积OFEDCBA把四棱锥沿着面切成两个小三棱锥正方体的体对角线与对角面是垂直的，所以BO与分别是新截得的两个小三棱锥，三棱锥，三棱锥的锥高，这两个小锥具有相同的底面，它们的高也相同都等于体对角线的一半以下略法二：在面中，正方体对角面垂直，由面面垂直的性质定理则就是所求四棱锥的锥高，利用射影定理求之3、补形问题如果一个正方体内接于球，长方体的体对角线相当于球的直径已知球面上的四点P，A，B，C。PA，PB，PC的长分别是3,4,5且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积P，A，B，C构成一个空间四面体，该四面体可以看成是从长方体上截出来的如图所示，相当于长方体沿对角线切去一个角BPAC长方体的体对角线相当于外接球的直径五、经纬度问题注：关于经纬度问题以及所有与线面关系证明有关的计算题全放在几何定理后面讲,否则，前面讲不透，后面不讲了，这部分知识就漏掉了练习 ：在三棱锥A-BCD中侧棱AB，AC，AD两两垂直 ，的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为提示化锥为长方体2三视图与斜二侧一、平行投影已知直线与平面相交，在平面外任取一点M，过M作|,设M交于。这里的叫做投射线， 叫做投射面，叫做M关于在平面上的平行投影 M注意：作图形的平行投影一定要先指定投射面及投射线二、正投影:投射面与投射线垂直的平行投影叫做正投影，三、正投影的性质现在把黑板作为投射面，视线作为投射线。实验一：把粉笔头想象成点，它的正投影是什么？如果把线段，三角形，等腰梯形，矩形平行于投射面放置，它们的正投影分别是什么？从大小形状上和原图形比较一下有什么关系？通过上面实验可以看出：结论一：平行于投射面放置的平面图形，它们的正投影是与原图形全等的平面图形实验二：换种放法让它们垂直于投射面考虑一下它们正投影的形状？先看线段现在我们让三角形，等腰梯形，矩形的底边平行于地面，猜测一下它们的正投影是什么？结论二：垂直于投射面的线段，它的正投影是点把黑板看成投射面垂直于投射面且底边平行与地面的三角形，等腰梯形，矩形它们的正投影是图形的高四、三视图：三视图的原理是正投影三视图的含义主视图从几何体的正前方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形左视图从几何体的正左方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形俯视图从几何体的正上方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形注：多面体的轮廓线是指多面体的底面和侧棱，旋转体的轮廓线指的是旋转体的底面和母线我们在初中的时候画过一些简单几何体的三视图，画出如图所示几何体的三视图，并回忆三视图的画法规则是什么？三视图的画法规则1、 摆放顺序主 左俯2、 长对正，高平齐，宽相等长宽高主左宽俯注意：可视轮廓线画实线，不可视轮廓线画虚线画几何体的三视图画三视图时几何体（正三棱柱除外）通常底面平行与地面，侧棱朝前或侧面朝前。正三棱柱有两种放法底面平行于地面；侧面平行于地面，练习：按照上面的摆放方法画出下列几何体的三视图侧棱与底面垂直的三棱锥，四棱锥正三棱柱，长方体，正四棱柱，正三棱台，正四棱台，圆柱，圆锥，圆台，球，观察棱锥，正棱柱，正棱台，圆柱，圆锥，圆台的三视图，它们的边界线是什么图形？结论：底面平行于地面的几何体（正三棱柱底面平行于地面或侧面平行于地面），若只看边界线，棱锥有两个视图是三角形，另外视图是多边形。若三个视图都是三角形，该几何体是三棱锥正棱锥：有一个视图是正多边形，另外两个视图是三角形长方体：三个视图都是矩形正棱柱：有两个视图是矩形，另外视图是正多边形方形正棱台：有一个视图是正方形，另外两个视图是梯形圆柱：有两个视图是矩形，另外视图是圆圆锥：有一个视图是圆，另外两个视图是全等的等腰三角形圆台：有一个视图是圆，另外两个视图是全等的等腰梯形注：在三视图的环境下求原几何体的体积与表面积或证明原几何体的线面关系是我们今后要研究的一个重要问题1、几何体的底面平行于地面（正三棱柱除外），把俯视图看成几何体的底面，主视图或左视图的高即为几何体的高，求出底面积和高后就可计算原几何体的体积2、对于棱锥有时要求利用三视图还原几何体计算表面积：利用三视图还原几何体的方法：找：把俯视图看成底面找到原几何体的顶点在底面上的射影（俯视图多边形内部轮廓线与多边形的边或顶点的交点），提：把该点垂直于地面提起来做为原几何体的顶点，连：最后把侧棱连出来就可以了练习：下面给出几个几何体的三视图，说出与之对应的原几何体的名称典型题一、已知几何体的三视图，求原几何体的体积与表面积09年辽宁高考设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）132322答案：409宁夏一个棱锥的三视图如图所示，求它的全面积4366A、 B、 C、 D、答案：A09天津如图，下面给出一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=23a11答案：09山东下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 正方体圆锥正三棱台正四棱锥A、 B、 C、 D、答案：D如图是一个几何体的主视图和俯视图 判断该几何体是什么几何体画出左视图并求其面积 求几何体的体积2aa主左08年山东如图是一个几何体的三视图，求该几何体的体积2223A、 B、 C、 D、答案：D若几何体的三视图（单位：cm）所示，则此几何体体积是（）113131答案：18已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积111109山东一空间几何体的三视图，如图所示则该几何体体积为2222练习 ：一个空间几何体由上下两部分组成，其三视图如右图所示，记该组合体表面积为S,则S=A、 B、C、-2 D、+22222用若干块相同的小正方体撘成一个几何体，从两个角度所观察的图形如图所示，则搭成该几何体最少需要小正方体的块数是多少？主俯最底层按俯视图摆7个，中层最少放两个（在左侧2排6个正方形上放），顶层最少放一个（在中层左边正方体上放）五、斜二测与直观图平面图形的直观图1、建系在原图形上以特殊点为原点，以特殊线段所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，让坐标系通过原图形的最多点建立直观图坐标系：2、画图：先画在在轴上的线段，再画平行于轴的线段，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段，画在直观图上平行于轴，线段的长度不变；原图形中在y轴或平行于y轴上的线段，画直观图时平行于轴，长度变为原来的一半例：已知正三角形的边长为a，求它的直观图面积答案：画与直观图对应的原来的平面图形1、建系在直观图上以特殊点为原点，以特殊线段所在直线为坐标轴建立直观图坐标系，让坐标系通过直观图最多点建立平面直角坐标系坐标系：2、画图：先画在在轴上的线段，再画平行于轴的线段，直观图中在轴上或平行于轴的线段，画在直观图上平行于x轴，线段的长度不变；原图形中在轴或平行于轴上的线段，画直观图时平行于y轴，长度变为原来的2倍例：如图所示为某个平面图形的直观图，求原几何图形的面积CD=4，AB=6，AD=2DAxyOCB答案：练习：一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原平面图形的面积答案：3平面基本性质与空间两直线的位置关系一、空间点与线，点与面，线与线，线与面，面与面位置关系1、点与线注：在空间中直线a与b垂直2、点与面3、线与线4、线与面5、面与面注：立体几何中除了用平面基本性质定理证明线面关系外不研究重合，但是在平面几何中（包括解析几何）研究重合二、平面基本性质定理及推论性质一：若直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内符号表示：性质二：经过不在同一直线上的三点有唯一一个平面推论1：直线和直线外一点确定唯一平面推论2：平行直线确定唯一平面推论3：相交直线确定唯一平面性质三：两个不重合的平面有一个公共点，那么有唯一一条通过公共点的公共交线该性质符号表示:nmO先说明O是与的公共点再说明的公共交线又由此得到公共点在公共交线上三、异面直线所成的角1、求异面直线a与b所成角的方法aOb在空间中任取一点O，过O作a与b的平行线，则2、线线角的范围在空间几何中线线角的范围异面直线所成角的范围四、平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行典例一、 三线共点问题解题思路：先证明其中两条直线共点，再证明该点在第三条直线上例空间四边形ABCD中，E，F,G分别在AB，BC，CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2:1，CG：GD=AH：HD=3:1，过E，F,G的平面交AD于H求证：EH，FG，BD三线共点CFGHDBEA由已知E，F，G，H四点共面四边形EFGH为平面图形AE：EB=CF：FB=2:1且CG：GD=AH：HD=3:1且EF与GH平行但不相等，四边形EFGH为梯形EH与GF必相交，设交点为O且EH，FG，BD三线共点思考：本题还可以怎么证设计说明：本题不要把线面关系定理引进来。练习：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条直线也经过这一点在长方体中，点E，F分别是棱的中点，求证：D，E，F，B共面分析：利用平行公理：找线线平行，利用线线平行证点共面在正方体中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG求证：直线且直线二、三点共线解题思路：证明这三个点是两个平面的公共点例如图，在在四面体ABCD中作截面PQR，PQ，CB的延长线交于M。RQ，DB的延长线交于N.RP,DC的延长线交于K。求证：M，N，K三点共线ARPQMNBDCK练习：正方体中，对角线与平面交于O，AC，BD交于M求证：点，O，M共线三、三线共面问题证空间中三条平行线共面同一法：先用三条平行线确定两个平面，再证这两个平面重合例如图，已知不在平面内，求证：共面设，且同理由于过两条相交直线有且只有唯一平面，所以共面四、求异面直线所成角问题注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角正方体中，E，F分别是中点，则直线AE和BF所成角的余弦值补形法例：在直三棱柱中，点分别是中点，BC=CA=，则所成角的余弦值A、 B、 C、 D、补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体答案：C练习：在四面体ABCD中，E,F分别是AC，BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于A、 B、 C、 D、答案：D正方体中，E，F分别是正方形和ABCD的中心，G是的中点，设GF，与AB所成的角分别为答案：D五、作空间两个已知平面的交线如图所示，在棱长为a的正方体中，M，N分别是上中点，过D，M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l,画出直线l设，求线段的长DABCNEPM连，连EN，则EN就是面DMN与底面的交线l下证E，N为面DMN与底面的公共点由已知N为面D，M，N与底面的公共点只需证E为面D，M，N与底面的公共点E为面D，M，N与底面的公共点EN就是面DMN与底面的交线l综合练习：1、 在空间中，下列命题正确的是A、对边相等的四边形一定是平面图形B、四边相等的四边形一定是平面图形C、有一组对边平行的四边形一定是平面图形D、有一组对角相等的四边形一定是平面图形分析：把正四面体一条侧棱去掉2、下列说法一定正确的是三角形一定是平面图形若四边形的两条对角线相交于一点，则四边形一定是平面图形圆心和圆上两点可以确定一个平面三条平行线最多可以确定三个平面答案：3、下列命题正确的有若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R则P，Q，R共线若三条直线a,b,c互相平行，且分别交直线l于A，B，C三点，则这四直线共面空间中不共线的五个点最多可以确定10个平面答案：全对平面相交，在内各取两点，所取的四个点都不在交线上，这四个点能确定多少个平面分析：本题实质是讨论空间直线位置关系问题4空间平行关系一、 空间平行关系转化图及相关定理 线线平行线线平行线面平行面面平行 面面平行判定定理推论面面平行性质定理平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行线面平行的判定定理：1、文字语言：平面外直线与平面内直线平行则线面平行2、图形语言：ml3、符号语言：先面平行的性质定理1、 文字语言：线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则线面平行2、 图形语言l3、 符号语言：面面平行性质定理1、 文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行2、 图形语言ml3、符号语言：面面平行的性质定理:1、 文字语言：面面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行2、 图形语言：m3、 符号语言：面面平行判定定理的推论1、文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行2、图形语言ml3、符号语言：面面平行性质定理1、 文字语言：如果两个平行平面和第三个平面相交，则交线平行2、 图形语言：ml3、符号语言注：应用该定理时一定要保证和两个平行平面相交的四边形是平面图形判断一个四边形是平面图形的方法补充结论：1、平行于同一平面的两个平面平行2、垂直于同一平面的两条直线平行3、垂直于同一直线的两个平面平行典例：一、线面平行的判定与性质线面平行判定线面平行，面面平行的判定与性质是我们今后研究的主要问题，线面平行的判定方法平行关系转画图向量法（后面讲）线面平行定义:直线与平面没有公共点其中线线平行关系的判定是解决线面平行判定问题的关键，常见的线线平行的判断方法有平行关系转画图三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质利用平行线分线段成比例定理推论找平行线平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例ABCDEDEBC注：反之任取一组比例式可推得DEBCABCDEDEBC注：反之任取一组比例式可推知DEBC注该定理常和合分比定理结合向量法（后面讲）垂直于同一平面的两条直线平行例如图所示：已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证：AM|面EFGNGENACMB设计说明：可以通过面面平行证线面平行例已知正方体ABCD-，棱长为a,E,F分别在，BD上，且求证：EF|平面法一：AECDBMF本题证明从线线平行到线面平行。在找线线平行时应用平行线分线段成比例定理推论法二：HEFGCDBA法二也是从线线平行到线面平行，做平行线构造平行四边形证线线平行练习：已知有公共边的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP=DQ求证：PQ|平面CBE线面平行的性质例1、如图四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC中点，在DM上取一点G，过G和AM做平面交平面BDM于GH，求证:AP|GHCDMHGBPA利用线线平行证明线面平行，再利用线面平行证线线平行利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质找中点，连中位线 ，创造线线平行条件例2、直三棱柱中，M为AC中点求证：222CBA设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。直棱柱的结构特征 正棱柱的结构特征正棱锥结构特征正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥练习：如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点求证：MN|面CDEF求多面体ACDEF的体积MNCBFAED222答案：例3、如图在三棱锥ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时截面面积最大？CAHGFEBD分析：由已知可证EF|CD，EG|AB设FG=x,FE=y,AB=a,CD=b，显然为定值FG|ABEF|CD由合分比定理截面EFGH的面积时截面面积最大二、 面面平行的判定与性质面面平行关系的判定面面平行判定方法平行关系转画图向量法（后面讲）垂直于同一直线的两个平面平行面面平行的定义：两个平面没有公共点例三棱柱ABC-，D是BC上一点，且|平面，是中点，求证：平面|平面练习：B为所在平面外一点，M，N，G分别是，的重心求证:平面MNG|平面ABC面面平行的性质例1如图所示正方体ABCD-的棱长都是a,M,N分别是下底面棱的中点，P是上底面棱AD上一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于P，Q，Q在CD上，则PQ=DCBAPNMQ答案：例2如图直线AC，DF被三个平行平面所截是否一定有AD|BE|CF若，试判断的大小解当AC与DF共面时由面面平行性质定理结论成立，但当AC与DF不共面时结论不成立当AC与DF共面时现在讨论AC与DF不共面时的情况FCEBDA法一:如图，过A作|DF，交于，交于以下略也可以从B或C处引平行线法二:连AF练习：已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN|平面综合练习：1、下列说法正确的是A、 直线l平行于平面内无数条直线，则l|B、 若直线a在外，则a|C、 若直线，则a|D、 若直线a|b, ,那么直线a平行于面内无数条直线2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线位置关系A、异面 B、相交 C、平行 D、不能确定答案:C3、a,b,c为三条不重合直线，为三个不重合平面，现给出六个命题 其中正确的是A、 B、 C、 D、答案:B4、若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是A、面内所有直线与a异面B、面内不存在与a平行的直线C、面内直线与a都相交D、直线a与有公共点答案：D5、平面的一个充要条件是A、 存在一条直线a,B、 存在一条直线a,C、 存在两条平行线a,b,D、 存在两条异面直线a,b,答案：D6、若平面，直线，点，则在平面内，与过B点的所有直线中A、 不一定存在与a平行的直线B、 只有两条与a平行的直线C、 存在无数条与a平行的直线D、 存在唯一一条与a平行的直线答案：A7、对于平面和共面的直线m,n下列命题中是真命题的是A、 若B、 若C、 若D、 若m,n与所成的角相等，则m|n答案：C8、a,b是两条不重合的直线，给出以下四个命题1) 若a|b,2)3) 若4) 若其中真命题的个数是A、0 B、1 C、2 D、3答案：A9、考查下列三个命题，在（）内补全条件 答案：都是5空间垂直关系一、 空间垂直关系转化图及相关定理线线垂直线面垂直面面垂直线面垂直的判定定理1、 文字语言：如果一条直线和一个平面内两条相交直线垂直，则线面垂直2、 图形语言：nmOl3、 符号语言：线面垂直定义1、 文字语言：线面垂直，直线与平面内所有直线垂直2、 图形语言：nm3、 符号语言：面面垂直的判定定理1、 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直2、 图形语言：l3、 符号语言：面面垂直性质定理：1、 文字语言：面面垂直，在一个平面內作交线的垂线垂直于另一个平面2、 图形语言：ml3、符号语言：补充性质：1、 线面垂直性质定理：两条平行线中有一条平行线与一个平面垂直，则另一条直线与这个平面也垂直2、 两个平行平面中有一个平面与一条直线垂直，则另一个平面与这条直线也垂直3、三垂线定理与逆定理mBOA如图所示AO为面的垂线，O为垂足；AB为面的斜线，B为斜足；BO为斜线AB在面内的射影线面垂直，在一个平面内与斜线垂直的直线与这条直线在这个平面上的射影垂直线面垂直，在一个平面内与射影垂直的直线与这条射影对应的斜线垂直三垂线定理推论：若平面的两条斜线相等，则这两条斜线对应的射影也相等，反之也对例点P是等腰所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，在中，AB=AC=5，BC=6，则点P到BC的距离答案：典型例题一、线面垂直的判定与性质线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。线线垂直的判定方法空间线面垂直证线线垂直利用三垂线定理向量法利用勾股定理算垂直线面垂直的判定方法空间垂直关系转化图向量法例1如图所示，AB圆O的直径，C为圆O上一点，于E，于F，求证：CFEOBAP本题通过线线垂直证明线面垂直，在找线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆的直径对直角的性质练习：如图已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若求证：DCQNMBAP提示：取PD中点Q，证AQ与面PCD垂直，从而利用“线面垂直的性质定理”证MN与面PCD垂直例2、直三棱柱中，M为AC中点求证：222CBA设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点练习：如图所示，直三棱柱ABC-中，M，N是，AB的中点，求证:求证：求证：平面NMCBA练习：如图，在直三棱柱ABC-中，AB=BC=，D为AC的中点求证:若求证：在的条件下，设AB=1，求三棱锥B-的体积例3：在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，M是BC的中点，G是的重心，则在平面PAD中经过点G且和直线PM垂直的直线有 条答案：无数条分析：本题利用线线垂直的方法证明PMPAD。在寻找线线垂直条件时采用算垂直的方法二、面面垂直的判定与性质面面垂直的判定方法空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直向量法例1如图，为正三角形，BD|CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：DE=DA平面BDM平面ECA平面DEA面ECACEABDM取AC中点N,证明DN|BN再证BN面ECA，利用线面垂直的性质定理知DM面ECA最后利用线面垂直证面面垂直例2已知中，BC=CD=1，E，F分别是AC，AD上动点，且求证：不论为何值时，总有平面BEF面ABC当为何值时，平面BEF面ACDCBFEAD第二问是存在性问题当BEF面ACD时由一问可知又BEF面ACD，利用射影定理求AE从而求设计说明：本题是存在性问题，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP面ABCD求证：DP面EPC问在EP上是否存在F，使平面AFD面BFCQCDPBAE问题利用线线垂直证线面垂直，在寻找线线垂直条件时采用“算垂直”的方法2、如图所示在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD若G为AD的中点，求证：求证：若E为BC中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面，并证明你的结论分析：问题是存在性问题，可以把结论当已知找条件，寻找的过程可省略。但本题要求证明即把条件当已知证结论3、 如图所示，在四棱柱ABCD-中，已知DC=2AD=2AB，ADDC，AB|DC求证:设E是DC上一点，试确定E的位置，使，并说明理由CBAD二、 折叠问题例如图，四边形ABCD中，AC|BC，AD=AB，将沿对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD面BCDCDBFEPEDCBA求证：平面在折叠前的正方形ABCD中，做AE于E，过E作于F，求在折起后的图形中的正切值设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件综合练习：1、a,b是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是A、 B、C、 D、答案：C2、已知是两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列命题正确的是A、 B、C、 D、答案：D3、已知是两个不同平面，a,b是两条不同直线，则下列命题正确的是A、 B、C、 D、答案：D4、已知平面，和直线m 当满足条件 时，有当满足条件 时，有答案：5、设l,m,n均为直线，其中其中m,n在平面内，则“”是“”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件答案：A6、PA垂直正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是面PAB面PBC 面PAB面PAD 面PAB面PCD 面PAB面PACA、 B、 C、 D、答案：A7、已知平面，点，直线AB|l,直线，直线，则下面四种位置关系不一定成立的是A、AB|m B、 C、 D、AC答案：D8、已知是两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列命题正确的是A、 B、C、 D、答案：D9、如图在正四棱柱ABCD-中，E，F分别是的中点，则下列结论不成立的是A、EF与垂直B、EF与BD垂直C、EF与CD异面D、EF与异面答案：D10、已知，是三个两两不同平面，a,b是两条不同直线，则下列命题正确的是 答案：6空间直角坐标系及空间向量一、 空间直角坐标系1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的方向为x轴，手掌向里的方向为y轴，大拇指的方向为z轴，三轴的公共点为z轴2、卦限：数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上，x轴，y轴把平面分成四个象限，在空间三个坐标平面把空间分成八个