第四章 平面向量.doc

第四章 平面向量4.1 向量的概念及表示一、 向量的概念及表示1、 向量2、 向量的表示方法3、 向量的长度（大小）4、 零向量5、 单位向量二、 共线向量1、 平行向量2、 相等向量3、 相向向量4、 共线向量三、 例题与练习例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心（如图），在图示的向量中试写出（1）与EF共线的向量；（2）与EF相等的向量；（3）与EF相等的向量。例2：在图中的45方格纸中有一个AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，问：（1）与AB相等的向量有多少个？（2）与AB的模相等的共线向量有多少个？作业：国际部10 班 姓名 1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中是向量的为 。2、下列结论：（1）若两个向量相等，则它们的起点、终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量相等：（3）若a和b都是单位向量，则a=b；（4）两个相等向量的模相等。其中正确的是 。3、下列结论（1）（4）单位向量都相等；（6）若，则：。其中正确的是 。4、已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这五点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向量；（3）与DA共线的向量。5、 如图，O为正方形ABCD的两对角线的交战交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图示的向量中分别写出：（1）与A0，BO相等的向量；（2）与AO共线的向量；（3）与AO模相等的向量。6、 如图，点D，E，F分别为三角形ABC的边AB，BC，CA的中点，（1）在图示的向量中分别写出与ED，DF，FE相等的向量；（2）写出图中模相等的向量。4.2 向量的加法一、 向量的加法1、（如图）已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则向量OB叫做a与b的和,记作 ，即： 。求两个向量的和的运算叫做向量的加法。2、向量的加法律3、向量加法的三角形法则： 。4、向量加法的封闭性法则： 。注：5、向量加法的平行四边形法则：对于两个不共线的非零向量a,b，任取平面内一点O，过点O作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC= ，我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形形法则。注：二、 例题与练习例1：化简下列各式（1）AB+BC+CD+DA （2）AB+DF+CD+BC+FA（3）（AB+MB）+（BO+BC）+OM例2：如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列式：（1）OA+OC+BO；（2）BC+FE+DA；（3）OA+FE。作业：国际部10 班 姓名 1、已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论中正确的是 （ ）A、AB+CB=AC B、AB+AD=ACC、AD+CDBD D、AO+CO+OB+OD 02、在边长为1的正方形ABCD中， 。2、 化简下列各式（1）AB+DA +CD +BC （2）AB+FA +BC +DF+CD（3）（AB+MB）+BO +OM +BC 3、在正六边形ABCDEF中 ，试求：AB+CD+EF。4、如图，点D，E，F分别是三角形ABC的三边的中点，分别求：BD+CE+AF， AD+BE+CF。4.3 向量的减法一、向量的减法1、 向量的减法向量的减法是向量的加法的逆运算，即若，则称为 ，记为 ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。例1：如图，已知向量不共线，求作向量。2、 向量的减法的几何意义 。注：三、 例题与练习例2：化简下列各式（1）AB+CB+BDAD （2）OA+OC+BO+CO例3：若OD+OE=OM，判断下列结论是否正确：（1）OMOE=OD； （2）OM+DO=OE；（3）OD+EO=OM； （4）DO+EO=MO例4：若非零向量和互为相反向量，下列说法：（1），（2），（3）（4），其中错误的是 。例5：如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若试证明：作业：国际部10 班 姓名 1、在平行四边形ABCD中，若用表示向量AC，DB应该是 ；2、 D是三角形ABC的边BC的中点，若则： ； 。3、已知向量与共线，且，则 。4、化简下列各式（1）（AB+CD）+（BCAD） （2）OAOC+OBCO(2)MP-MQ+PR 6、 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，设，试用表示下列式子：（1） ABBC；（2）DCDOEO。4.4 向量的加法、减法习题课一、 向量模的三角不等式向量模的三角不等式 。二、例题与练习例1：判断下列命题的真假（1）所有单位向量都相等。（2）若且，则。（3）若且，则。（4）已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，若AO+OD=BO+OC，则四边形ABCD是平行四边形。（5）在平行四边形ABCD中，AB+BC=AD+BA。例2：（1）在边长为1的正方形ABCD中，设则：= ；= 。（2）在三角形ABC中，若，则，则BAC= 。例3：已知三角形ABC中，C=，AC=BC，判断下列等式是否成立（1）； （2）；（3）； （4）。例4：在正常三角形ABC中，判断下列等式否成立（1）； （2）；（3）；（4）。4.5 向量的数乘一、向量的数乘1、实数与向量的积是一个 ，记作 ，它的长度与方向规定如下：（1） ；（2）当时，与方向 ；当时，与方向 ；当时，= 。实数与向量相乘，叫做向量的数乘。2、向量的数乘的运算律二、 例题与练习例1：已知向量与，求作向量：2，3，。例2：化简（1）；（2）。例3：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，设，试用表示AM、AN。例4、如图，D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：AD+BE+CF=0作业：国际部10 班 姓名 1：化简(1) (2)(3)2已知向量，试用表示。3、 已知向量，且，求向量：。4、 如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，求证：4.6 向量的共线定理一、向量的共线定理1、例1：如图，D，E分别是三角形ABC的边AB，AC的中点，求证：ED与BC共线，并用BC表示ED。2、向量的共线定理如果，则 ，反之若与共线，那么 。三、 例题与练习例2：（1）已知是单位向量，向量的模是2，且，则： ；（2） 已知点C是直线AB上的一点，且AB=2BC，试用AB分别表示AC。例3：（1）已知向量，求证：与是共线向量。（2）已知，求证：M，P，Q三点共线。例4：在三角形ABC中已知，试用表示DE。作业：国际部10 班 姓名 1、（1）已知，且，则： ；（2）已知点C是直线AB上的一点，且AB=2BC，试用AB分别表示CB。2、（1）已知向量，求证：与是共线向量。（2）已知，求证：M，P，Q三点共线。3、 如图，点P、Q是线段AB的三等分点，已知试用：表示OP，OQ。4.7 平面向量的基本定理一、平面向量的基本定理1、平面向量的基本定理如果是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内的任一向量，有且只有一对实数，使：。我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组底。2、一个平面向量用一组基底表示成的形式，我们称它为向量的分解，当向量所在的直线互相垂直时，这种分解称为向量的正交分解。二、例题与练习例1：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，设AB=a，AD=b，试用a,b表示OC，OA，OB，OD。例2：已知是平面内的一组基底，如果，求证：A，B，D共线。例3：（1）已知是不共线的向量，若实数满足：=，试求：。（2）、已知是平面内的一组基底，若：，求：k。作业：国际部10 班 姓名 1、（1）已知是不共线的向量，若实数满足：=，则： ；（2）、已知是平面内的一组基底，若：，则：k= 。2、已知是平面内的一组基底，若：，试求实数a,b满足的关系。3、 在三角形ABC中，D，E，F依次是边BC的四等分点，设，试求：AF。4、 如图，在正六边形ABCDEF中，试求：AB，AD，AF。4.8 平面向量的坐标运算一、 平面向量的坐标表示1、在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面上的向量，由平面向量的基本定理可知：有且只有一对有序数对使得，则有序数对称为向量的直角坐标，记作： 。2、若A，则：OA= 。二、 平面向量的坐标运算已知：，则：三、 例题与练习例1：在直角坐标系中，A（1，3），B（1，3），C（4，1），D（3，4），求：OA，OB，CO，DC。例2、求与向量=（12，5）平行的单位向量。例3：平行四边形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），C（3，2），求点D。例4：已知，点P是直线上一点且，求点P的坐标。作业：国际部10 班 姓名 1、已知向量则： ； ；= ；= 。2、在直角坐标系中，A（1，3），B（1，3），则：BA= 。3、在直角坐标系中，A（2，1），B（4，8），且AB+3BC=0，试求点C的坐标。4、在直角坐标系中，A（1，2），B（3，2），若，试求：a。5、 求与向量=（3，4）平行的单位向量。6、平行四边形ABCD的顶点A（2，1），B（1，3），C（3，4），求点D。4.9 向量平行的坐标表示一、 向量平行的坐标表示例1：（1）已知向量，问向量是否平行？（2）已知，若，研究它们的坐标满足的关系。（3）已知，若，问是否有？向量平行的坐标表示若，则。二、 例题与练习例1：下列向量中哪些可以作为平面向量的一组基底（1）；（2）；（3）。例2：已知向量OA，OB=，OC=。当分别为取何值时：（1） OA/OB；（2）OA与OB同向；（3）（2OB-OC）/（OA+OB）；（4）A、B、C共线。例3：已知A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形。作业：国际部10 班 姓名 1：下列向量中哪些可以作为平面向量的一组基底（1）；（2）；（3）。2：已知向量OA，OB=，OC=。当分别为取何值时：（2） OA/OB；（2）OA与OB同向；（3）（2OB-OC）/（OA+OB）；（4）A、B、C共线。3：已知A（0，1），B（3，4），C（4，2），D（2，0），求证：四边形ABCD是梯形。4.10 向量的数量积（一）一、 向量的数量积1、两向量的夹角对于两个非零向量和，作，则：AOB=叫做向量和的夹角。当与同向时，= ；当与反向时，= ；当时，称与垂直，记作 。2、向量的数量积已知非零向量和的夹角为，称 为与的数量积，记作 ，即 。规定 。3、向量的数量积的运算律注：二、 例题与练习例1：已知向量和的夹角为，分别求：（1）；（2）；（3）。例1：已知向量和的夹角为，求：（1）；（2）；（3）。例3：（1）在正三角形ABC中，求：；（2）在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，求：。作业：国际部10 班 姓名 1、已知向量和的夹角为，当=0时，= ；当=时，= ；当=时，= ；当=时，= ；当=时，= ；当=时，= ；当=时，= 。2、（1）已知则与的夹角= ；（2）已知与的夹角为，则 。3、分别根据下列条件求：（1）ABC是边长为2的正；（2）在菱形ABCD中，边长为2，BAD=。4、已知向量和的夹角为，求：（1）；（2）；（3）。4.11 向量的数量积（二）一、 向量的数量积的有关运算律1、2、 即 。3、 ； 。二、例题与练习例1：已知向量和的夹角为，。求：（1）；（2）；（3）。例2：已知求：（1）；（2）向量和的夹角的余弦值。例3：已知和是夹角为的两个单位向量，求：（1）；（2）求证：。例4：判断下列例题的真假（1）；（2）；（3）若则：或；（4）若则：；（5）若则：。作业：国际部10 班 姓名 1：已知向量和的夹角为，。求：（1）；（2）；（3）。2：已知求：（1）；（2）向量和的夹角的余弦值。3：已知和是夹角为的两个单位向量，求：（1）；（2）求证：。4、 已知，求与的夹角。4.12 向量的数量积（三）一、向量的数量积的坐标表示已知向量，则：（1） ，特别地：；（2）；（3） 。二、 例题与练习例1：（1）已知，求：。例2：求向量的夹角（1）， （2），。例3：求与向量，（1）平行的单位向量；（2）垂直的单位向量。例4：在ABC中，已知，且ABC是直角三角形，试求k的值。作业：国际部10 班 姓名 1、已知，求：。2、求向量的夹角（1）， （2），。3、在直角坐标系中，求证：ABC是等腰直角三角形。4已知，且，求向量的坐标。5、 已知A（1，0），B（0，1），C（2，5）求：（1）的模；（2）4.13 向量的数量积（四）一、 知识点1、 2、 3、二、例题与练习例1：（1）已知求的夹角；（2）已知，的夹角为，求：；（3）已知是非零向量，且，求证：。例2：在平面直角