2019版高考数学大复习解析几何第41讲直线的倾斜角与斜率直线的方程优选学案.docx

第41讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲要求考情分析命题趋势1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式3掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.2016四川卷，102015全国卷，20(1)2014福建卷，62014四川卷，9直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离公式是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.分值：35分1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l！_向上方向_#之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴！_平行或重合_#时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是！_0，)_#.2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率k！_tan _#.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k！_#.3直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率k与纵截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式截距a与b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)当直线l1和l2斜率都存在时，若k1k2，则l1l2.()(4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程()(5)任何直线方程都能写成一般形式()解析(1)正确直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度，不能确定直线的位置(2)错误当直线的倾斜角为90时，其斜率不存在(3)错误当k1k2时，两直线可能平行，也可能重合(4)错误当直线与x轴垂直(斜率不存在)时，不能用点斜式方程表示(5)正确无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式2直线xym0(mR)的倾斜角为(C)A30B60C150D120解析由ktan ，0，180)，得150.3已知直线l过点P(2,5)，且斜率为，则直线l的方程为(A)A3x4y140B3x4y140C4x3y140D4x3y140解析由y5(x2)，得3x4y140.4过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(A)A1B4C1或3D1或4解析由1，得m24m，即m1.5若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为！_4_#.解析kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.一直线的倾斜角与斜率直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分，和三种情况讨论当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)【例1】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是(B)ABCD(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是！(，1，)#.解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kAP1，kBP，k(，1，)二直线方程的求法求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零【例2】 根据所给条件求直线的方程(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)，即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1.又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.三直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值【例3】 (1)已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值(2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解析(1)由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，面积最小故当四边形的面积最小时，实数a的值为.(2)依题意知，直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，可得A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212) 12，当且仅当9k，即k时，等号成立故ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x3y120.1直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是(B)ABCD解析因为a210，所以直线的斜截式方程为yx，所以斜率k，即tan ，所以1tan 0，解得0，所以k22，故三角形面积的最大值为.4已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为！_#.解析直线方程可化为y1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)由动点P(a，b)在线段AB上，可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b22.由于0b1，故当b时，ab取得最大值.易错点忽略直线方程的适用范围错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与x轴垂直，则需要讨论【例1】 已知圆M：(x1)2(y1)24，直线a过点C(2,3)且与圆M交于A，B两点，且2，求直线a的方程解析r2，2，圆心M(1,1)到直线a的距离为1.当直线a垂直于x轴时，符合题意，此时直线a的方程为x2.当直线a不垂直于x轴时，设其方程为y3k(x2)，即kxy(32k)0，1，k，y3(x2)，即3x4y60.综上可知，直线a的方程为x2或3x4y60.【跟踪训练1】 设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为！_xy0或xy20_#.(2)若a1，直线l与x轴、y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，则OMN的面积最小时，直线l对应的方程为！_xy20_#.解析(1)当直线l经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a20，解得a2.此时直线l的方程为xy0，即xy0；当直线l不经过坐标原点，即a2，且a1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a，解得a0，此时直线l的方程为xy20.所以直线l的方程为xy0或xy20.(2)由直线方程可得M，N(0,2a)，因为a1，所以SOMN(2a)2.当且仅当a1，即a0时，等号成立此时直线l的方程为xy20.课时达标第41讲解密考纲考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程，常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查一、选择题1(2018四川绵阳南山中学期中)直线l的方程为x3y10，则直线l的倾斜角为(A)A150B120C60D30 解析由直线l的方程为x3y10，可得直线l的斜率为k，设直线l的倾斜角为(0180)，则tan ，所以150.故选A2过点A(5,2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为(C)Axy30B2x5y0C2x5y0或xy30D2x5y0或xy30解析直线l的斜率存在且不等于0，设l：y2k(x5)，则l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为(0，5k2)由题意得525k0，所以k1或，即l为2x5y0或xy30.故选C3如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析直线l1的斜率角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角，且23，所以0k3k2，因此k1k3k2.故选D4若k，1，b三个数成等差数列，则直线ykxb必经过定点(A)A(1，2)B(1,2)C(1,2)D(1，2)解析因为k，1，b三个数成等差数列，所以kb2，即b2k，于是直线方程化为ykxk2，即y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)5如果AC0，且BC0，且 A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为！_16_#.解析根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0.根据基本不等式ab2(ab)4，可得0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号故ab的最小值为16.三、解答题10过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2xy20与l2：xy30之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程解析设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上由题意知则点B(6x，y)，解方程组得则k8.故所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.11已知点A(3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程(1)经过点A且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解析(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.若a0，即直线过点(0,0)及(3,4)，直线的方程为yx，即4x3y0.若a0，设所求直线的方程为1.又点(3,4)在直线上，1，a7.直线的方程为xy70.综合可知所求直线的方程为4x3y0或xy70.(2)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)故所求直线的方程为xy10或xy70.12已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求