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9 5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 定理1对于级数 将它的所有正项保留而将负项换为0 组成一个级数记为 将它的所以负项变号 乘上因子 1 而将正项换为0 也组成一个正项级数记为亦即那么 i 若级数绝对收敛 则级数和级数都收敛 ii 若级数条件收敛 则级数和级数都发散 证明 i 若级数绝对收敛 由于按比较判别法 级数和级数都收敛 ii 若为条件收敛 用反证法证明定理的第二结论 假设级数和级数中至少有一个是收敛的 不妨假设为收敛级数 那么 由于于是得知亦必为收敛 又由于 所以得知级数绝对收敛 此与已知条件矛盾 因此证明了两个级数和都发散 定理2绝对收敛级数的更序级数仍为绝对收敛 且其和相同 证明 i 我们先证明当为收敛的正项级数的情形 考虑更序级数的部分和 因为所以 取大于所有下标后 显然有又由于正项级数 于是对一切成立按照正项级数收敛的基本定理 更序级数亦收敛 设其和为 故有 另一方面级数也可视为级数的更序级数故又有 得知 ii 再来证明为任意绝对收敛级数的情形 仍旧记级数和分别为的所有正项和所有组成的级数 由定理1知道 这两个级数都收敛 设它们的和分别是和 则有由 i 中的结论知道 的更序级数成立着这就表明了更序级数是绝对收敛的 再设和分别为级数和的更序级数 由 i 的结论知道 而 所以这样就证明了定理 注意 这个定理对条件收敛级数而言 却不一定成立 例如莱布尼兹型级数 定理3 柯西定理 若级数和都绝对收敛 其和分别为和 则它们各项之积按照任何方法排列所构成的级数绝对收敛 且其和为 证明略 例如 级数 绝对收
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