6.2 定积分的几何应用 (1)面积.ppt

6 2定积分的应用 ApplicationsofDefiniteIntegrals 一 平面图形的面积 AreasbetweenCurves 1 直角坐标情形 面积问题可以不用微元法 用定积分的几何意义即可 1 设 由定积分的几何意义 由y f x y 0 x a x b所围成的曲边梯形的面积A等于 曲线y f x 下方的面积 面积微元 2 设f x 任意 由y f x y 0 x a x b所围成的图形的面积 3 设 由y f x y g x x a x b所围成的图形的面积 口诀 函数大减小 积分左到右 高等数学学习手册 162页 表6 1 1 有误 函数是否为正 则无关紧要 往上平移 4 设f x g x 任意 由y f x y g x x a x b所围成的图形的面积 5 设 由定积分的几何意义 由x f y x 0 y c y d所围成的曲边梯形的面积 详细的面积计算公式 直角坐标 见 高等数学学习手册 162页 表6 1 1 解 两曲线的交点 面积元素 选为积分变量 例 求由 所围成的平面图形的面积 解 作图 求交点 with plots xzou implicitplot y 0 x 0 3 y 0 2 0 2 yzou implicitplot x 0 x 0 2 0 2 y 0 5 quxian plot sin x sin 2 x x 0 Pi y 1 1 thickness 4 display xzou yzou quxian tickmarks 0 0 scaling constrained 例 求由 所围成的平面图形的面积 解 作图 求交点 顶点 with plots xzou implicitplot y 0 x 0 3 y 0 2 0 2 yzou implicitplot x 0 x 0 2 0 2 y 0 3 5 quxian implicitplot y 1 2 1 x y x x 1 2 3 5 y 1 3 5 thickness 4 display xzou yzou quxian tickmarks 0 0 scaling constrained 方法一 很麻烦 方法二 很简单 2 参数方程 设曲线方程由参数方程给出 x t 是t的增函数 则由曲线x x t y y t x轴 x a x b所围成的图形的面积 见 高等数学学习手册 163页 6 1 3节 例3 求椭圆 的面积 解 方法一 由对称性知总面积等于4倍在第一象限部分面积 with plots xzou implicitplot y 0 x 2 2 y 0 2 0 2 yzou implicitplot x 0 x 2 0 2 y 1 2 1 2 quxian implicitplot x 2 3 y 2 1 x 2 2 y 2 2 thickness 4 display xzou yzou quxian tickmarks 0 0 scaling constrained 方法二 椭圆的参数方程 3 极坐标方程 设曲线方程由极坐标方程给出 由围成一个曲边扇形 求曲边扇形的面积A 作为弥补 见 高等数学学习手册 355页 附录A 4 4节 极坐标有极坐标知识和若干常用图形的极坐标方程 或见教材345页 听说中学已经将极坐标的内容砍掉了 听到这个消息我们大学老师感到很悲哀 很难过 也很无奈 这可是一个严重的错误 必须立即纠正 没有极坐标 我们将失去很多漂亮的 曲线 注意 教材用的是 直角坐标与极坐标的关系 直角坐标 极坐标 圆 直角坐标 极坐标 圆 或 直角坐标 极坐标 圆 或 其他用极坐标表示的图形见 高等数学学习手册 355页 表A 4 4或教材345 346页 用微元法导出面积微元dA 曲边扇形的面积 详细的面积计算公式 极坐标 见 高等数学学习手册 163页 表6 1 2 例