5.2数学中的变换方法.ppt

所谓数学变换方法 就是在研究和解决数学问题时采取迂徊手段来达到目的的一种方法 也就是把将要解决的问题先进行变换 使之转化 具体地讲 将复杂的问题通过变换转化成简单的问题 将繁难的问题通过变换转化成容易的问题 将未解决的问题通过变换转化成已解决的问题 利用变换转化的方法解决数学问题是常用的一种最基本的方法 所以它是数学思维方法的一个组成部分 因此 作为数学工作者必须善于灵活机动地运用数学变换方法 5 2变换方法 5 2变换方法 数学学科的主要特征是高度的抽象性和形式化 那么 如何揭示和把握这种抽象形式结构的规律性呢 辩证法告诉我们 任何事物都不是孤立的 静止和一成不变的 而是在不断的发展变化 因此 作为一个数学系统或数学结构 其组成要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的 这就是数学变换方法的哲学思想基础 数学家们也正是利用这种可变的规律性 强化自身在解决数学问题中的应变能力 不断地提高自己解决数学问题的思维能力和技能 技巧 5 2变换方法 数学变换方法的主要特点是灵活性 多样性 具体地讲 对同一个数学结构 其形变并非唯一 而是多种多样 因此 如果运用数学变换方法解决有关数学问题 就没有一个统一的格调和模式 尽管如此 单从其解决问题的逻辑结构框架来看 却有其相同或相似之处 正因为如此 所以在介绍变换方法解决具体问题之前 有必要先指出它们的共性 即它们都具有相同的思路结构框图 5 2变换方法 问题R 问题R R的解答 R 的解答 变换 5 2变换方法 首先讲到的是恒等变形 这是最常用的方法 所谓 恒等 其意思是不要变 所谓 变形 当然又是要求变 在这里 变的要求是主要方面 要化归就必须变 但变化时又必须遵守一定规则 在这里是要求 恒等 也就说恒等变形是要求变要在 不变 的前提下进行 数学中的很多公式从本质上讲 只不过是一种恒等变形 所以恒等变形在数学中的地位是十分重要的 5 2变换方法 例1 已知lg2 0 3010 不查表 求出lg5 分析 已知者lg2 未知者lg5 仅依靠一个已知的lg2 0 3010怎么求出lg5呢 当然还得寻求已知的东西 事实上 我们还知道lg10 1 lg100 2 lg1 0 但对我们有用的 可能就是lg10 1了 因为 这里 关键在把5变形为 并利用了lg10 1的这一隐含的已知条件 这是一个再简单不过的例子 但它说明要会变 在变中将未知的东西化归为已知的东西 5 2变换方法 还有一个有趣的事实在是上面利用了lg10 1 1 在数系中占有重要地位 作为数系里的元素 它是单位元 因此便产生了许多关于 1 的恒等式 因此 在解题中 有时利用这些 1 的恒等式 往往能起到事半功倍之效 例如 求 我们利用 则有 例2设 求证 在数学中我们常利用变量替换 换元 增量替换等方法解题 关键在于根据问题的结构特征 适当选取能够以简驭繁 化难为易的变换 以实现问题的化归 5 2变换方法 于是 令 5 2变换方法 5 2变换方法 例2中所用到的变换方法是一种增量变换方法 所谓增量变换是指 对于任意两个实数a b 总存在实数d 使得a b d 实数d称为增量 增量变换在解决许多数学问题中常能发挥奇妙的作用 例如 在一个数学问题中 若存在有多种形式的变量时 我们常选用一个能沟通各变量的所谓 标准量 作为增量 把各种形式的变量都用标准量和另外取定的辅助量表示出来 从而使各变量之间的关系更加明确 使问题更加简化 5 2变换方法 例3 解方程 分析 换元 所以 方程化简为 5 2变换方法 在解决某些数学问题时 我们常根据需要 有时把常量用一个字母或函数表示 暂且把常量看作变量 然后 通过研究变动的 一般状态来考察不变的 特殊的情形 这种变换称为 常量变换 这种处理方法有时会受到奇效 下面的例4就是运用到了常量变换方法 使问题中的各变量间的数量特征更加明确 并获得问题的解 5 2变换方法 例4解方程 由于x 0 解上述方程得 于是有 分析 解这个关于x的三次方程较困难 但注意到系数的特点 我们不妨把3看作未知数 即设t 则得到关于t的二次方程 5 2变换方法 例5 求 的值 解 作自身变换 两边平方 得 5 2变换方法 例5中用到了一种自身换元法 这种方法的基本思想是 把所给的问题整个地用一个未知元来代替 并进行适当的运算 从而得出未知元的数值 或用求方程的根的方法求值 例6 求证 分析 本题若将左端展开 将得到关于x的四次函数 不易讨论函数值的范围 注意到求证式左端的结构特征 我们设 那么左端就化为关于y的二次函数 问题就好解决了 5 2变换方法 由此可知在y 5或y 3时 左端恒大于零 又 即对任意数x 都有y 2 这就证明了原不等式 5 2变换方法 由以上这些具体例子可以看出 利用各种变换法解题 一方面要分析问题的结构特征 对已知条件作适当的变形 另一方面要善于发现问题中的特殊条件 结构特征 挖掘问题中所隐含的特殊关系 以便于由这些特殊条件提出各种可能的代换 这样可在作出这些代换后减少变量的个数 降低次数 使问题结构简单 常收到出人意料的效果 5 2变换方法 其次我们来讲参数变易法 辩证唯物论肯定事物之间的联系是无穷的 联系的方式是丰富多彩的 有明有暗 有显有隐 科学的任务就是要揭示事物之间的联系 从而发现事物的变化规律 参数常存在于所研究的问题中 它虽不是直接的研究对象 但参数的作用是刻画事物的变化状态 揭示变化因素之间的内在联系 在解决数学问题时 引进了参数就能表现出较大的能动作用和活力 利用参数可沟通问题中各个量之间的内在联系 或改变数量关系的结构 或利用参数求出所需确定的常数和变量 在表现形式上即是将待解决的问题化归为参数问题加以解决 5 2变换方法 例7 在单位正方形的内接正三角形中 找出一个面积最大的与一个面积最小的 并求出这两个面积 分析 如图9 2 单位正方形ABCD的内接正三角形EFG必有两个顶点落在对边 不妨设是在AB CD两边上 由于正三角形的面积由边长唯一确定 所以我们只要在所有的内接正三角形中 找出一个边长最大的与一个边长最小的即可 5 2变换方法 注意到 EFG的边长大小是随FG与AB的交角而变动 所以我们可考虑以 GFB的大小为参数 即令 GFB 因为 GFB为钝角时 FGC将为锐角 故由对称性可只讨论 90 的情况 为了把与FG联系起来 我们作GH AB于H 于是有 5 2变换方法 当G与C重合时 正三角形EFG的面积最大 此时 即随的增大 或减小 边FG减小 或增大 由此易知 当F与H重合时 正三角形EFG的面积最小 此时 5 2变换方法 此例解决问题的基本方法是引入必要的参数 利用参数与已知量及所求量之间的关系列式 通过讨论参数的变化而求得原问题的解 在此 参数对我们解题所要达到的目的起着桥梁作用 引入参数则是我们试图达到目的的一种手段 5 2变换方法 分析 原方程是一个偶次倒数方程 可化为 5 2变换方法 由x 0 u 2可知方程 2 至少有一个不小于2的根 设方程 2 不小于2的实根为 5 2变换方法 5 2变换方法 这组不等式的解集是图9 3中有斜纹线的平面区域D 所以d是D内 包括边界 的点与原点的距离 这些距离中的最小值是边界2a b 2 0与原点的距离 5 2变换方法 由上式容易联想到线段的斜率的表示式 于是我们进一步把上式化为 则u表示点Q t 3t 和点P 2 1 的连线的斜率 而Q t 3t 是线段y 3x 1 x 1 上的点 5 2变换方法 由图9 4容易看出 当点Q分别位于线段的端点A 1 3 B 1 3 时 u取得最小值与最大值 即 这里我们通过引入参数使函数的表达式简化 再借助几何图象求得了函数的最值 5 2变换方法 例10计算 解 令 5 2变换方法 以上几例所解决的问题各异 而解决问题的基本方法是一致的 即引入必要的参数 利用参数刻划过程的变化状态 以参数为媒介揭示变量之间的内在联系 从而达到将复杂而困难的问题 化归为简单且容易的问题的目的 应用参数变量法的关键在于恰当地选取参数 只有参数引入得好 问题才能迎刃而解 收到事半功倍的效果 5 2变换方法 最后我们来讲几何变换法1872年德国数学家克莱因 F Klein 提出了著名的变换群理论 他认为 每一种几何应该有一个主变换群 图形在该变换群的变换下的不变性与不变量 就是几何所研究的对象 这就为几何研究的目标 对象提出了一个新颖的观点 所谓几何变换法是指将在某一关系结构中的问题变换到另一关系结构中去研究的一种化归方法 这种化归是通过几何图形在某一变换下的不变量或不变性来实现的 下面我们先简单地介绍有关几何变换的基本知识 5 2变换方法 变换群 在由一类变换组成的集合中 若变换符合以下三个条件 3 可逆性 若 则 1 封闭性 若 则 则称为变换群 初等变换 合同变换 保距变换 相似变换 保形变换 指初等几何所涉及的主要变换 2 G中有单位变换 若 则 5 2变换方法 合同变换有 反射 平移 旋转等 1 反射变换 设是一条定直线 为任意一点 自作 于 并延长至 使得 则称是点关于轴的反射点 而称为反射轴 5 2变换方法 2 平移变换 设 自上一点作于 记则称顺次以为轴的反射之积为相应于的平移 5 2变换方法 3 旋转变换 设与相交于 且由转向的有向角计为即 则称依次以为轴的反射之积为以为中心 旋转角为的旋转 5 2变换方法 3 旋转变换 设与相交于 且由转向的有向角计为即 则称依次以为轴的反射之积为以为中心 旋转角为的旋转 不同中心的两个旋转之积 则视旋转角之和而定 即有 旋转之积 不同中心 仍是一个旋转当时 是一个平移当时 旋转角为的旋转称为中心对称 5 2变换方法 5 2变换方法 5 2变换方法 合同变换具有保距 保角等性质 而相似变换仅具有保角等性质 位似变换也是一种相似变换 即 设为定点 是不为零的常数 为任一点 在直线上 若满足 则称此变换为位似变换 5 2变换方法 例11 在平行四边形ABCD中有一点P 使 PAD PCD 求证 PBC PDC 如图5 5 分析 作平移变换T 使 ABP DCH 则 PH AD BC PH AD BC 故APHD和BPHC均为平行四边形 于是 PHD PAD PCD 从而知P C H D四点共圆 所以 PDC PHC PBC 5 2变换方法 例12 如图5 6 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF 连CF和ED交AB于P Q两点 求证 M是PQ的中点 分析 由于圆是轴对称图形 欲证M平分PQ 关健在于证明P Q关于OM对称 因此考虑点C关于OM的对称点C 于是可由轴反射变换下的不变性和不变量分析得出证明的思路 5 2变换方法 首先证明M Q E C 四点共圆 再证 MPC MQC 从而证得PM MQ 只须证 5 2变换方法 首先证明M Q E C 四点共圆 再证 MPC MQC 从而证得PM MQ 例13 试证 三角形的三边中点 三垂足 三个顶点到垂心连线的中点 九点共圆 分析 如图5 7 设H为 ABC的垂心 S T L是各顶点到垂心连线的中点 5 2变换方法 例13 试证 三角形的三边中点 三垂足 三个顶点到垂心连线的中点 九点共圆 分析 如图5 7 设H为 ABC的垂心 S T L是各顶点到垂心连线的中点 欲证的九点圆可由S T L决定 由此可知 这九点圆与 ABC的外接圆O位似 建立了以H为位似中心 2为位似系数的位似变换 要证九点共圆 我们只须证下面两点 5 2变换方法 1 设AH交BC于N 并延长AH交圆O于H 往证H 点即为N点的位似变换像 即证HN NH 事实上 因AH BC CH AB 则有 BCH H AB H CB 故有HN NH 2 连HM M为BC的中点 延长HM至A 使HM MA 往证 A 点即为 M点的位似变换像 即证A 在圆O上 这是因为所以 5 2变换方法 事实上 因为BM MC 所以BA CH是平行四边形 有A C BH 又 ACA 90 从而 ABA 90 故A 在圆O上 根据 1 2 即知 ABC的三个垂足 三边中点都在S T L决定的图上 即九点共园 5 2变换方法 例14 ABC为正三角形 P为形内一点 且PA a PB b PC c 试用a b c表示 ABC的面积 图5 8 分析 将 APC绕A点旋转60 至 AP B的位置 则 APP 为正三角形 5 2变换方法 例14 ABC为正三角形 P为形内一点 且PA a PB b PC c 试用a b c表示 ABC的面积 图5 8 分析 将 APC绕A点旋转60 至 AP B的位置 则 APP 为正三角形 得 这里 5 2变换方法 同理 将这三式相加得 5 2变换方法 例15 以任意四边形ABCD的各边为斜边 分别向形外作等腰直角三角形ABE BCF DCG DAH 证 如图5 9 因为EA EB AEB 90 FB FC BFC 90 作旋转变换 使 R E 90 R F 90 R O 180 其中O为AC的中点 A B C A 5 2变换方法 且R E 90 R F 90 R O 180 I 其中I为恒等变换 则由旋转变换的有关性质知 EOF为等腰直角三角形 且 EOF 90 5 2变换方法 且R E 90 R F 90 R O 180 I 其中I为恒等变换 则由旋转变换的有关性质知 EOF为等腰直角三角形 且 EOF 90 同理 GOH为等腰直角三角形 且 GOH 90 我们再作变换R O 90 使 EOG FOH R O 90 EG FH 旋转变换下 对应线段相等 EG FH 旋转变换下 对应直线所成的角等于旋转角 5 2变换方法 例16 设E F各是正方形ABCD的边BC CD上的点 且 EAF 45 过A作AG EF与G 求证 AG AB 如图5 10 分析 若将 ADF绕A点顺时针旋转90 则D B DF沿CB延长线落下至H 即 ABH D 90 又 HAE HAB BAE DAF BAE 90 EAF 45 5 2变换方法 且AH AF 故以AE为轴将 AHE反射至AE另一侧必与 AFE重合 其对边上的高AB与AG也必重合 即AB AG 5 2变换方法 且AH AF 故以AE为轴将 AHE反射至AE另一侧必与 AFE重合 其对边上的高AB与AG也必重合 即AB AG 从以上例题可以看出 对于一个具体问题如何选用合适的几何变换 这只能根据题设条件和解题需要而定 需要我们运用几何变换思想和方法 去全面观察和探究问题的特征 并运用变换后的新关系和几何变换的不变性去解决原问题 因此运用几何变换方法解题 实质上是利用几何变换这一方法来探索化归解题的目标和方向 5 2变换方法 下面我们将通过一例用几何变换的观点分析辅助线的发现过程 例17 设ABCD为圆内接四边形 求证 AB CD AD BC AC BD 分析 这是著名的托勒梅定理 一般证明是直接作辅助线AE 然后通过相似三角形来证明 E 因为求证式中有一项AB CD 一般应考虑含有AB和CD的两个三角形是否相似 5 2变换方法 虽有 ABP CDP 但AB和CD是对应边 故得不出它们的乘积式 它们所在的另一对 ABD与 ACD一般并不相似 但有 ABD ACD 5 2变换方法 虽有 ABP CDP 但AB和CD是对应边 故得不出它们的乘积式 它们所在的另一对 ABD与 ACD一般并不相似 但有 ABD ACD 若以A为中心将 ACD旋转至 AC D 的位置 使AC落在AB或其延长线上 角的另一边与BD交于E 这样 AC D ACD ABD 于是 BE D C AC D 与 ABE是位似形 5 2变换方法 这就是说 连续利用旋转变换和位似变换 能使 ACD ABE 即 ACD ABE 5 2变换方法 这就是说 连续利用旋转变换和位似变换 能使 ACD ABE 即 ACD ABE 同样分析 连续利用旋转变换和位似变换 能使 ABC AED 即 ABC AED 1 2 结论获证 5 2变换方法 显然 这样利用几何变换的观点和方法来研究图形之间的关系 可使辅助线的添作显