复变函数和积分变换在电子信息工程中的应用.doc

复变函数和积分变换在电子信息工程专业中的应用专业： 电子信息工程 班级： 姓名： 摘要：在信号与系统的理论研究中，复变函数与积分变换是一种重要数学工具，利用拉普拉斯变换和z变换可把信号与系统中的数学模型转化成简单的代数方程而使其求解过程简化，本文主要从分析连续信号、离散信号，从其零输入响应、零状态响应、完全响应方面着手，并通过专业中常用的经典方法进行比较，时域分析，频域分析，复频域分析方法比经典的常规方法更明了，简洁，规范。得出在本专业学习中，复变函数与积分变换是一个不可缺少的有力教学工具。 关键词：拉普拉斯变换 z变换 信号与系统正文：1拉氏变换在电子信息工程专业的应用经典解题方法和拉斯变换方法都能解决连续信号中的问题，两者有什么不同，哪种方法要好一点呢?我们通过对以下题目用不同的方法求解来进行比较1. 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。解:经典方法(1) 求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)特征方程为 特征根为 齐次解 t0 (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t)由输入x(t)的形式，设方程的特解为yp(t) = Ce-t t0将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。(3) 求方程的全解 解得 A=5/2，B= -11/6拉氏变换方法2.已知某线性时不变系统的动态方程式为:y (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。解:经典方法系统的特征方程为 系统的特征根为 y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3解得 K1= 6，K2= -5拉氏变换方法3.已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+4y (t) +4y (t) = 2x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 2，y(0-) = -1，求系统的零输入响应yzi(t)。解: 经典方法系统的特征方程为 系统的特征根为 （两相等实根y(0-)=yzi(0-)=K1=1;y(0-)= y zi(0-)= -2K1+K2 =3 解得 K1 = 2, K2= 3拉氏变换方法4.已知某线性时不变系统的动态方程式为： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。解: 经典方法系统的特征方程为 系统的特征根为 y(0-)=yzi(0-)=K1=1y (0-)= y zi(0-)= -K1+2K2 =3解得 K1= 1，K2= 2拉氏变换方法5.已知某LTI系统的动态方程式为：y(t) + 3y(t) = 2x(t)系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yzs(t)。解： 拉氏变换解法6.已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应。解：经典方法当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即动态方程式的特征根s = -3, 且nm, 故h(t)的形式为解得A=2 拉氏变换解法7.已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应。解：经典解法当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即动态方程式的特征根s = -6, 且n=m, 故h(t)的形式为解得A= -16, B =3 拉氏变换解法分析：由例题可以看出经典方法可和拉氏变换方法都能解决连续信号系统的零输入响应、零状态响应、完全响应及冲激响应方面的问题。经典方法做题，思路比较简单，容易想出方法，但是计算比较繁琐，容易出错。用拉氏变换方法思路上稍显麻烦，但是计算要简单得多，减少了错误发生的概率。如果微分方程右边激励项较复杂，用经典方法就难以处理，用拉氏变换方法将数学模型转化为代数式，做起来就显得容易很多，既明了又简洁。如果激励信号发生变化，用经典方法做，就需要全部重新求解，相对与拉氏变换就麻烦的多。如果初始信号发生变化，用经典方法做题也要全部重新求解，相当复杂。经典方法是一种纯数学的方法，无法突出系统响应的物力概念。拉氏变换相对的能够突出系统响应的物理概念。具体用那种方法做题，还得依题而论，如果题目比较简单，激励信号不发生变化，初始条件不发生变化，就用经典方法做题，因为经典方法思路比较简单，方法比较好想，减少了做题的时间。如果题目比较复杂，或者激励信号，初始条件发生变化，就用拉氏变换方法，做题步骤简单，节省时间，又减少了错误发生的概率。2.z变换在电子信息工程专业中的应用经典解题方法和z变换方法均能解决离散信号中的问题，两者有什么优缺点呢？我们通过以下问题进行论证1.已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+3yk-1+2yk-2=xk系统的初始状态为y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yzik 。解： 经典解法系统的特征方程为 系统的特征根为 解得 C1=1，C2= -2Z变换解法2. 若描述某离散系统的差分方程为:已知 求系统的零状态响应yzs k。解：经典解法Z变换解法3. 描述某离散因果LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应hk。解：经典解法hk满足方程 2) 求差分方程的齐次解特征方程为 特征根为 齐次解的表达式为 代入初始条件，有解得 C1=-1，C2= 2hk满足方程 z变换解法分析：由例题可以看出经典方法可和z变换方法都能解决离散信号系统的零输入响应、零状态响应、完全响应及冲激响应，经典方法比较容易的就能得到做题思路，在比较简单的题目上，经典方法看似比较简单，但是如果题目比较复杂，例如二阶电路分析，或者初始条件，输入信号发生改变，用经典方法做起来就要复杂的多，做题过程相当繁琐，很容易出现计算式上的错误，此时用z变化做简单多了，想好做题思路后，过程相当简洁，步骤简单，减少了计算上错误的发生率又节省了时间。就算在简单的离散信号分析题目上，z变换也不比经典方法复杂多少，所以应该加强z变换方面的练习，尽量用z变换方法做题。总结：用复变函数与积分变换中的拉氏变换和z变换能够很好的解决信号与系统中的问题可把信号与系统中的数学模型转化成简单的代数方程，这样一来就简化了计算过程，减少了错误发生率，节省了大量的时间。在连续信号、离散信号，从其零输入响应、零状态响应、完全响应方面，都可以通过专业中常用的经典方法和复变函数与积分变换中的拉氏变换和z变换做出。但很明显拉氏变换和z变换的方法要比经典方法简单得多。时域分析，频域分析，复频域分析方法比经典的常规方法更明了，简洁，规范。就算在电路中，也有很多可以运用复变函数与积分变换中的拉斯变换和z变换解决的很多问题，有线性元件（RLC等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。当微分方程的阶数大于2或者输入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了。拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数，即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解，减少了错误发生的概率，节省了时间。因此，得出在本专业学习中，复变函数与积分变换是一个简化做题过程的一个重要途径，是一个不可缺少的有力教学工具参考文献：信号与系统 高等教育出版社 2007年12月 主编：陈后金 复变函数 高等教育出版社 1996年5月 主编：西安交通大学数学教研室 积分变换 高等教育出版社 2003年12月 主编：东南大学教学系 电路 高等教育出版社 2009年7月 主编：邱关原 高等数学高等教育出版社 2007年6月 主编：同济大学数学系后记：看到这篇论文的完成，心中充满的不是骄傲与自豪，而是感谢。首先要感谢要感谢秦老师，是他谆谆教导将我带到了知识的海洋，是他的独特讲解将我从复变函数与积分变换的一无所知带到豁然开朗，是他的诙谐与幽默让我对一门本来很枯燥的课程充满兴趣。在写论文时又是秦老师给了我无私的帮助与建议，启发我的灵感，坚定我的信心，没有秦老师的帮助就不可能完成这篇论文。然后还得感谢同学们，当我遇到不懂的问题，总有同学们舍弃