第二章第8讲函数方程.DOC

第8讲函数方程1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根做一做1已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析：因为函数f(x)x2xa在(0,1)上有零点，0，所以f(0)f(1)0，即a(a2)0，解得2a0.答案：(2,0)2二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法做一做2用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)解析：由f(2)f(3)0可知x0(2,3)答案：(2,3)1必明辨的2个易错点(1)函数的零点不是点(2)f(a)f(b)0是f(x)在(a，b)内存在零点的一个充分不必要条件练一练1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_解析：因为2ab0，所以g(x)2ax2axax(2x1)所以零点为0和.答案：0，2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间_内(区间端点用a，b，c或，表示)解析：因为f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，所以f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，因为ab0，f(b)0，所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内答案：(a，b)和(b，c)2常用的2个结论对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号练一练3已知函数f(x)ln xx2有一个零点所在的区间为(k，k1)(kN*)，则k的值为_解析：由题意知，当x1时，f(x)单调递减又因为f(3)ln 310，f(4)ln 420，所以，该函数的零点在区间(3,4)内，所以k3.答案：33必会的1种方法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点练一练4已知a2，则函数f(x)|x|2的零点个数为_解析：在同一坐标系中分别作出y及y2|x|的图象，得两个函数图象共有4个交点，所以函数f(x)的零点个数是4.答案：4考点一函数零点的判断判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3解(1)法一：因为f(1)123118200，所以f(1)f(8)log2210，f(3)log253log2830，所以f(1)f(3)0，故f(x)log2(x2)x，x1,3存在零点法二：设ylog2(x2)，yx，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1x3时，两图象有一个交点，因此f(x)log2(x2)x，x1,3存在零点方法归纳求解函数的零点存在性问题常用的方法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象，值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件(1)函数f(x)xx的零点的个数为_个(2)已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数是_解析(1)在同一平面直角坐标系内作出y1x与y2x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)xx只有1个零点(2)由f(f(x)10可得f(f(x)1，又由f(2)f1.可得f(x)2或f(x).若f(x)2，则x3或x；若f(x)，则x或x，综上可得函数yf(f(x)1有4个零点答案(1)1(2)4方法归纳 判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数1.函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为_个解析：令xcos x20，则x0，或x2k，又x0,4，因此xk (k0,1,2,3,4)，共有6个零点答案：6考点二二次函数零点的分布(高频考点)学生用书P32已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得即m.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组即2.(2)由已知条件解得 2a.(3)由已知条件f(2)2.(4)由已知条件f(1)f(3)0，解得a3.检验：当f(3)0，即a时，方程的两解为x，x3，当f(1)0，即a3时，方程的两解为x1，x5，可知a3.当a2.即a2时f(x)x24x4(x2)2，方程的解x1x22，所以a2，综上有a2或a3.考点三函数零点的应用(1)已知函数f(x)exxa有零点，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)x，若在区间1,3上函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围是_解析(1)因为f(x)exxa，所以f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是增函数故f(x)minf(0)1a.若函数f(x)有零点，则f(x)min0，即1a0，得a1.(2)由f(x1)f(x1)得，f(x2)f(x)，则f(x)是周期为2的函数因为f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)x，所以当x1,0时，f(x)x，易得当x1,2时，f(x)x2，当x2,3时，f(x)x2. 在区间1,3上函数g(x)f(x)kxk有4个零点，即函数yf(x)与ykxk的图象在区间1,3上有4个不同的交点作出函数yf(x)与ykxk的图象如图所示，结合图形易知，k.答案(1)(，1 (2)方法归纳已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解3.函数f(x)ln x2xa有零点，则a的取值范围是_解析：因为f(x)ln x2xa，所以f(x)2.令f(x)0，得x.当0时，f(x)0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正实根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.即实数a的取值范围是(，22方法思想数形结合思想在零点问题中的应用已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析当x2时，f(x)3(x1)20，说明函数在(，2)上单调递增，函数的值域是(，1)，又函数在2，)上单调递减，函数的值域是(0,1方程f(x)k有两个不同的实根，转化为函数yf(x)和yk有两个不同的交点，如图所示，当0k1时直线yk与函数f(x)图象有两个交点，即方程f(x)k有两个不同的实根答案(0,1)已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)法一：因为g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点法二：作出g(x)x(x0)的大致图象如图(1)可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象如图(2)因为f(x)x22exm1(xe)2m1e2.所以其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根所以m的取值范围是(e22e1，)感悟提高解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题本题是将不易直接解决的问题转化成两个熟悉的函数图象的交点问题，从而可利用图象求之5.设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)(其中nN)，则n_.解析：令g(x)x322x，易知g(x)为增函数可求g(1)0，g(2)0，所以函数g(x)的零点所在区间为(1,2)，则n1.答案：16(1)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数a的值；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解：(1)若a0，则f(x)x1，令f(x)0，即x10，得x1，故符合题意；若a0，则f(x)ax2x1是二次函数，故有且仅有一个零点等价于14a0，解得a.综上所述，a0或a.(2)若f(x)|4xx2|a有4个零点，即|4xx2|a0有四个根，即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)，h(x)的图象，由图象可知如果要使|4xx2|a有四个根， 那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点故需满足0a4，即4a0.所以实数a的取值范围是(4,0)1若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_解析：由得所以g(x)6x25x1的零点为，.答案：，2函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确到0.1)为_解析：因为f(1.406 5)f(1.438)0，所以方程x3x22x20的一个近似根(精确到0.1)为1.4.答案：1.43用二分法求方程x22的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果我们选取初始区间1.4,1.5，则要达到精度要求至少需要计算的次数是_解析：设至少需要计算n次，由题意知100，由2664,27128知n7.答案：74已知函数f(x)则函数f(x)的零点为_解析：当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.答案：05函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_解析：由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解之得0a0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是0a1.答案：(0,17已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_解析：令x2x0，即2xx，设y2x，yx；令xln x0，即ln xx，设yln x，yx.在同一坐标系内画出y2x，yln x，yx的图象，如图：x10x21，所以x1x2x3.答案：x1x20时，g(x)2x20有惟一解x1；当x0时，g(x)x2x1，令g(x)0，得x2(舍去)或x，即g(x)0有惟一解综上可知，g(x)f(x)x有2个零点答案：210若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点个数是_解析：依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点个数是8. 答案：811已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x，因为g(0)，gf，所以g(0)g0，则应有f(2)0，又因为f(2)22(m1)21，所以m.若f(x)0在区间0,2上有两解，则所以所以所以m1.由可知m的取值范围(，11已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_解析：因为(1k)24k(1k)20对一