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文档简介
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标: 1、知识与技能:(1)理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义; (2)掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;(3)理解平面向量的数量积与向量投影的关系;(4)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法 (1)在学习和运用向量的数量积的过程中,进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系,认识事物的统一性,并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法;(2)培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神,培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。(3)通过对向量的数量积的探究、交流、总结,从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用,不断从感性认识提高到理性认识,。3、情态与价值观(1)通过用向量数量积解决问题的思想的学习,使学生加深认识数学知识之间的联系,体会数学知识抽象性、概括性和应用性,培养起学生学习数学的兴趣,形成学数学、用数学的思维和意识,培养学好数学的信心,为远大的志向而不懈奋斗。(2)通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索,不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,并提高参与意识和合作精神; 教学重点:平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点:平面向量的数量积与向量投影的关系; 运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学过程:一、情景导入、引出新课1、提出问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么 ?期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?期望学生回答:物理模型概念性质运算律应用3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量数量积的物理背景及其含义 二、合作探究,精讲点拨探究一:数量积的概念SF1、给出有关材料并提出问题3:(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S,那么力F所做的功:W= |F| |S| cos。 (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空:W(功)是 量,F(力)是 量,S(位移)是 量,是 。(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义(1) 数量积的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量 bcos叫做与的数量积(或内积),记作:,即:= cos(2)定义说明:记法“”中间的“ ”不可以省略,也不可以用“ ”代替。 “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。(3)提出问题4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些? 期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量与的模有关,还和它们的夹角有关。(4)学生讨论,并完成下表:的范围090=900180的符号(5)探究题组一 :已知,当,与的夹角是60时,分别求.解:当时,若与同向,则它们的夹角,cos036118;若与反向,则它们的夹角180,cos18036(-1)18;当时,它们的夹角90,;当与的夹角是60时,有cos60369评述: 两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是0,180,因此,当时,有0或180两种可能. 探究二:研究数量积的几何意义1.给出向量投影的概念:如图,我们把cos(cos)叫做向量在方向上(在方向上)的投影,记做:OB1=cos注:投影也是一个数量,不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q = 0时投影为 |b|;当q = 180时投影为 -|b|.2.提出问题5:数量积的几何意义是什么?期望学生回答:数量积等于的长度与在的方向上的投影cos 的乘积。探究三:探究数量积的运算性质1、数量积的性质性质:若和均为非零向量 (1)0 (垂直) (2)与同向时, =,与 反向 时, =- 特别地:=2 = (长度)(3)cos=(夹角)(4) (注意等号成立的条件)2、探究题组二(师生共同完成)已知=6,=4, 与的夹角为60,求(+2 )(-3),并思考此运算过程类似于实数哪种运算?解:(+2 )(-3)=.-3.+2.-6. =36-3460.5-644 = -72评述:可以和实数做类比记忆数量积的运算律变式:(1)(+)2=2+2+2 (2)(+ )(-)= 22 探究四、数量积的运算律: (1)交换律: ; (2)对数乘的结合律: ; (3)分配律: 注意:数量积不满足结合律和消去律,即:(1) (2)_探究题组3:解: 三、思悟小结:知识线:(1)平面向量的数量积;(2)平面向量的数量积的几何意义;(3)平面向量数量积的重要性质及运算律;(4)平面向量的数量积与向量投影的关系。思想方法线:(1)公式或定义法;(2)数形结合、分类讨论
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