固定收益证券塔克曼第二章PPT课件.pptx

即期利率 远期利率和平价利率 王玉婷 本章主要内容 介绍即期利率 远期利率和平价利率的定义即期利率 远期利率和平价利率与贴现因子之间的关系即期利率 远期利率和平价利率之间的关系 2 2020年1月27日 添加页脚 本章采用案例 全球互换市场 16章重要结论 互换市场隐含的利率可以合理地按照以下方法导出 将互换的固定支付部分看作是附息债券 将浮动部分看作价值为面值的浮动利率债券 3 2020年1月27日 添加页脚 2 1单利和复利 第一章我们学习了用价格和现金流完整的描述一项投资 a 今天成本为101 980的债券 在6个月之后支付103 b 1亿美元1 5年期的远期贷款 6个月后开始 会在两年后支付103797070美元 4 2020年1月27日 添加页脚 但是在现实生活中 投资者和交易员往往喜欢以利率的形式进行报价和思考 以上两种交易一般表达为 a 今天成本为101 980的债券 年利率为2 b 1亿美元1 5年期的远期贷款 6个月后开始 年利率为2 5 用利率描述的好处 将投资收益标准化2 将投资期限标准化 5 2020年1月27日 添加页脚 第一种计息惯例 单利计息利息 本金 年度报价利率 投资年数本章采用半年期的计息方式a 今天成本为101 980的债券 年利率为2 投资6个月投资6个月的债券价格 101 98 101 98 2 2 101 98 1 2 2 103 6 2020年1月27日 添加页脚 第二种计息惯例 半年复利b 1亿美元1 5年期的远期贷款 6个月后开始 年利率为2 5 第一个6个月单利收益 100000000 1 2 5 2 101250000将上式总金额在随后的6个月中再投资 101250000 1 2 5 2 100000000 1 2 5 22 102515625 7 2020年1月27日 添加页脚 注意 本金如果进行单利计息 那么投资一年的收益为100000000 1 2 5 102500000 与一年复利计息的差额为15625 这正好就是利息的利息 具体地说就是1250000 2 5 2 15625 在第三个半年后 总收益为 102515625 1 2 5 2 100000000 1 2 5 23 103797070 8 2020年1月27日 添加页脚 投资面值为F 半年付利一次 复利利率为 债券在T年年末的价值为 本节所讨论的框架都是基于半年复利一次的传统 因为常见的附息债券和利率互换固定利率都是半年支付一次 9 2020年1月27日 添加页脚 第三种计息惯例 连续复利 附录2A 半年复利假设一年付息两次 而且说明了以利率 投资的一单位货币T年后收益为1 22 类似的 以年利率 月利率 日利率 分别投资T年后收益为1 1 1212 1 365365 10 2020年1月27日 添加页脚 更一般的 如果利率为 利息每年支付n次 T年后的收益将为 1 在连续复利的情况下 利息是每一瞬间都支付的 使得终值1 等于n趋近于无穷大时的极限 因此 假如每瞬间以利率r支付 投资一单位货币T年后的收益为 等价的 T年后收到的一单位货币的价值为 11 2020年1月27日 添加页脚 2 2由利率互换提取贴现因子互换是两个或两个以上当事人按照商定条件 在约定的时间内 交换一系列现金流的金融交易 它是一种金融衍生工具 可以分为利率互换 货币互换 股权互换 信用互换等 12 2020年1月27日 添加页脚 利率互换是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义本金交换现金流 其中一方的现金流根据浮动利率计算 而另一方的现金流根据固定利率计算 双方进行利率互换的主要原因是双方在固定利率和浮动利率市场上具有比较优势 13 2020年1月27日 添加页脚 例题 假定A B公司都想借入5年期的1000万美元的借款 A想借入与6个月期相关的浮动利率借款 B想借入固定利率借款 但两家公司信用等级不同 故市场向他们提供的利率也不同 如下表 请问A和B进行互换的条件是否存在 14 2020年1月27日 添加页脚 2010年5月28日 双方协议签订下列条款的利率互换 在接下来的第2个工作日当天 即2010年6月2日 A方同意向B方支付固定利率1 235 名义金额为1美元 两年后到期 同时B方同意对同样数额的名义本金按3月期LIBOR支付A方现金流 如图2 1 15 2020年1月27日 添加页脚 在这个例子中 交易的一亿美元是互换的名义本金 而不是面值或本金金额 因为它只是用来计算固定利率和浮动利率的支付金额 交易双方都没有支付或者收取这一亿美元 A方支付固定利息并接收浮动利息 固定支付为1 235 2 100000000 617500美元 B方接收固定利息并支付浮动利息 按季度支付浮动利息 16 2020年1月27日 添加页脚 关于这个假设性的支付有三点需要指出 1 由于它们相互抵消 虚构的支付对互换的价值没有影响 2 在固定利率上添加虚构的名义金额使互换看上去像一个附息债券 即一个半年付息 固定利率 到期偿还本金的证券 3 在浮动利率上添加虚构的名义金额使浮动现金流看上去像一个浮动利率债券 即一个半年付息 浮动利率 到期偿还本金的债券 17 2020年1月27日 添加页脚 第16章介绍了浮动利率互换的估值方法 浮动利率现金流加上面值的现值等于其面值 在本例中为到期日的1亿美元 18 2020年1月27日 添加页脚 那么如何在利率互换中导出贴现因子呢 表2 1中显示了2010年5月28日一些短期美元利率互换的数据 第二列给出了互换市场交易的报价和观察到的利率 这表明 交易双方都愿意以固定利率0 875 交换3个月期LIBOR一年 以固定利率1 043 交换3个月LIBOR1 5年等等 19 2020年1月27日 添加页脚 对每一个 债券 写一个等式 现金流的现值等于面值 即100 0 7052 0 5 1000 8752d0 5 100 0 8752 1 100表2 1的第四列和第五列关于即期和远期利率的推导以及这些利率之间的关系 是接下来讨论的重点 20 2020年1月27日 添加页脚 2 3即期利率 远期利率和平价利率的定义2 3 1即期利率即期利率是即期贷款的利率 即期贷款是贷款人在签订协议当时立即提供资金给借款人并规定未来某个确定的偿还日期的协议 将半年复利的t年即期利率定义为 则根据半年复利公式 现在投资一单位的货币t年将产生收益 1 22 2 8 21 2020年1月27日 添加页脚 将即期利率和贴现因子结合在一起 注意假如1美元t年后增长到式 2 8 中的数量 那么这个数值的现值为1美元 结合贴现因子计算这个数值的现值 1 22 d 1解出d d 11 22 2 10 22 2020年1月27日 添加页脚 表2 1给出了2010年5月28日的美元互换曲线的贴现因子 从该表中提取2年期的贴现因子0 975616带入上式中 求得2年期半年复利一次的即期利率为d2 11 222 2 0 975616解得 2 1 238 根据式 2 8 这个利率意味着100美元的投资2年后增长到 100美元 1 1 238 22 2 102 499美元 23 2020年1月27日 添加页脚 2 3 2远期利率远期利率是远期贷款的利率 远期贷款是一项约定在未来某一时刻借款并在之后还款的协议 本节关注的重点是6个月期的一系列远期利率 设函数f t 为t 0 5年的贷款在t年后归还的远期利率 从t 0 5年投资一单位的货币 6个月后 即第t年产生地收益为 24 2020年1月27日 添加页脚 接下来 将远期利率和即期利率结合在一起 注意 无套利原则期限 年的即期贷款 到 年的远期贷款 相同投资区间 年的即期贷款1 22 1 0 522 0 51 2 1 0 522 11 2 25 2020年1月27日 添加页脚 这一逻辑可以进一步扩展 把t期即期利率写成所有直到f t 的远期利率函数 1 22 1 0 521 12 1 2最后 以贴现因子形式表示远期利率 将等式 2 10 替代 2 14 中的即期利率 26 2020年1月27日 添加页脚 根据表2 1美元互换的数据 利用表中2年和2 5年的即期利率或贴现因子 以及公式 2 14 或公式 2 16 推导出f 2 5 2 301 这值意味着2年后100美元的投资 2 5年后将值100美元 1 2 301 2 101 151美元 注意 如果即期利率期限结构是平的 那么所有即期利率是相同的 即所有的t都有 根据公式 2 14 每个远期利率必须等于相同的 而且远期利率的期限结构也是平的 27 2020年1月27日 添加页脚 补充 连续复利的即期利率和远期利率 附录2B 记 为0时刻到t时刻连续复利即期利率 记 为t时刻连续复利远期利率 记 为从t t时刻到t时刻的连续复利远期利率 当 t 0时 根据前面的讨论 连续复利即期利率被定义为 连续复利远期利率类似前面的推导 e 28 2020年1月27日 添加页脚 将 2 37 中的两个即期利率带入上式并移项得 两边取ln并移项 两边同取极限 得 29 2020年1月27日 添加页脚 2 3 3平价利率考虑面值或名义本金为100的半年付息的固定利率资产 或固定利息支付为100 2 最后在T年的支付为100 这个T年期的债券 半年付息的平价票面利率是C T 满足该资产的现值等于面值 即100 根据本章前面对互换利率的定义 互换利率也就是平价利率 30 2020年1月27日 添加页脚 在表2 1中 假设2年期互换利率 平价利率 为c 根据前面提到的未来现金流的现值等于面值 我们可以得到等式 2 0 5 1 1 5 2 100 2 100将贴现因子代入可以得到c 1 235 那么平价利率与贴现因子的关系式可由刚才的例子推导出来 31 2020年1月27日 添加页脚 一般来说 一个半年支付一次利息 T年后到期的一单位价值的资产 其中 求和的部分被称为年金因子 即在每一个付息日收到的一单位货币直到到期时间T年的价值 记为A T 那么对于每半年支付一次现金流 A 12 2将年金因子代入 2 19 可得平价票面利率的等式为 32 2020年1月27日 添加页脚 注意 假如即期或远期期限结构在某个水平上是平的 则平价利率期限结构也是平的 并且等于这个水平 附录2C 在本小节结束之前 我们需要注意一点 价值为面值的债券或者互换的固定利率现金流的价值等于面值的互换 只在瞬间满足价值等于面值 随着贴现因子或者利率的变化 这些债券或互换的现值也会随之改变 33 2020年1月27日 添加页脚 2020 1 27 34 2 3 4概要 用半年复利一次名义即期利率 远期利率和平价利率报价本节使用贴现因子 年金因子和三种利率来给单位票面金额的固定利率资产进行报价 以此来说明他们之间的关系 资产价格为P 票面利率c 半年付息一次直到T年并最后归还票面金额 1 使用贴现因子和年金因子 35 2020年1月27日 添加页脚 2 使用即期利率 36 2020年1月27日 添加页脚 3 使用远期利率 37 2020年1月27日 添加页脚 4 使用平价利率C T 由式 2 21 以及式 2 22 得到 38 2020年1月27日 添加页脚 2 4即期利率 远期利率和平价利率的特征特点一 每一个即期利率几乎等于期限内远期利率的平均值 以2 5年的即期利率为例 1 450 0 705 1 046 1 384 1 820 2 301 5 39 2020年1月27日 添加页脚 在数学上 2 5年期的即期贷款的收益和这五个远期贷款所得款项的收益是相等的 1 2 525 1 0 521 121 1 521 221 2 52 40 2020年1月27日 添加页脚 特点二 当远期利率高于即期利率时 即期利率随着期限的增加而增加 根据特点一我们得到的结论 即期利率是远期利率的算数平均数 我们可以想一下 在平均值的基础上再加上一个数求平均值 当且仅当所添加的数值是大于原先存在的平均值 才能增大该平均值 利用表2 1中的数据 把2年期后6个月的远期利率2 301 加到一个即期利率1 238 上 得到一个更高的新的 平均值 2 5年的即期利率 为1 450 41 2020年1月27日 添加页脚 附录2E用公式证明了这种现象 一般的 对于任何t r 0 5当且仅当f 0 5 r 0 5当且仅当f 0 5 42 2020年1月27日 添加页脚 以上是按照分期表述的 然而实际上 即期利率在相当大的范围内上升或者下降 因此远期利率在相当大的期限范围内高于或低于即期利率 图2 2和图2 3是2010年5月28日的欧元和英镑互换曲线 体现了即期利率和远期利率曲线之间的典型关系 每种货币下 当远期利率高于即期利率时 即期利率随期限的增加而上升 当远期利率从低于即期利率是 即期利率随着期限的增加而下降 43 2020年1月27日 添加页脚 44 2020年1月27日 添加页脚 特点三 当即期利率随着期限的增加而上升时 平价利率接近但低于即期利率为了理解这个直观的发现 可以考虑2 5年期的平价利率与即期利率分别为1 445 和1 450 通过本章前面的讨论可以知道 假如即期利率曲线持平于1 450 则其平价利率也是1 450 换句话说 对1 450 过的固定利率现金流用水平为1 450 的即期利率曲线贴现可以得到等于面值的现值 45 2020年1月27日 添加页脚 以表2 1中小于或等于1 450 的即期利率贴现得到的价格将大于面值 因此 用表中的即期利率贴现 平价利率必须小于1 450 将其推广 当即期利率曲线是严格上升时 平价利率低于相同到期日的即期利率 当即期利率严格下降时 平价利率高于相同到期日的即期利率 附录2F证明 46 2020年1月27日 添加页脚 图2 4显示了2010年5月28日的美元互换利率曲线 说明了在大部分时期内即期利率增加时 平价利率低于即期利率 到2041年年底 即期利率曲线开始缓慢下降 但平价利率不足以超过即期利率 与此形成对比的是 图2 2的欧元即期利率曲线在长期到期处大幅下降 平价利率曲线在即期利率曲线之上 47 2020年1月27日 添加页脚 期限和价格或者现值假如利率期限结构在6个月期内保持完全不变 那么债券的价格或互换固定端的现值会增加或者减少吗 如表2 2 48 2020年1月27日 添加页脚 结论 假如利率的极限结构在6个月的期限内保持不变 如果票息利率低于过得去的6个月对应的远期利率 则现值会随着到期日的临近而增加 如果票息利率高于过去6个月对应的6个月期的远期利率 则现值会随着到期日的临近而降低 附录2G 49 2020年1月27日 添加页脚 小结 利率报价惯例 单利计息 半年复利计息 连续复利计息从利率互换中提取贴现因子定义即期利率 远期利率 平价利率 并用贴现因子表示即期利率 远期利率 平价利率之间的关系平价利率 远期利率和现值的关系 50 2020年1月27日 添加页脚 2 5交易案例研究 2010年第二季度在10s 30s期限段异常向下倾斜的欧元远期利率曲线及交易策略图2 5描述了2010年5月28日美元 欧元 英镑 日元6个月期远期利率曲线 图中的四条6个月期远期利率曲线走势相似 从短期到中期是向上倾斜 然后平滑的逐渐下降到长期的末端 环境背景 金融危机和欧元区国家的经济前景 以及希腊和其他国家的政府债务违约所引发的恐慌 51 2020年1月27日 添加页脚 52 2020年1月27日 添加页脚 1 从技术层面进行分析造成欧元远期利率曲线异常向下倾斜的主要原因是 欧洲养老金基金和保险公司投资长期资产的需求 或用互换的语言来说是 收到长期固定现金流支付 使得其资产和长期负债更好地匹配 这个需求在 欧盟偿付能力2号指引 solvencyIldirective 推出以后尤其急切 欧盟偿付能力2号指引 要求额外的资本来弥补资产和负债的不匹配 总的来说 从机制上 有很多对长期资产的需求 而没有那么多和应的供给 从而驱使长期互换利率走低 造成欧元远期利率曲线向下异常倾斜 53 2020年1月27日 添加页脚 2 该采用什么样的交易策略呢 考虑图2 6描述的两对抽象的利率期限结构 市场参与者用 变平 flattening 来描述 长期利率比短期利率下降得多 短期利率比长期利率上升得多 因此 在 的情况下 图中任何一根实线向其对应的虚线移动被称作变平 市场参与者使用 变陡 steepening 来描述 长期利率比短期利率上升得多 短期利率比长期利率下降得多 因此 在 的情况下 图中任何一根虚线移动到其对应的实线被称作陡峭 54 2020年1月27日 添加页脚 55 2020年1月27日 添加页脚 现在回到交易的案例中来 许多市场参与者想赌欧元长期利率曲线将会回归正常 即10s 30s的远期曲线将会变得陡峭 他们认为机构对于收到长期固定现金流的需求最终将被市场吸收 因此将会产生斜率更加正常的曲线 此外 保持长期向下倾斜的技术层面因素影响力将很快不敌欧洲经济形势明朗后的宏观因素影响力 更准确地说 假如欧盟的财政和经济状况每况愈下 欧元的远期曲线将会和日元的远期曲线相交 10s 30s曲线也会变得陡峭 相反 假如欧盟的财政和经济状况好转 欧元远期曲线将会和美元 英镑曲线相交 10s 30s曲线也会变得陡峭 56 2020年1月27日 添加页脚 当然 也可能出现10s 30s曲线不变陡峭的情况 第一 对长期固定现金流的需求是如此巨大 使得出于宏观经济考虑产生的供给不足以推动10s 30s欧元远期曲线回到历史水平 事实上 假如对长期固定现金流的需求增加超过供给的增加 10s 30s会更平 同时 全球宏观经济趋势也会使得全球范围内的10s 30s更平 这可能与欧元技术层面因素没有什么直接联系 但会导致欧元曲线的平坦 57 2020年1月27日 添加页脚 一位认为市场利率曲线可能变陡由此带来的收益是有吸引力的值得去赌一把的交易员可以通过以下交易来实现这个赌注 作为相对较高的欧元10y6m利率的接收方 同时作为期限更长的 相对较低的互换固定利率支付方 换句话说 锁定收到10y6m利率并锁定一个更长期的利率 以此作为对相对于更长期远期利率 10y6m利率在未来相对下降的赌注 此外 还要构造交易组合使得假如10y6m利率和更长期远期利率都上升1个基点 即0 01 两个头寸的收益相抵 这笔交易既不赚钱 也不亏钱 本书第2部分将会介绍这种类型的对冲是如何构建的 58 2020年1月27日 添加页脚 交易中最后要考虑的方面就是滚动 roll down 即在利率基本没有变化的时候交易的表现如何 比如远期利率曲线保持不变 因为如果在一段时间内没有发生什么 交易也会亏损 交易员可能无法持有这项交易足够长的时间以实现预期利润 潜在的不耐心或许起因于内部风险管理控制 即那些强迫交易结束以达到止损 stop losses 如盈亏平衡点 的内部风险管理控制 不耐烦也可能起因于能力不足或者虽不情愿但不得不做