22直接证明与间接证明(教学设计)(3).doc

2.2直接证明与间接证明（教学设计）（3）2. 2 .2 反证法教学目标：知识与技能目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法目标:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观目标：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点：了解反证法的思考过程、特点 教学难点：反证法的思考过程、特点 教学过程: 一、复习回顾：1、综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。2、分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。3、分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真 二、创设情境、新课引入： 如果用直接证明的方法证明比较困难时，那我们就采用间接证明方法反证法， 三、师生互动、新课讲解：1、反证法（1）定义：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .（2）分类反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。（3）证明步骤：用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。（3）常用的反设（否定）（补集）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例1（课本P42例7）已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。分析： 证明：例2（课本P43例8）已知直线和平面，如果，且，求证。证明：因为, 所以经过直线a , b 确定一个平面。因为，而，所以与是两个不同的平面因为，且，所以. 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾所以 . 点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： 例3、求证：不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法假设不是无理数，那么它就是有理数我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式下面我们看看能否由此推出矛盾证明：假设不是无理数，那么它就是有理数于是，存在互质的正整数，使得，从而有, 因此，所以 m 为偶数于是可设 ( k 是正整数），从而有，即所以n也为偶数这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。例4、已知，求证：（且）证明：假设不大于，即或.a0，b0由(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)ab(推理利用了不等式的传递性).又由但这些都与已知条件，ab0相矛盾.成立.例5、设，求证证明：假设，则有，从而因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 课堂练习：（课本P43练习）四、课堂小结、巩固反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。五、布置作业：A组：1应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论相反判断，即假设 原命题的条件 公理、定理、定义等原结论ABC D解析：应是.故选C.答案：C2用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：至多有一个的否定是至少有两个，故选B.答案：B3. 用反证法证明命题“已知，则中至少有一个不 小 于0”反设正确的是 （ ） A.假设都不大于0 B.假设至多有一个大于0 C.假设都大于0 D.假设都小于0D 解析：反证法的应用是假设结论不成立，因此要设为“假设都小于0.4用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为_解析：“a，b全为0”即是“a0且b0”，因此它的反设为“a0或b0”答案：a，b不全为05“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B组：1、（课本P44习题2.2 A组 NO：3）2、求证是无理数. （提示：有理数可表示为）证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），从而：，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. 不可能，是无理数.3、若x, y 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2反证法：设2，2 x, y 0，可