中国石油大学 北京2013 高等数学(II)期末试题.pdf

第 1 页 共 6 页 中国石油大学 北京 中国石油大学 北京 2011 2012 学年第二学期学年第二学期 高等数学 高等数学 期期末末考试试卷考试试卷 B 简答简答 班级班级 姓名 姓名 学号学号 分数分数 题题 号号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 八八 九九 总分总分 得得 分分 注意 注意 1 本试卷共本试卷共五五页页 请在答题前核实本试卷是否缺页 请在答题前核实本试卷是否缺页 2 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处 不得写在草稿纸中 否则答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处 不得写在草稿纸中 否则 该题答案无效该题答案无效 一 一 填空题 本题填空题 本题 15 分 每分 每空空 3 分 分 1 两平面062 zyx和052 zyx的夹角余弦为 6 1 2 设函数 2 3 2xy exyxyxf 求 3 2 6 efx 3 设曲面 为球面 4 222 zyx 求曲面积分 16 1 dSzyx 4 求幂级数 n n n x n 1 1 2 1 的收敛域及和函数 1 1 1ln 2 1 xxxS 5 设 xf是周期为 2的周期函数 它在区间 上的定义为 则 xf的傅里叶级数在 x处收敛于 2 二 二 选择题 本题选择题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 分 1 设有直线 03102 0123 zyx zyx l及平面0224 zyx 则直线l B A 平行于 但不在 上 B 垂直于 C 与 斜交 D 在 上 2 函数 22 yxz 在点 0 0 处 D 不连续 偏导数存在 可微 D 任一方向的方向导数存在 第 2 页 共 6 页 设 xf为连续函数 若 tt y dxxfdytF 1 则 3 F 等于 A 3 2f 3 f 3 f D 0 4 已知级数1 1 1 1 n n n a 5 1 12 n n a 则级数 1n n a等于 C 8 A 7 B 9 C 3 D 5 设常数0 k 则级数 1 2 1 1 n n n nk D A 发散 B 敛散性与k的取值有关 C 绝对收敛 D 条件收敛 三 三 计算题计算题 本题 本题共共 30 分 每分 每题题 6 分分 1 自点 3 2 1 P分别向三个坐标面作垂线 求过三个垂足的平面方程 解 点 3 2 1 P在三个坐标面上的垂足分别为 0 2 1 3 0 1 3 2 0 3 分 设过这三个垂足的平面方程为0 DCzByAx 4 分 则有 03 032 02 DCA DCB DBA 5 分 求解得 2 A B 3 A C AD2 从而平面方程为 012236 zyx 6 分 2 设 2 xyxgyxfz 其中f二阶可导 vug具有二阶连续偏导数 求 yx z 2 解 yggf x z 21 2 3 分 yx z 2 y yggf 2 21 f2 y g 1 y yg 2 4 分 f2 22212 ggxyxg 6 分 3 求由方程2 222 zyxxyz所确定的函数 yxzz 在点 1 0 1 处的全微分dz 解一 套公式 设2 222 zyxxyzzyxF 1 分 则 222 zyx x yzFx 222 zyx y xzFy 222 zyx z xyFz 3 分 第 3 页 共 6 页 从而1 1 0 11 0 1 z x F F x z 2 1 0 1 1 0 1 z y F F y z 5 分 故dydxdy y z dx x z dz2 6 分 解二 两边同时对x求偏导 z是yx 的函数 则 0 222 zyx x z zx x z xyyz 故1 1 0 1 x z 2 分 同样可得0 222 zyx y z zy y z xyxz 故2 1 0 1 y z 4 分 因此dydxdy y z dx x z dz2 6 分 解三 两边同时求微分 利用全微分形式的不变性 0 1 222 zdzydyxdx zyx xydzxzdyyzdx 4 分 把点 1 0 1 代入 得dydxdz2 6 分 4 计算dsxy L 其中L是圆 222 ayx 在第一象限部分 解 L的参数方程为 cosax sinay 2 0 2 分 dsxy L dasincos 2 0 3 sinsin 2 0 3 da 2 3 a 6 分 5 计算曲线积分dyyxxydxxyxy L 3sin21 cos2 2223 其中L为在抛物线 2 2yx 上由 0 0 到 1 2 的一段弧 解 2223 3sin21 cos2yxxyQxyxyP 在xoy平面内具有一阶连续偏导数 且 x Q xyxy y P 2 6cos2 故所给的积分与路径无关 2 分 于是将原积分路径改为折线路径 1 2 0 2 0 0 NRO 3 分 第 4 页 共 6 页 从而dyyxxydxxyxy L 3sin21 cos2 2223 dyyydx 4 3 2 sin21 0 2 2 1 0 2 0 dyyy 4 3 21 22 1 0 4 2 6 分 四四 本本题题 6 分分 设空间中各点的温度函数为 222 2 zyxzyxT 温度的单位是 zyx 的单位为 m 米 求在点 1 2 0 处沿什么方向温度变化最快 在这个方向的变化率是多少 解 k z T j y T i x T T kzj yi x 224 2 4 0 1 2 0 T 2 分 温度函数 zyxT在点 1 2 0 处沿 2 4 0 的方向温度增加最快 在此方向的变化率为 20 m 4 分 温度函数 zyxT在点 1 2 0 处沿 2 4 0 的方向温度减少最快 在此方向的变化率为 20 m 6分 五五 本题本题 6 分分 计算三重积分 ydv 其中 是由圆柱面1 22 yx及平面0 z及3 yz所 围的立体 解一 1 22 yx 30 yz 2 分 ydv 3 0 y D dzydxdy D dxdyyy 3 D dxdyy2 4 分 drrd 2 1 0 3 2 0 sin4 2 0 2 sin d 22 1 4 6 分 解二 柱面坐标 10 r 20 3sin0 rz 2 分 ydv dzrdrd r sin 3sin 0 2 1 0 2 0 drrrd sin3sin 22 1 0 3 2 0 4 分 2 0 2 sin 4 sin d 2 0 2 sin 4 1 d 2 0 8 2cos1 4 6分 六 六 本题本题 7 分分 设平面薄片所占的闭区域D由直线2 yx xy 和x轴所围成 它的面密度 为yxyx 2 求该薄片的质量 解 闭区域D 10 y yxy 2 2 分 第 5 页 共 6 页 该薄片的质量为 D dxdyyx D dxdyyx 2 4 分 y y dxyxdy 21 0 2 1 0 222 2 2 dyyyyyy 5分 1 0 2 224 dyyy 3 7 7 分 另 闭区域D 10 x xy 0 21 x xy 20 2 分 该薄片的质量为 D dxdyyx D dxdyyx 2 4 分 xx dyyxdxdyyxdx 2 0 2 10 1 0 2 2 2 1 2 1 0 2 2 3 22 2 5 dx x xdx x 6 分 3 7 7 分 七 七 本题本题 7 分分 将函数 x xf 1 展开成3 x的幂级数 解 利用 1 1 1 1 1 0 xx x n nn 得 3 分 3 3 1 1 3 1 33 11 x xx 5 分 n n x 3 3 3 1 0 3 1 1 1 3 3 x 6 分 所以 x 1 n n n n x 3 3 1 0 1 6 0 x 7 分 八八 本题 本题 7 分 分 设 为上半球面 22 1yxz 的上侧 计算曲面积分 dxdyzdzdxydydzx 333 解 补充曲面1 0 22 1 yxz 下侧 1 分 1 构成整个上半球体 22 10yxz 的外侧 根据高斯公式 1 333 dxdyzdzdxydydzx dvzyx 3 222 3 分 drrrdd sin3 2 1 0 2 2 0 2 0 5 6 sin 5 3 2 0 2 0 dd 5分 第 6 页 共 6 页 又0 1 333 dxdyzdzdxydydzx 6 分 所以 dxdyzdzdxydydzx 333 5 6 7 分 九九 本题本题 7 分分 在变力kxyjxziyzF 的作用下 质点由原点沿直线运动到椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 上第一卦限点 000 zyxM 问当 000 zyx取何值时 力F 所作的功W最大 并求出W的最大值 解 直线OM的方程为 0 0 0 0 0 0 000 z z y y x x 1 分 有向线段OM的参数方程为 0t xx tyy 0 tzz 0 10 t 2 分 功W OM rdF OM xydzzxdyyzdx dttzyx 2 00 1 0 0 3 000 zyx 4 分 现要求W 000 zyx在条件1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 0 000 zyx 下的最大值 这是条件极值问题 用拉格朗日乘数法 做拉格朗日函数 000 zyxL 000 zyx 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 5 分 由 01 0 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 000 c y