1第一章 电力网络的数学模型.doc

第1章 电力网络的数学模型电力系统由电源、电力网络、负荷三部分组成。电力网络包括了输电和配电线路、变压器和移相器、开关、并联和串联电容器、并联和串联电抗器等元件，它们按一定的形式联结成一个总体，达到输送和分配电能的目的。选取物理量、建立物理的和数学的模型是研究、分析一个客体过程中关键的一步，是得到定量关系的基础。物理模型是被研究的客体的一种简化和抽象，选取何种物理模型取决子研究的目的和内容。例如输电线路是由载流导体、绝缘结构和机械构架等组成的一个客体。当研究其电气特性时，可以根据研究的具体内容，把输电线抽象成分布参数的长线、多个型电路的链式电路，直到一个集中的电抗等不同的模型。数学模型的建立就是找到一种合适的数学形式，来表达物理模型中物理量之间的关系，把一个物理问题抽象成一个数学问题。网络方程就是网络的数学模型，列写网络方程就是按照选定的数学型式，把网络物理模型中的物理量之间的约束全部表达出来，而不包含不必要的约束。 物理量的选取，物理模型和数学模型的建立都不是唯一的，取决于研究的目的和内容，也取决于当时能够采用的研究、计算的手段和工具。物理模型和数学模型本身就标志着对问题认识的深度和科学技术发展的水平。电力网络的等值电路就是它的物理模型，而描述等值电路中各电气参数之间关系的数学方程式就是它的数学模型。在结构、电源、负荷完全对称的假定下，电力网络的稳态分析采用正序、单相等值电路。本章仅讨论组成电网元件的适合于稳态分析的正序、单相等值电路。第一节 电网元件的电路模型一、 标幺值电力系统常使用标幺值进行计算。即使用没有单位的阻抗、导纳、电流、电压、功率的相对值进行运算。 （1-1）通常选定三相功率和线电压的基准值和后，其它各量的基准值也就确定了。三相功率的基准一般选为一个整数，如100或1000MVA，电压的基准往往取电网中被定为基本级的额定电压或平均额定电压。当功率、电压的基准值选定后，其它基准值按电路基本关系确定： （1-2）各级电压等级元件，参数标幺值计算，有两种方法：将各元件阻抗、导纳以及各电流、电压有名值折算到基本级，然后除以基本级各量的基准值。将基本级基准值折算到各电压级，然后将各级元件阻抗、导纳以及各电流、电压有名值除以折算到所在级的基准值。叫做“就地归算”。两种算法得到的结果是相同的，常用第二种方法。采用标幺值计算完成后，还需把标幺值换算为有名值。采用标幺制有如下一些好处:（1） 易于比较电力系统各元件的特性及参数。同一类型的电机，尽管它们的容量不同，参数的有名值也各不相同，但是换算成以各自的额定功率和额定电压为基准的标幺值以后，参数的数值都有一定的范围。例如隐极同步发电机，；凸极同步发电机的。同一类型电机用标幺值画出的空载特性基本上一样。（2） 采用标幺制，能够简化计算公式。交流电路中有一些电量同频率有关，而频率和电气角速度也可以用标幺值表示。如果选取额定频率和相应的同步角速度作为基准值，则和。用标么值表示的电抗、磁链和电势分别为，和。当频率为额定值时，则，和。这些关系常可使某些计算公式得到简化。（3） 采用标幺制，能在一定程度上简化计算工作。只要基准值选择得当，许多物理量的标么值就处在某一定的范围内。用有名值表示时有些数值不等的量，在标么制中其数值却相等。例如，在对称三相系统中，线电压和相电压的标幺值相等；当电压等于基准值时，电流的标么值和功率的标么值相等；变压器的阻抗标幺值不论归算到哪一侧都一样并等于短路电压的标幺值。二、 变压器等值电路1、 双绕组变压器等值电路在电力系统计算中，双绕组变压器的近似等值电路常将励磁支路前移到一侧，如图1-1。在这个等值电路中，和分别是将变压器一二次绕组的电阻和漏抗折算到同一侧的和，和分别是激磁电导和电纳。和可由短路试验数据计算： （1-3） （1-4）由（1-3）式、（1-4）式得等值电路串联参数： （1-5） （1-6）上两式中：额定容量的单位为VA，短路损耗的单位为W，电压的单位为V，电流的单位为A，阻抗的单位为。若额定容量的单位为MVA，短路损耗的单位为KW，电压的单位为KV，电流的单位为KA，阻抗的单位仍为，上两式变为： （1-7） （1-8）并联电导由空载试验数据计算： （1-9） （1-10）由（1-9）式、（1-10）式得等值电路并联参数： （1-11） （1-12）上两式中：额定容量的单位为VA，空载损耗的单位为W，电压的单位为V，电流的单位为A，电导的单位为S。若额定容量的单位为MVA，空载损耗的单位为KW，电压的单位为KV，电流的单位为KA，电导的单位为S，上两式变为： （1-13） （1-14）用上式变压器的参数时，若用高压侧额定电压，得到的是折算到高压侧的有名值；若用低压侧额定电压，得到的是折算到低压测的有名值。如果以变压器额定容量和额定电压作为基准值，则等值电路参数的标幺值为： （1-15） （1-16） （1-17） （1-18）2、 三绕组变压器等值电路三绕组变压器的的等值电路如图1-2。图中，、和、分别为折算到1侧的三绕组各自电阻和等效电抗。由三绕组变压器的短路试验的方法知 （1-19）及 （1-20）式中，、和、分别是三绕组变压器一次让一个绕组开路，另两绕组按双绕组变压做短路试验的短路损耗和短路电压百分数；、和、分别是三绕组各自的短路损耗和等值短路电压百分数。由式（1-19）得 （1-21）由式（1-20）得 （1-22）与双绕组变压器同样的方法可得三绕组变压器等值电路串联参数： （1-23） （1-24） （1-25） （1-26） （1-27） （1-28）上六式中：额定容量的单位为VA，短路损耗的单位为W，电压的单位为V，电流的单位为A，阻抗的单位为。并联参数的计算与双绕组变压器相同。如过三绕组变压器容量比不是100/100/100，做短路试验流过绕组的电流受限与容量小的绕组，短路损耗和短路电压需折算为流过额定电流时的值。如容量比为100/100/50的绕组变压器短路试验实际的损耗和电压为、和、，应按下四式折算： （1-29） （1-30） （1-31） （1-32）以上变压器模型是经过折算后的等值电路，总有一端（双绕组变压器）或两端（三绕组变压器）的参数（电流、电压）与实际电路不同，因而为非端部条件完全等值的电路模型。用上述模型进行电路计算，计算结果必须再进行反折算才能得到参数的实际值。且与非等值端相连的电网的其它元件参数必须按变压器变比进行折算，在复杂电力网络中，常有环网变压器变比不匹配的问题，使按变压器变比折算的方法无法进行。3、 端部条件完全等值的变压器模型等值变压器模型（1） 等值双绕组变压器变压器模型题1-3中，（a）图为一实际变压器，1:k为两侧绕组的匝数比。（b）图的左端为按变比1:k折算到1侧的形等值电路，可由空载和短路试验数据求得；右端为一理想变压器（无损耗、无漏磁、无需励磁电流），变比与图（a）实际变压器相同。显然，对端部参数（、）而言，（a）图和（b）图完全等值，用（b）图所示等值电路与外电路相连时，外电路就不需要折算了。在电网计算中，一般将（b）图中变压器等值激磁支路看做节点的接地之路就可以了。下面推导图（b）中端口（，）右侧两端口网络的形等值电路，为此写出上述两端口网络的节点电压方程 （1-33） （1-34）上两式整理得节点电压方程 （1-35）写成矩阵形式 （1-36）令 （1-37）为节点电压方程导纳矩阵的元素。为了求出两端口网络形等值电路的参数，式（1-37）中自导纳元素重写为： （1-38）由（1-37）和（1-38）画出（b）图右侧两端口网络的等值电路如图1-4因为式（1-36）反映了变压器两侧实际电流电压的关系，所以是对两侧的端部都等值的变压器模型。使用该模型计算可以直接得到的是电力网络参数的实际值，计算时电网中的其它元件的参数也不需要折算了。变压器的型等值电路中三个阻抗(导纳)都与变比k有关，型的两个并联支路的阻抗(导纳)的符号总是相反的。三个支路阻抗之和恒等于零，即它们构成了谐振三角形。三角形内产生谐振环流，正是这谐振环流在原、副方间的阻抗上(型的串联支路)产生的电压降，实现了原、副方的变压，而谐振电流本身又完成了原、副方的电流变换，从而使等值电路起到变压器的作用。当变压器的电压比为非实数时，式（1-37）变为 （1-39）这时由于导纳矩阵失去对称性，将不能画出等值电路图，但仍可按（1-39）式将变压器对电网结构参数的影响计入电网的导纳矩阵中。当变压器的参数已折算到二次侧，如图1-5(a)，则等值电路为图1-5(b)（k为实数）（2） 等值三绕组变压器模型三绕组变压器在略去励磁支路后的端部等值电路示于图1-6(b)。图中2侧和3侧的阻抗都已折算到1侧，并在2侧和3侧分别增添了理想变压器，其变压比为和。与双绕组变压器一样，可以作出电气上直接相连的三绕组变压器等值电路，如图1-17所示。（3） 等值变压器模型在电网计算中的应用当变压器采用等值变压器模型时，电网的计算可采用以下三种方式之一：（一）、电网计算使用有名值，直接用等值变压器模型替代网络中的变压器。计算得到的电流、电压为电网中的实际值。（二）、电网计算使用有名值，元件参数用标准变比折算到同一级。以下用图1-8说明原理如图（a ）所示，A、B母线之间是一变比可调变压器。A侧基准电压为，B侧基准电压为，可取各自电压等级的额定电压或平均额定电压。、是两侧电路元件的实际阻抗有名值。图（b）将变压器等值为一个阻抗和一个理想变压器的串联，是变压器的实际变比，是变压器折算到B侧的串联阻抗，其并联支路忽略或已作为B母线接地之路考虑。图（c）将理想变压器等值为两台变比分别为、的理想变压器的串联，其中 （1-40）称为标准变比。由得 （1-41）称为非标准变比，它是实际变比相对于标准变比的标幺值。将图（c）中的、用标准变比进行折算到标准变压器的左侧得到图（d），图（d）中、是用标准变比折算后的值。将图（d）中A、B间支路用等值变压器模型代替得到图（e）为最终等值电路。使用这种方法，电网计算结束时需对折算后元件的电流、电压用标准变比反折算才能得到实际值。这种方法的优点是：标准变比取各电压等级额定电压或平均额定电压，不存在环形网络变比不匹配的问题。当变压器变比发生变化时，只需重新计算非标准变比和A、B之间网络的参数，工作量大大减少。缺点是需要进行连续的折算计算。（3） 、电网计算使用标幺值，基准电压按标准变比折算到各级计算元件参数的标幺值。用如下图1-9代替图1-8中的（d）和（e）图即是该法的原理。步骤是：选定各电压等级的基准电压；按选定的各电压等级的基准电压，计算非变压器元件的电路参数标幺值；变压器元件的参数计算：一种方法是：将参数折算到一次侧，按一次侧的基准电压计算变压器参数的标幺值，标幺值端部等值电路形如，非标准变比，为标准变比，为实际变比；另一种方法是：将参数折算到二次侧，按二次侧的基准电压计算变压器参数的标幺值，标幺值端部等值电路形如，非标准变比，为标准变比，为实际变比。将变压器标幺值端部等值电路化为完全电气连接的型等值电路；进行电路计算；进行有名值归算。三、 输电线路等值电路（1）集中参数电路模型对于长度不超过100km的架空线路或距离不长的电缆常采用一字型等值电路，只包含导体的电阻和电抗，忽略了对地的电导和容纳。如图1-10。 对于长度在100300km的架空线路，或长度超过100km的电缆线路，线路的电容效应不能忽略，需采用T型或型等值电路,如图1-11。图中，R、X、B分别为导体的电阻、电抗、电纳。（2）分布参数模型在电力系统的运行分析中，对于长度超过300km的架空线路和超过100km的电缆线路，往往需要考虑线路参数的分布性。下面推导考虑参数的分布特性，端部对外等值的输电线路等值电路。设有长度为的输电线路，其参数沿线均匀分布，单位长度的阻抗和导纳分别为，。在距末端x处取一微段，可作出等值电路如图1-12所示。在正弦电压作用下处于稳态时，针对微段列出电路方程式为： （1-42）和 （1-43）将式(1-42)对求导数，并计及式(1-43）、便得 （1-44）上式为二阶常系数齐次微分方程式，其通解为 （1-45）将式(1-45)代人式(1-42)，便得 （1-46）式中，和是积分常数，应由边界条件确定。 （1-47） （1-48）称为线路的传播常数，因为和的幅角均在的范围内，故的幅角也在之间，由此可知和都是正的。称为线路的波阻抗(或特性阻抗)。和都是只与线路的参数和频率有关的物理量。长线方程稳态解(1-45)和(1-46)中的积分常数和可由线路的边界条件确定。当时，和，由(1-45)和(1-46式可得,由此可以解出 (1-49)将和代入式(1-45)和(1-46)便得 (1-50)式（1-50）说明长线上任一点电压相量为随增加反方向旋转的两个相量的和，其大小和相位都是周期性起伏变化的。上式可利用双曲线函数写成 (1-51)当时，可得到线路首端电压和电流与线路末端电压和电流的关系如下 (1-52)将上述方程同二端口网络的通用T参数方程 （1-53）相比较，取、和，可见和的关系，即输电线是一对称的无源二端口网络，可用对称的T形或形等值电路来表示。常用形等值电路如图1-13： 其参数为： （1-54）四、 发电机等值模型应用于不同场合时，同步发电机的等值电路也不同，对于稳态计算，常用图1-14所示的几种等值电路。（a）图同步发电机表示为一电压源，常用于短路电流周期分量的近似计算。当用于短路电流周期分量的起始值的计算时，应为暂态电势和次暂态电势，相应地，电抗应为暂态电抗和次暂态电抗。（b）、（c）图为发电机恒定功率，恒定电压模型，常用于潮流计算或相关分析。五、 电抗器、电容器等值模型电抗器、电容器在电路模型中用一条之路表示，一般不计及元件的电阻。厂家给出的电抗器参数为以额定参数为基准的电抗百分值。 （1-55）电力电容器厂家给出电容器的电容参数。 （1-56）六、 负荷等值模型稳态分析时，负荷常用下列方法表示。（1）负荷的恒定功率模型，如图1-15（a)。（2）恒定阻抗或导纳模型,，如图1-15（b)和（c）。（3）静态特性模型在电力系统分析计算中，每一个负荷都代表一定数量的各类用电设备及相关的变配电设备的组合，这样的组合亦称为综合负荷。各个综合负荷功率大小不等，成分各异，一般是要随系统的运行参数(主要是电压和频率)的变化而变化的，反映这种变化规律的曲线或数学表达式称为负荷特性。负荷特性包括动态特性和静态特性。动态特性反映电压和频率急剧变化时负荷功率随时间的变化；静态特性则代表稳态下负荷功率与电压和频率的关系。当频率维持额定值不变时，负荷功率与电压的关系称为负荷的电压静态特性。当负荷端电压维持额定值不变时，负荷功率与频率的关系称为负荷的频率静态特性。负荷的电压静态特性常用二次多项式表示 （1-57）式中，为额定电压，和为额定电压时的有功和无功功率，各个系数可根据实际的电压静态特性用最小二乘法拟合求得，这些系数应满足 式(1-57)表明，负荷的有功和无功功率都由三个部分组成，第一部分与电压平方成正比，代表恒定阻抗消耗的功率；第二部分与电压成正比，代表与恒电流负荷相对应的功率；第三部分为恒功率分量。所以称为ZIP负荷模型。需要同时考虑电压和频率的变化对负荷的影响时，考虑到正常运行时频率变化不大，负荷对频率的变化近似有线性关系，负荷可表示为 （1-58）式中。负荷的静态特性还有用其它形式表示的方式，如指数形式 （1-59）第二节 电力网络约束组成电力网络元件的等值电路得到后，按实践连接情况将元件等值电路相连就得到了电力网络的等值电路。电力网络的等值电路包含了两个内容：支路及支路之间的联结关系。电力网络的电气性能受到两个约束，即元件特性约束和联结关系约束(也叫拓扑约束)。 1、支路特性的约束电力网络无论有多复杂，都可以看成是由基本的电路元件(R、L、C)组成。加在元件两端的电压与流过元件的电流之间遵循的自然规律就是元件特性约束，如： （1-60）是R、L、C元件电流电压瞬时值之间遵循的自然规律。在交流稳态分析中，R、L、C元件的电流电压关系用向量表示为： （1-61）一条由一个或多个基本电路元件串并联组成支路的电气特性约束，在交流稳态分析中表示为： （1-62）是交流电路的欧姆定律。2、网络拓扑的约束电力网络由支路连接而成。网络的拓扑约束反映网络中各支路之间电流或电压的关系。它与元件的特性，即与各支路的组成无关。网络的拓扑约束遵循基尔霍失定律(Kirchhoffs Laws) 。对于节点j(包括广义节点)，与节点j相关联的各支路电流i之间符合基尔霍夫电流定律(Kirchhoff Current Law、KCL )： （1-63）表示所有和节点j相关联的支路。对于闭合回路，回路中的各支路电压之间符合基尔霍夫电压定律(Kirchhoff Voltage Law,KVL)： （1-64）式中表示所有在回路中的支路。第三节 节点电压方程网络的状态是用所选定的物理量来表示的，选用的物理量不同，网络方程的形式就不同。通常描述交流电路物理量之间关系的数学模型有节点电压方程和回路电流方程。节点电压方程是以节点电压和节点注入电流为物理量建立的电力网络数学模型，也是目前研究电力系统问题时，普遍采用的数学模型。电力网络是指由无源支路互联而组成的输配电网络。在建立电力系统中电力网络的节点电压方程时，带有电压源的支路应先转化为电流源的形式，电流源的并联阻抗做为一条支路纳入电力网络中，而将电流源看作是电力网络的节点注入电流。设电力网络有n各节点、b条支路。按元件约束，对每条支路可列出如下的方程时： (k=1,2,.,b) （1-65）式中： 为支路k的电流；为支路k的电压降；为支路k的导纳。电流和电压的正方向与选定的支路方向一致。将式（1-65）表示的b条支路的电流电压方程写成矩阵形式为： （1-66）式中：为支路电流b维列向量；为支路电压b维列向量；为支路导纳组成的（bb）对角线矩阵，称为原始支路导纳矩阵。式（1-66）是电力网络的元件约束方程。设为电力网络的节点支路关联矩阵，为节点电压的n维列向量，则可写出支路电压列向量与节点电压列向量之间的关系： （1-67）式（1-67）是KVL的一种表示方式。（设是电力网络的回路支路关联矩阵，则有。用左乘式两侧得。因是KVL的原意表达式，所以是KVL的一种表示方式。也就是说，当用节点电压表示支路电压时，KVL约束必定自动满足。）将网络的KCL约束写成矩阵的形式为： （1-68）式中：为节点注入电流n维列向量。将式（1-66）代入式（1-68）得： （1-69）再将式（1-67）代入式（1-69）得： （1-70）令： （1-71)称为节点导纳矩阵，式（1-70）变为： （1-72）式（1-72）为电力网络的节点电压方程。式（1-72）基于网络的元件约束和拓扑约束推导而得，它完整严格地反映了电力网络节点电压和节点注入电流之间的关系。电力网络的节点电压方程也可表示为： （1-73）式中： （1-74）为节点阻抗矩阵。第四节 节点导纳矩阵节点导纳矩阵物理意义清晰，既包含网络元件参数又包含了网络元件的连结关系，又具有非常高的稀疏性，是电力系统网络计算中使用最为广泛的网络矩阵。1、 节点导纳矩阵的性质及物理意义（1）节点不定导纳矩阵节点导纳矩阵是电力网络节点电压方程的系数矩阵。设电力网络节点数为N+1，其中第N+1个为接地节点。包含N+1个节点的节点电压方程为： （1-75）导纳矩阵为 （1-76）的任一行(列)元素之和为零，是奇异的，称为不定导纳矩阵。这是因为网络的参考点在网络的外边，与网络之间没有支路相关联，全网各节点电位浮空不定。节点导纳矩阵不可逆，式（1-75）没有确定的解。（2）节点定导纳矩阵 在式（1-75）中选地节点为电压参考点，并令参考节点电位为零，则可将不定导纳矩阵表示的网络方程写成分块形式: （1-77）展开得 （1-78）和 （1-79）式(1-78）中 （1-80）是NN阶矩阵，它是不定导纳矩阵Y0划去地节点相对应的行和列后剩下的矩阵，即以地为参考点形成的节点导纳矩阵。式(1-78)和式（1-79）中，和分别是N维节点电压和电流列矢量。是流入参考节点的电流。式（1-78 )是常用的导纳矩阵表示的网络方程。当式（1-78 )的解得到后，代入式（1-79)可求出通过参考节点流入网络的电流。式（1-80）中，A为不含参考节点的节点支路关联矩阵。当网络中存在接地（与参考节点连同）支路时，N个节点的电力网络和大地参考点之间有支路相联，Y矩阵是非奇异的，定义为节点定导纳矩阵，它有如下性质:性质1：网络中无移相器时，Y是NN阶对称矩阵。任何一条简单的支路的导纳矩阵元素是对称的。含有移相器的支路可表示为一个阻抗与一变比为复数的理想变压器的串联，仿照推导变压器等值模型的方法求得两端电压电流关系表明对其导纳矩阵非对称。性质2：Y是稀疏矩阵。性质3：当存在接地支路或网络中至少有一条支路与参考节点相连时，Y是非奇异的。Y的每行元素之和等于该行所对应节点上的接地支路的导纳。这里非标准变比变玉器支路用等值模型表示。 性质4：Y是接近对角线占优的。（3）导纳矩阵中元素的物理意义 节点导纳矩阵元算表示了网络的短路参数。在网络中节点接单位电压源，其余节点都短路接地，此时流入节点的电流数值上是，流入节点的电流数值上是。称为自导纳，称为互导纳。注意只有和节点有支路相联的节点才有电流，其余节点没有电流，因为其余节点的相邻节点都是零电位点。这也可以说明导纳矩阵是稀疏矩阵。节点导纳矩阵的元素只包含了网络的局部信息，例如某节点的自导纳和互导纳只包含和节点相联的支路的导纳信息，没有包含其余支路导纳的信息。2、 导纳矩阵的建立由式（1-80）得 （1-81）式（1-81）中，b是支路数；表示第k个对角线元素的值为第k条支路的导纳，其他元素都为零的对角线矩阵；为的第k各列矢量，是第k支路的节点支路关联矢量。假设第k条支路的关联节点为i和j，则式（1-81）中的第k项为 即Y相当于b个单元的叠加。每个单元表示一条支路对节点导纳矩阵的贡献。如果把每个单元想象成一个NN见方的透明胶片，每片最多在四个位置有非零元素。把b片这样的单元叠在一起，透过胶片看过去，我们就得到了Y矩阵。我们可以按支路扫描，累加每条支路对导纳矩阵的贡献，最后就得到Y矩阵。下面是不同性质的支路对Y矩阵贡献的计算方法:1、 接地支路：只对所在节点的自导纳有贡献，其值为支路的导纳。2、 非接地普通支路：对两端节点对应的自导纳和互导纳共四个元素有贡献，对自导纳的贡献为支路的导纳，对互导纳的贡献为支路导纳的负值。3、 非标准变比变压器（或移相器）支路： 对两端节点对应的自导纳和互导纳共四个元素有贡献。如变比为实数，按等值电路，分别计算两条接地支路，一条普通支路对Y矩阵贡献；如变比为复数，按变压器节点电压方程的系数矩阵计算对Y矩阵贡献。4、 具有互感的支路，应将互感支路组成一组，共同考虑它们对节点导纳矩阵的贡献。首先将互感支路组的支路阻抗矩阵变成支路导纳矩阵，然后按下式计算对导纳矩阵的贡献。 （1-82）式（1-82）中，Y是互感支路组对导纳矩阵的贡献；M是由互感支路组中的支路的节点支路关联矢量组成的矩阵，行数等于N，列数等于互感支路组中的支路数；y是互感支路组的原始支路导纳矩阵。设互感支路组支路电压和支路电流之间关系可表示为： （1-83）则互感支路组的原始支路导纳矩阵为： （1-84）式（1-83）中，、 分别为第条支路的支路电压和支路电流，其参考方向与支路方向一致；为支路的阻抗；为第条支路对第支路的互感抗。 3、 节点导纳矩阵的修改（1）支路移去和添加当支路从网络中移出，则导纳矩阵将变成，并有 （1-85）而对于路添加到网络中的情况，则有 （1-86）对支路移出的情况，当支路是原网络中一连支时，的阶数不变且仍保持非奇异。当是一孤立树支，即其一个端点出线度是1时，中将有一行一列的元素全为零，将元素全为零的一行一列划去，导纳矩阵的阶数减1。当支路是桥时，若支路移去，由支路联接的两个子网络解列。对支路加入的情况，当支路是一连支时，的阶数不变。当是一孤立树支，即其一个端点出线度是1时，的阶数较加1。（2）节点合并例如节点p，q合并，合并后节点为p。合并后，p节点的自导纳为p节点的原自导纳加q节点的自导纳再减去p、q之间的支路导纳的2倍，p节点的互导纳为p节点的原互导纳加q节点的互导纳。所以将节点q合并到节点p后的导纳矩阵为原导纳矩阵的第q行加到第p行，第q列加到第p列，然后将第q行和q列划去。导纳矩阵的阶数减1，奇异性不变。另外一个方法可以用在节点p，q之间追加一个大导纳支路来模拟，这种方法不改变导纳矩阵的阶次。（3）节点消去网络化简常需要消去某些节点。令节点p为待消节点，将节点P排最前面，则用导纳矩阵表示的网络方程可变为 （1-87）将节点p消去也就是使方程式中不再出现节点p的电压变量。经变换后得： （1-88）令 （1-89）为节点p消去后的导纳矩阵，展开为 （1-90）由式（1-90）可见，消去节点就是对式（1-87）做高斯消去运算，且消去节点p只需对Y阵中和p有支路直接相联的节点之间的元素进行修正，其它节点之间的元素不用修正。如下图，i,k都和p相联，消去前节点i,k间无支路，互导纳；消去节点p将在i,k之间添加一条新支路，使i,k互导纳变为非零，该新出现的非零元素称为注入元。消去节点不影响导纳矩阵的奇异性。式（1-88）右端项是将节点p的电流移置到其相邻节点上的电流。当节点p无注入电流时，即时，消去该节点其它节点注入电流不变。（4）节点电压给定的情况节点电压方程一般用在节点注入电流已知，待求得是节点电压。为了计算节点电压常需选定一个节点为参考节点，其电位指定为零。有时除指定参考节点电位为零外，电网中某一个（或多个）其它节点的电压也是给定的，待求的是其余n个节点电压和电压给定节点的注入电流，这时不能直接求解原节点电压方程。令电压给定节点集为s，节点电压方程可写成如下分块形式 （1-91）展开得 （1-92）和 （1-93）给定电流和电压，可以先用(1-92）式解算出节点电压，节点集s的注入电流用（1-93）式求出。（1-92）式中，是原节点导纳矩阵Y划去节点集s对应的行和列后得到的矩阵。（5）变压器变比发生变化的情况当变压器变比发生变化时，节点导纳矩阵的结构不发生变化，只是和该变压器支路有关的几个非零元素的数值将发生变化。这种情况可采用现将原变压器等值模型的三条支路从电网中移去，再将新变比下变压器等值模型的三条支路添加进去的方法修改导纳矩阵。 （6）一条支路导纳参数发生变化的情况1条 支路导纳发生变化，原来的节点导纳矩阵的结构不变，节点导纳矩阵中和该支路有关的四个元素的数值发生变化。这种情况可采用现将原支路从电网中移去，再将新支路添加进去的方法修改导纳矩阵。（7） 移去和添加带互感支路的情况这种情况同样可用（5）和（6）中采用的移去添加方法得到修改后的导纳矩阵。第五节 节点阻抗矩阵1、 节点阻抗矩阵的性质及物理意义1、 以地为参考节点的节点阻抗矩阵以地为参考节点的节点导纳矩阵是Y，它是NN稀疏矩阵。如果网络中存在接地支路，Y是非奇异的，其逆矩阵是节点阻抗矩阵，为 （1-94）用节点阻抗矩阵Z表示的网络方程是 （1-95）2、 节点阻抗矩阵元素的物理意义节点阻抗矩阵元素代表了开路参数。由(1-95)式可知，当节点注入单位电流，其它节点均开路，即注入电流等于零时，节点的电压数值上是，节点的电压数值上是。称为节点的自阻抗，称为节点，之间的互阻抗，如图。节点阻抗矩阵的元素包含了全网的信息，任何电网结构和参数的变化都会导致阻抗矩阵中所有元素发生改变。由元素的物理意义知，是无源网络从节点和地组成的端口看进去的等值阻抗。当不含移相器支路时，根据互易定理，。即如导纳矩阵是对称的，其阻抗矩阵也是对称的。从节点对，组成的端口注入单位电流时，本节点对的电位差定义为节点对，（或端口）的自阻抗，或称为输入阻抗，用表示；另一节点对，的电位差定义为节点对（或端口），和节点对（或端口），之间的互阻抗，或称为节点对（或端口）之间的转移阻抗，用表示，如图所示。根据叠加原理和阻抗矩阵元素的物理意义得 （1-96） （1-97）如定义，为节点注入电流关联矢量，则上两式可表示为： （1-98） （1-99）3、 节点阻抗矩阵的性质性质1：节点阻抗矩阵是对称矩阵。性质2：对于连通的电力系统网络，当网络中有接地支路时，Z是非奇异满矩阵。当有接地支路时，Y非奇异，其逆Z也为非奇异。对于连通网络，任一节点注入单位电流都会在网络其它节点上产生非零值的对地电位，除非该节点金属接地。由Z的物理意义知，Z是满阵。对于无接地支路的网络，Y奇异、不能用对Y求逆得到Z，这时Z无定义。这是由于对于浮空网络，任一节点的电位是不定的。性质3：对纯电阻性或纯感性支路组成的电网。对这两种网络，节点i注入单位电流时，节点i的电位最高，其它节点电位不会高于节点i的电位，故上述结论成立。对于既含感性又含容性支路的电网，情况比较复杂，上述结论不能保证成立。性质4：在性质3的条件下，节点对自阻抗不小于节点对互阻抗，即。因为网络内无源，节点对，端口注入单位电流时，节点对，本身的电位差不会小于其它节点对的电位差。性质5:节点对的自阻抗和节点对的互阻抗不为零。这一性质容易用节点对的自阻抗和互阻抗的物理意义来说明。2、 节点阻抗矩阵的建立1、 用节点导纳矩阵求节点阻抗矩阵由节点导纳矩阵与节点阻抗矩阵的关系，设导纳矩阵Y对应的阻抗矩阵为Z，则： （1-100）式中，为单位矩阵。若和分别为Z和E的第列，则解方程组 （1-101）就可得到阻抗矩阵的第列元素。这样，依次令，解方程（1-101）即可得到的全部元素。2、 用支路追加法形成节点阻抗矩阵方法1支路追加法在计算上比较直观，同时也容易实现网络接线变更时对阻抗矩阵的修正。在用支路追加法形成电力网络的阻抗矩阵时，应先由一个接地支路开始，形成一阶节点阻抗矩阵，然后逐条将网络支路追加进去，并修正已形成的节点阻抗矩阵，当组成电力网络的所有支路追加完毕时，就形成了完整的节点阻抗矩阵。设已形成mm阶部分网络的节点阻抗矩阵： （1-102）（1）追加树枝当在该网络的节点追加阻抗为的树支以后，网络中出现了一个新的节点,因而阻抗矩阵的阶数应变为m+1，假设追加后的阻抗矩阵为 （1-103）首先按照阻抗矩阵元素的物理意义求式（1-103）中左上角mm阶子矩阵的元素，为此分别在节点1,2，.，m注入单位电流，其它节点开路。显然，由于新节点为一浮空节点，新追加的支路不影响原网络中节点电压，因此式（1-103）中左上角mm阶子矩阵与式（1-102）中矩阵相同，即追加树枝不改变原网络节点对应的阻抗矩阵元素的值。为了求出新增加的第列元素，在节点注入单位电流，其它节点开路。在这种情况下节点1,2，.，m的电压与在原网络中节点注入单位电流而其它节点开路的情况一样，所以、 （1-104）即中第列非对角线元算等于第列相对应的元素。而节点的电压，可得 （1-105）即节点的自阻抗等于节点的自阻抗与新追加支路阻抗的和。根据阻抗矩阵的对称性，第行非对角线元素为、 （1-106）即中第行非对角线元算与第行对应元素相等由以上讨论可以看出，当向网络追加树支时，虽然阻杭矩阵增加了一阶，但形成新阻抗矩阵的运算量却非常小。（2）追加连枝设在该网络节点、之间追加链支后阻抗矩阵变为。由于在这种情况下并未增加新的节点，所以的阶数和一样。现在来研究在追加链支后如何由求中的各个元素的问题。为此，向新网络注入电流 （1-107）设节点电压的列向量为: （1-108）则应满足 （1-109）设新追加支路的电流为，方向从到，则流入原网络的电流为 （1-110）式中是新追加支路与原网络节点的关联矢量。由原网络的节点电压方程知： （1-111）令 （1-112）则是一列矢量 （1-113）式（1-113）各元素为节点注入电流1，节点注入电流-1时，各节点的电压，代入式（1-111）得: （1-114）支路两端电压和流过的电流之间关系可用下式表示： （1-115）将式（1-114）代入式（1-115）中可以得到: 由此式即可解出 （1-116）式中 （1-117） （1-118）将式（1-116）代入式（1-114）可以得到: （1-119）即可得到追加链支以后，网络的阻抗矩阵为: （1-120）将上式展开，即可得到新阻抗矩阵中各元素的计算公式:， （1-121）式中，和分别为矢量第和第个元素。如前所述，在追加树支时运算量很小，但追加链支时必须按式（1-121）修正原来网络阻抗矩阵的全部元素，运算量很大。在采用支路追加法时，形成阻抗矩阵的速度主要决定于追加链支所需要的运算量。支路追加的顺序对运算量有很大的影响。因此，为了减少追加链支过程的运算量，必须合理地安排支路追加的顺序，尽可能在矩阵阶数较小(即节点较少)的情况下追加链支。（3）追加变压器支路对于变压器支路，可以先化成型等值电路，然后逐条追加三条支路。这样显著地增加了运算量。下面介绍一种不用变压器等值电路，直接追加变压器支路的方法。首先讨论变压器是树支的情况。如图，变压器的漏抗是放在标准变比侧，当漏抗放在非标准变比侧时，可以用下述类似的方法推导出相应的计算公式。设原网络N的阻抗矩阵为，追加变压器树支以后，阻抗矩阵增加了一阶，变为。显然，在追加变压器支路后并不改变原网络各节点注入电流与各节点电压的关系，所以中左上角m阶子矩阵就是原网络的阻抗矩阵。为了求出中新增加的元素，可在节点注入单位电流而让其余节点开路。如上图所示，这时相当于从节点侧向原网络通入电流K，根据叠加原理原网络各