安徽省芜湖市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版).doc

芜湖市2018-2019学年度第一学期期末学习质量检测高三数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【详解】，故，则，则.2.设，则（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【详解】，则，故，选B.3.长方形中，为的中点，在长方形内任取一点，则的概率为（ ）A. B. C. D. 【详解】如图所示：长方形面积为2，以为圆心，1为半径作圆，半圆的面积为，当点在阴影部分内时，满足，则.4.若双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. 2 D. 【详解】由题意知，渐近线与直线垂直，则，解得，则离心率.故答案为A.5.已知向量，满足，则（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【详解】由题意，则.故答案为A.6.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 或【详解】因为函数为奇函数，所以，即，则恒成立，故，故，故在点处的切线方程为，即.故答案为C.7.若，则，大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【详解】取特殊值，令，则，则，即，可排除A、C、D选项，故答案为B.8.函数的大致图象为( )A. B. C. D. 【详解】当时，,可排除选项；当时，可排除选项，故选A.9.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）A. B. C. D. 【详解】由题意，其中，对函数的图象向右平移个单位后得到，故，则，则，故.故答案为D.10.如图所示，正方体边长为2，为的中点，为线段上的动点（不含端点），若过点，的平面截该正方体所得截面为四边形，则线段长度的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【详解】由题意，正方体的棱长为2，如下图，当点在线段的中点时，截面为四边形，当时，截面为四边形，当时，截面与正方体上底面也相交，截面为五边形，故答案为A.11.已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【详解】由题意知，设，则，将，两点坐标代入椭圆方程，两式相减得，则，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，则，则，解得.12.已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【详解】等式可化为，构造函数在单调递减，最小值为，最大值为，构造函数，求导，当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，则，的最小值为，因为对任意，总存在唯一的，使得成立，则，即.故答案为B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为_（用数字填写答案）【详解】由，故常数项为.14.设，满足约束条件，则的最小值为_【详解】画出，满足的可行域，由解得点,当目标函数过点时，取得最小值为. 15.在我国古代数学经典名著九章算术中，将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的外接球的半径是3，其三视图如图所示，记正视图，侧视图，俯视图的面积和为，则的最大值是_.【详解】根据三视图可知该几何体为三棱锥（如下图），三棱锥中，则，取的中点为，易证三角形和三角形都是直角三角形，可知，故三棱锥的外接球球心为点，则，故，则，（当且仅当时取“=”），故，因为，所以. 16.在中，已知，若，则周长的取值范围为_【详解】由题意，即，可化为，即，因为，所以，即，设的内角的对边分别为，由余弦定理得，因为，（当且仅当时取“=”），所以，即，又因为，所以，故，则，又因为，所以，即.故周长的取值范围为.三、解答题：共70分.17.数列的前项和为，.数列满足，已知数列的前项和为.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式.【详解】（1）由，当时，两式相减，得.由知.故.即数列是首项为2，公比为2的等比数列，.（2）设为数列的前项和，则，当时，两式相减得，经验证当时也成立，故，当时，故当时，.利用错位相减法可求得，.又也符合上式，故数列的通项公式为.18.如图1，是等腰直角三角形，分别是，上的点，.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取中点，连接，因为，为中点，所以，则，.在中，.在中，所以.，平面.又平面，所以平面平面.（2）以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设为平面的法向量，则，即，令，得.又，所以.即与平面所成角的正弦值为.19.“人民对美好生活的向往，就是我们的奋斗目标.”以习近平同志为核心的党中央，把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置.2018年末，某市为评估全市脱贫攻坚成果，从全市农村家庭中随机抽取100户，将其人均纯收入（单位：百元）作为样本，分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图（如图）.（1）根据样本数据，求的数值并估计样本的平均数；（2）以样本数据来估计总体数据，从全市农村家庭中随机抽取3户家庭，其人均纯收入在内的家庭个数为，求的分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，得，解得.样本的平均值为，故估计样本的平均数是29.6.（2）利用样本估计总体，人均纯收入落在内的概率为，则，.分布列为：0123即.20.在直角坐标系中，已知，为抛物线：上两点，为抛物线焦点.分别过，作抛物线的切线交于点.（1）若，求；（2）若，分别交轴于，两点，试问的外接圆是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设其为，则.设，则由根与系数关系有 由可得 结合可求得.所以.（2）的外接圆过定点，抛物线方程为，求导得，设，可知直线方程，令，得，故，.所以.同理可得.故，四点共圆，即的外接圆过定点.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的极值点，且，证明：.【详解】（1）的定义域为，.当时，函数在，单调递增，在单调递减；当时，在单调递增.（2）由（1）知，是方程的根，故，故，当时，函数单调递减，.又 .令，则.设，则，函数在上单调递增.，.即原不等式得证.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程分别为，设直线与曲线的交点为，求的面积.试题解析：（1）由参数方程，得