浅析极限的若干求法 摘要.doc

淮北师范大学信息学院 2014 届学士学位论文 浅析极限的若干求法系 别: 数学系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 20101884062 姓 名: 邵田田 指 导 教 师: 陈冬君 指导教师职称: 讲 师 2014年 03月 18 日25 目 录 一 浅析极限若干求法的摘要、关键词及英文翻译.5 二 引言.6 三 极限的定义性质及作用.7 四 极限的计算及多种方法.7 五 定义法.8 六 极限的四则运算法则求极限.8 七 两个重要的极限公式求极限.9 八 利用左右极限求分段函数在分界点的极限.10 九 函数的连续性求极限.10 十 利用无穷小量的性质以及无穷小量和无穷大量之间的关系求极限.11 十一 等价无穷小量代换求极限.11 十二 导数的定义求极限.12 十三 微分中值定理求极限.14 十四 积分中值定理求极限.15 十五 洛必达法则求极限.15 十六 定积分的定义求极限.17 十七 级数收敛的必要条件.求极限.18 十八 利用递推公式计算或证明序列求极限.18 十九 利用变量替换求极限.19二十 换元法求极限.20 二十一 黎曼引理求极限.20 二十二 .两边夹定理求极限.21 二十三 斯特林公式.22 二十四 向量模公式求极限.22 二十五 加权算术平均值定理求极限.23 二十六 周期函数性质求极限.23 提 纲一 极限的定义与性质二 极限的18种求法1 利用极限的定义16利用变量代换2 利用极限的四则运算性质17利用黎曼引理3 利用两个重要极限公式18利用不等式使用两边夹4 利用单侧极限5 利用函数的连续性6 利用无穷小量7 利用等价无穷小代换8 利用导数的定义9 利用微分中值定理10利用积分中值定理11利用洛必达法则12利用定积分的定义13利用级数收敛的必要条件14利用泰勒展开式15利用换元法 四种方法的补充1斯特林公式2向量模公式3加权算术平均值定理4周期函数性质三 总结大纲对极限的求法作了一下小结,归纳了18种求极限的基本方法和四种补充方法.对一般的极限用上面的方法可以求出来,复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，对某个具体求极限的问题, 我们应该追求合适的方法. 浅析极限的若干求法淮北师范大学信息学院 2010级数学与应用数学 邵田田 指导老师：陈冬君 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十八种方法, 1： 利用极限的定义2：利用两个准则求极限, 3:利用极限的四则运算性质求极限, 4:利用两个重要极限公式求极限, 5：利用单侧极限求极限，6：利用函数的连续性求极限, 7：利用无穷小量的性质求极限,8：利用等价无穷小量代换求极限, 9：利用导数的定义求极限, 10：利用中值定理求极限, 11：利用洛必达法则求极限, 12：利用定积分求和式的极限,13：利用级数收敛的必要条件求极限, 14：利用泰勒展开式求极限, 15：利用换元法求极限，16：利用变量代换，17：利用黎曼引理 18：利用不等式使用两边夹。另外还有四种不常见的求极限方法的补充。关键词: 夹逼准则,单调有界准则,无穷小量的性质,洛必达法则,中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件,变量代换,黎曼引理 翻 译：This text mainly summarizes the eighteen ways of how to solve the limit for the Mathematical analysis，For example ,two standard, the definition of the limit ,the nature of the arithmetic of the limit, the limit of one sided,the continuity of the function, the nature of dimensionless, equivalent infinite small substitution, the definition of reciprocal,the mean value theorem,LHospitalrule, definite integral summation formula,the necessary condition of convergent series, the Taylor expansion, the change element method, the variable substitution, the Riemann lemma,the two sides clip of the inequality .Besides,we have four more methods to solve the question of limit. 引 言 极限概念是高等数学概念中最基本的部分之一，是微积分的理论基础。极限的思想方法贯穿于高等数学课程的始终，可以说是高等数学中几乎所有概念都离不开极限。并且极限计算是极限理论的重要组成部分，有着广泛的实际应用，因此学好和掌握极限的求法和技巧是学好高等数学的前提和基础。与此同时，极限理论在现代数学和物理学中有着广泛的应用。目前，国内外有很多学者在极限的理论方面做了很多研究和贡献，并有很多学报和学术性论文都有所涉及，这里我们仅是对极限的求法和技巧做出总结和归纳，并针对不同的问题用不同的方法进行处理，以便很好的掌握极限的求法和技巧。即便在这方面已经有很大的发展但仍有必要进行全面的探索和研究。当然对于未来数学以及现实生活的应用对极限求法的扩大是有必要的也是有价值的。本文主要探讨、总结求极限的一般方法利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法,同时又补充了四种不常见的求极限的方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余.一一：极限的定义性质及作用学习微积分学，首要的一步就是要理解到“极限”引入的必要性，因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是数学家们精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以的麻烦，而引入了一个任意无穷小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个无穷小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意无穷小量，我们就说他的极限为该数你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。数列极限标准定义：对数列，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限。函数极限标准定义：设函数大于某一正数时有定义，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是函数在无穷大处的极限。设函数在处的某一去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意，总存在正数，使得当时，成立，那么称是函数在处的极限。函数极限具有的性质：性质 1（唯一性） 如果存在，则必定唯一性质 2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界性质 3（保序性） 设性质4（迫敛性）设，且在某内有，则数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二：极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例1: 按定义证明.解: 令,则让即可,存在,当时,不等式: 成立,所以.2.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例2: 求,其中.解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,原式 3.利用两个重要极限求极限两个重要极限分别是和由于第一个重要极限过于简单且能够通过等价无穷小来得到。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用这种方法来求此类极限。一般常用的方法是换元法和配指数法例： 解： 例 求极限分析：主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。 解： 4.利用左右极限求分段函数在分界点处的极限分析：单侧极限定理 例4,求极限解：由于 由于，由单侧极限定理可知不存在。 5.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数在点连续，则 及若且f(u)在点a连续，则有例5：求的极限解：由于及函数在处连续，故6.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先, 我们可以利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时经常用到;然后利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算更加简化。 例6 求极限的值解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以 仍是无穷小量，因此=07.利用等价无穷小量代换来求极限定理：设函数在内有定义，且有1.若则2.若则 性质 1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质 2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量； 性质 3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理 5 设,均为无穷小, 且, 且存在,则 . 所谓等价无穷即称与是时的等价无穷小证明： 可类似证明，在此就不再次证明了！ 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例7：求的极限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有，.另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，；，而推出的则得到的结果是错误的。小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。8：利用导数的定义求极限 导数的定义1：函数f(x)在附近有定义，则 如果存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点的导数。导数的定义2：设函数在点的某个邻域内有定义, 若极限 存在,则称函数在点处可导, 并称该极限为函数在点处的导数, 记作. 例：求 解：取f(x)= .则 例： 设存在, 求. 解: .9：利用微分中值定理求极限 用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理） 定理 (拉格朗日中值定理)若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续； (2)在开区间上可导,则在上至少存在一点,使得 . 例 求,其中.解: 由题意, 可对和分别应用拉格朗日中值定理, 则 原式= = =（其中). 例 计算.解: 设, 由于在上连续, 在内可导. 于是, 由微分中值定理知 .当 , 所以 10：利用积分中值定理求极限定理 设与都在上连续, 且在上不变号, 则至少存在一点, 使得 .例 10 求极限.解: 取, , , 则在上的最小值, 最大值, 由积分中值定理知 .因为, 所以.11：用洛必达法则求极限 洛必达法则为：假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：和的极限都是或都是无穷大；和都可导，且的导数不为；存在（或是无穷大），则极限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意一些必要的条件。例:求解: 是待定型. 例：. 解： 这是一个型的不定式极限, 用恒等变形将它转化为 型不定式极限, 并应用罗必达法则得到 .例 ： 求. 解: 这是型极限,先转化成, 其指数是型极限, 由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知 , 因此由复合函数求导得 原式. 注 对于一般抽象函数求极限时, 如果已知它的导数是存在的, 则经常利用导数的定义求极限.注：运用洛必达法则应注意以下几点。1、要注意条件，也就是说，在没有化为时是不可求导的。2、应用洛必达法则，要分别去求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是不定式，若不是不定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会出现错误。12：利用定积分的定义来求极限求数列极限是数学分析的基本技能之一，在一些情况中可以将数列运算转化为对定积分的运算。这是计算数列极限的较常用的而且较简单方便的方法。 例求解: 设,则在内连续,所以, 所以原式例：计算数列极限解：将数列变形=令它是n等分区间，取右端点的积分和，已知函数在可积，于是，由积分定义可知13：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数展开式求极限 例 13 . 解: 利用幂级数的展开式, 可得 原式 .注 从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式. 利用级数收敛的必要条件求极限定理 若级数收敛, 则它的一般项趋于零.14：.利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质。例14：（1）设，对，定义。证明 且时，（2）若c为任意的正数。置于（1）的递推公式中，给出，假设，则当时，解：（1）对任意的n, ，而且，因为 推得，因此，序列是单调递增且有界，它的极限存在，设为x，从递推公式中得到 解得，即。（2）因为且对任意的，可以在上作归纳证明，对任意的，。由知，所以序列是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式可求的其极限为 15：利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例15： 已知， 试证证明：令则时，于是 易知当时第二、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因（当时），故有界，即，使得。故例15(2):求 解：先作代换，则，且可得： 16：利用换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例16： 求 解：令 则 117：利用黎曼引理求极限定理 12 若在上可积, 是以为周期的函数, 且在上可积, 则有 . 例 17 计算.解： 因为的周期为, 18：利用夹逼性定理求极限如果某个极限不容易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当