近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解.doc

近几年中考数学中的动点问题分析与方法讲解近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题。动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察。问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性。 解决这类问题的策略一般有：1.把握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系。2.特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，化动为静，由特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊图形等）过渡到一般情形。要抓住图形在动态变化中暂时静止的某一瞬间，将这些点锁定在某一位置上，问题的实质就容易显现出来，从而得到解题的方法。3.画出图形，这一步很重要。因为随着点的移动，与之相关的一些图形肯定随着改变，而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变。所以，一定要画图，不能凭空想象。4.当一个问题是有关确定图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊值时，通常建立方程模型求解。一般会涉及到全等和相似。所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想中考数学（动点问题）考试分析200920102011动点个数两个 一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含60的特殊菱形；AOB是底角为30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）共同点 特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； 求直线、抛物线解析式； 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 典型例题（历年真题）一、三角形边上动点xAOQPBy1、（2009年齐齐哈尔市）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标解：1、A（8，0） B（0，6）2、当0t3时，S=t2 当3t8时，S=38(8-t)t提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP为边、OQ为边，OP为边、OQ为对角线，OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、（2009年衡阳市）如图，AB是O的直径，弦BC=2cm，ABC=60（1）求O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与O相切；图（3）ABCOEFABCOD图（1）ABOEFC图（2）（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，BEF为直角三角形注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结（1）求该抛物线的解析式；xyMCDPQOAB（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 当OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。4、（2011江苏淮安，28，12分）如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S.(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；(2)当0t2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；（2）正方形EFGH与ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：当0t时；当t时；当t2时；依次求S与t的函数关系式；（3）当t=5时，面积最大；解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，正方形EFGH的边长是4；（2）：当0t时， S与t的函数关系式是y=2t2t=4t2；当t时， S与t的函数关系式是： y=4t22t（2t）2t（2t） =t2+11t3；当t2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）（t+2）（2t）（2t）=3t；（3）当t=5时，最大面积是： S=16=；点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力5、（2011江苏徐州，27，8）如图，在ABC中，AB=AC，BC=acm，B=30动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线BAC运动到点C时停止运动设点P出发x s时，PBC的面积为y cm2已知y与x的函数图象如图所示请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，DOE与ABC相似？考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：（1）首先作DFOE于F，由AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得DOE是等腰三角形；（2）设D（,），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=时，DOEABC41解答：解：（1）DOE是等腰三角形作DFOE于F，AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，点P在边AB和AC上的运动时间相同，点F是OE的中点，DF是OE的垂直平分线，DO=DE，DOE是等腰三角形（2）由题意得：D（,），DO=DE，AB=AC，当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，在RtDOF中，tanDOF=，由=tan30=，得a =，当a=时，DOEABC点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用6、（2011郴州）如图，RtABC中，A=30，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动作PMPQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F（1）求证：PQEPMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形。分析：（1）由EPF=QPM=90，利用互余关系证明PQEPMF；（2）相等运动速度相等，时间相同，则BP=BQ，B=60，BPQ为等边三角形，可推出MPA=A=30，等角对等边；（3）由面积公式得SPEM=PEPF，解直角三角形分别表示PE，PF，列出函数式，利用函数的性质求解解答：证明：（1）PEBC，PFAC，C=90，PEQ=PFM=90，EPF=90，即EPQ+QPF=90，又FPM+QPF=QPM=90，EPQ=FPM，PQEPMF；（2）相等PB=BQ，B=60，BPQ为等边三角形，BQP=60，PQEPMF，PMF=BQP=60，又A+APM=PMF，APM=A=30，PM=MA；（3）AB=20，BP=x，则AP=20x，PE=xcos30=x，PF=（20x），SPEM=PEPF，y=x=（20xx2）=（x10）2+（0x10）当x=10时，函数的最大值为点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系7、 （2011成都，20，10分）如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点（1）若BKKC，求的值；（2）连接BE，若BE平分ABC，则当AEAD时，猜想线段ABBCCD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当AEAD（n2），而其余条件不变时，线段AB，BC，CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。专题：计算题；几何动点问题。分析：（1）由已知得，由CDAB可证KCDKBA，利用求值；（2）ABBCCD作ABD的中位线，由中位线定理得EFABCD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得GEBEBAGBE，则EGBGBC，而GFCD，EFAB，利用EFEGGF求线段ABBCCD三者之间的数量关系；当AEAD（n2）时，EGBGBC，而GFCD，EFAB，EFEGGF可得BCCD（n1）AB解答：解：（1）BKKC， 又CDAB，KCDKBA，； （2）当BE平分ABC，AEAD时，ABBCCD证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，由中位线定理，得EFABCD，G为BC的中点，GEBEBA，又EBAGBE，GEBGBE，EGBGBC，而GFCD，EFAB，EFEGGF，ABBCCD；当AEAD（n2）时，BCCD（n1）AB 8、（2011山东青岛，24，10分）如图，在ABC中，AB=AC=10cm，BDAC于点D，且BD=8cm点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F连接PM，设运动时间为ts（0t5）（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=SABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理。专题：综合题。分析：（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；（2）过点P作PE垂直AC由PQ运动的速度和时间t可知线段BP=t，根据PQAC可得PBQABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=102t最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM=SABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到AHMADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值解答：解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PMQC，AP=AM，即10t=2t，解得t=，当t=s时，四边形PQCM是平行四边形；（2）过P作PEAC，交AC与E，如图所示：PQAC，PBQABC，PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，,即，解得BF=，FD=BDBF=8，又MC=ACAM=102t，y= ；（3）SABC=，当y=SABC=时，解得（舍去）；（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，过M作MHAB，交AB与H，A=A，AHM=ADB=90，AHMADB，又AD=，即，在直角三角形HMP中，又MC2=（102t）2=10040t+4t2，MP2=MC2，即解得：，t2=0，t=s时点M在线段PC的垂直平分线上点评：本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问和第四问都属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的9、（2011湖南长沙，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：动点问题 等边三角形 全等三角形 梯形 探索存在问题专题：动点问题 压轴题分析：（1）在边长为2的正ABO中，过过点B作BCy轴于点C，由特殊角的三角函数值易求BC，OCAC1，从而B（）（2）由于ABO和APQ都是正三角形，得PAQOAB60，从而PAOQAB，再加上APAQ，AOAB，利用“SAS”可证明APOAQB，从而ABQAOP90总成立，即当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值90（3）梯形中只有一组对边平行，故四边形要是梯形，就得看哪两组对边平行，由（2）易知点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行此时，分两种情况讨论ABOQ，即点P在原点O的两侧（左右两边时）如下面两图，左图，在RtBOQ中，BQO90，BOQABO60又OBOA2，可求得BQ，APOAQB，从而OPBQ，故此时P的坐标为（）如右图，当AQOB时，在RtABQ中，ABQ90，QABABO60，由AB2，可得OPBQ2，从而P的坐标为（2，0）解答：（1）如下图，过点B作BCy轴于点CA（0，2），AOB为等边三角形ABOB2，BAO60，BC，OCAC1，B（）（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性PAQOAB60PAOQAB在APO和AQB中，APAQ，PAOQAB，AOABAPOAQB总成立，ABQAOP90总成立，当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值90（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行如下图，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若ABOQ，四边形AOQB即是梯形，当ABOQ时，BQO90，BOQABO60又OBOA2，可求得BQ，由（2）可知，APOAQB，OPBQ，此时P的坐标为（） 如上图，当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQOB，则四边形AOQB即是梯形，当AQOB时，ABQ90，QABABO60又AB2，可求得BQ，由（2）可知，APOAQB，OPBQ，此时P的坐标为（）综上，P的坐标为（）或（）点评：本题是第二道压轴题，在平面直角坐标系中，以两条坐标轴上的一个定点（y轴）与一个动点（x轴）为出发点，构造两个等边三角形，由此设计三个有梯度的问题：第一题是基础题，求定点B的坐标；而第二题求证ABQ为定值，从而等边三角形的性质不难发现：通过证明两三角形全等可以解决问题；真正压轴是最后一问，探索当以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形时动点P的坐标，这会让大多数考生非常纠结的问题：当静下心来思索，就会发现AO与BQ不平行，此时目标只指另外一组对边ABOQ，结合第二问题的结论，用分类思想结合画图，就会豁然开朗10、（2011江苏无锡，27，10分）如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿OAB的边0A、AB、B0作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形考点：直线与圆的位置关系；解一元一次方程；坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质。专题：计算题；代数几何综合题；动点型。分析：（1）根据点P与直线l的距离d1分为点P在直线l的左边和右边，分别表示距离，列不等式组求范围；（2）四边形CPBD不可能为菱形依题意可得AC=t，OC=4t，PA=3t4，PB=73t，由CDAB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD=PB可求t的值，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=73t，把t代入PA2+AC2，PC2中，看结果是否相等如果结果不相等，就不能构成菱形设直线l比P点迟a秒出发，则AC=ta，OC=4t+a，再利用平行线表示CD，根据CD=PB，PCOB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可解答：解：（1）当P在线段OA上运动时，OP=3t，AC=t，P与直线l相交时，解得t；（2）四边形CPBD不可能为菱形依题意，得AC=t，OC=4t，PA=3t4，PB=73t，CDAB，即，解得CD=（4t），由菱形的性质，得CD=PB，即（4t）=73t，解得t=，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=73t，当t=时， 代入PA2+AC2=（3t4）2+t2=，PC2=（73t）2=，PA2+AC2PC2，就不能构成菱形设直线l比P点迟a秒出发，则AC=ta，OC=4t+a，由CDAB，得CD=（4t+a），由CD=PB，得（4t+a）=73t，解得t=，PCOB，PC=CD，得，即ABPC=OBAP，3（4t+a）=5（3t4），解得t=，则=，解得a=，即直线l比P点迟秒出发点评：本题考查了直线与圆的关系，勾股定理的运用，菱形的性质关键是根据菱形的性质，对边平行，邻边相等，得出相似比及边相等的等式，运用代数方法，列方程求解二、特殊四边形边上动点PQABCD1、（2009年吉林省）如图所示，菱形的边长为6厘米，从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： （1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；（3）求与之间的函数关系式提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ； 提醒- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。2、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，MPB与BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值OMBHACxy图（2）OMBHACxy图（1）注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类； 第（3）问发现MBC=90，BCO与ABM互余，画出点P运动过程中， MPB=ABM的两种情况，求出t值。 利用OBAC,再求OP与AC夹角正切值.3、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，C（0，2)动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF设运动时间为t秒(1)求ABC的度数；(2)当t为何值时，ABDF；(3)设四边形AEFD的面积为S求S关于t的函数关系式；若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S2时，求m的取值范围(写出答案即可)注意：发现特殊性，DEOA4、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0t时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答过程提示：第（3）问用相似比的代换，得PF=OA（定值）。 第（4）问按哪两边相等分类讨论PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.5、（2011山西，26）如图，在平面直角坐标系中四边形OABC是平行四边形直线l经过O、C两点点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11.4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一CB相交于点M当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t0）MPQ的面积为S（1）点C的坐标为，直线l的解析式为 （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题；数形结合；分类讨论。分析：（1）由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标，将C点坐标代入正比例函数即可求得直线l的解析式；（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t，根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论，得到三种S关于t的函数，解题时注意t的取值范围；（3）分别根据三种函数解析式求出当t为何值时，S最大，然后比较三个最大值，可知当当t=时，S有最大值，最大值为；（4）根据题意并细心观察图象可知；当t=时，QMN为等腰三角形解答：解：（1）由题意知：点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11.4），且OA=BC，故C点坐标为C（3，4），设直线l的解析式为y=kx，将C点坐标代入y=kx，解得k=，直线l的解析式为y=x；故答案为（3，4），y=x；（2）解：根据题意，得OP=t，AQ=2t分三种情况讨论：当0t时，如图l，M点的坐标是（t， t）过点C作CDx轴于D，过点Q作QEx轴于E，可得AEOODC，AE=，EQ=Q点的坐标是（8+，），PE=8+S=t当t3时，如图2，过点q作QFx轴于F，BQ=2t5，OF=11（2t5）=162tQ点的坐标是（162t4），PF=162tt=163tS=当点Q与点M相遇时，162t=t，解得t=当3t时，如图3，MQ=162tt=163t，MP=4S=4（163t）=6t+32中三个自变量t的取值范围（8分）评分说明：、中每求对l个解析式得（2分），中求对解析式得l分中三个自变量t的取值范围全对才可得（1分）（3）解：当0t时，S=a=0，抛物线开口向上，对称轴为直线t=20，当0t时，S随t的增大而增大当t=时，S有最大值，最大值为当t3时，S=2t2+a=20，抛物线开口向下当t=时，S有最大值，最大值为当3t时，S=6t+32，k=60S随t的增大而减小又当t=3时，S=14当t=时，S=00S14综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为评分说明：各（1分），结论（1分）；若中S与t的值仅有一个计算错误，导致最终结论中相应的S或t有误，则与结论不连续扣分，只扣（1分）；中考生只要答出S随t的增大而减小即可得分（4）当t=时，QMN为等腰三角形点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题6、（2011梧州，26，12分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm动点P、Q都从点C出发，点P沿CB方向做匀速运动，点Q沿CDA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）求CD的长；（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQDC，请你直接写出a的取值范围考点：直角梯形；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；解直角三角形。分析：（1）过D点作DHBC，垂足为点H，则在RtDCH中，由DH、CH的长度，运用勾股定理即可求出CD的长；（2）由于点P在线段CB上运动，而点Q沿CDA方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上针对每一种情况，都可以过Q点作QGBC于G由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）令DQ=CP，Q点在AD边上，求出a的取值范围解答：解：（1）过D点作DHBC，垂足为点H，则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cmCH=BCBH=146=8cm在RtDCH中，DHC=90，CD=8cm（2）当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t当点Q在CD上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则QC=2t又DH=HC，DHBC，C=45在RtQCG中，QG=QCsinC=2tsin45=2t又BP=BCPC=14t，SBPQ=BPQG=（14t）2t=14tt2当Q运动到D点时所需要的时间t=4S=14tt2（0t4）当点Q在DA上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则：QG=AB=8cm，BP=BCPC=14t，SBPQ=BPQG=（14t）8=564t当Q运动到A点时所需要的时间t=4+S=564t（4t4+）综合上述：所求的函数关系式是：S=14tt2（0t4），S=564t（4t4+）；（3）要使运动过程中出现PQDC，a的取值范围是a1+点评：本题考查了动点与图形面积问题，需要通过题目的条件，分类讨论，利用特殊三角形，梯形的面积公式进行计算7（2011株洲，23，）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质。专题：证明题；动点型。分析：（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出ADBC，PDO=QBO，再根据O为BD的中点得出PODQOB，即可证出OP=OQ（2）本题需先根据已知条件得出A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，证出ODPADB，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBCPDO=QBO，又OB=OD，POD=QOBPODQOBOP=OQ（2）PD=8t四边形ABCD是矩形，A=90，AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm当四边形PBQD是菱形时，PQBD，POD=A，又ODP=ADBODPADB，即，解得t=，即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形点评：本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键8、（2011丹东，25，12分）己知：正方形ABCD（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当090时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当a=90时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE请直接写出结论（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当90180时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质。专题：证明题。分析：（1）根据正方形的性质，AB=AD，由AE=AF，可得BE=DF且BEDF；（2）通过证明DFABEA，可得（1）中的结论依然成立；（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=AD，解答出即可；（4）如图，通过证明DAFBAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状；解答：证明：（1）BE=DF且BEDF；（2）在DFA和BEA中，DAF=90FAB，BAE=90FAB，DAF=BAE，又AB=AD，AE=AF，DFABEA，BE=DF；ADF=ABE，BEDF；（3）AE=（1）AD；（4）正方形点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线及正方形的性质，本题的综合性较强，掌握并熟练应用以上性质是解答本题的关键9、（2011天水，26）在梯形OABC中，CBOA，AOC=60，OAB=90，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边DEF，DE在x轴上（如图（1），如果让DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止（1）设DEF运动时间为t，DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式（2）探究：在DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）根据F与B重合前后及E与A重合前后，分三种情况求S关于t的函数关系式；（2）依题意得D（4t，0），求出直线OC解析式，根据DFOC确定直线DF解析式，再由OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标，代入直线DF解析式求t，判断是否符号t的取值范围即可解答：解：（1）依题意得OA=5，当0t1时，s=t2，当1t2时，s=（2t）2=t2+2t，当2t5时，s=；（2）不存在依题意，得C（1，），B（5，），抛物线对称轴为x=3，抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x6），将C点坐标代入，得a= ，y=x（x6）=x2+x，由C点坐标可知，直线OC解析式为y=x，DFOC，设直线DF解析式为y=x+k，将D（4t，0）代入得k=（t4），直线DF：y=x+（t4），设OAG的OA边上高为h，由SOAG=S梯形OABC，得5h=（4+5），解得h=，将y=代入y=x（x6）中，得x=33，F（33，）或（3+3，），分别代入直线DF：y=x+（t4）中，得t=+3或3，但0t5，不存在10、（2011泰州，28，12分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限（1）当BAO=45时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：几何动点问题；几何综合题。分析：（1）当BAO=45时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标（2）过P点做x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线（3）因为点P在AOB的平分线上，所以h0解答：解：（1）BPA=90，PA=PB，PAB=45，BAO=45，PAO=90，四边形OAPB是正方形，P点的坐标为：（a，a）（2）作PEx轴交x轴于E点，作PFy轴交y轴于F点，BPE+EPA=90，EPB+FPB=90，FPB=EPA，PFB=PEA，BP=AP，PBFPAE，PE=PF，点P都在AOB的平分线上（3）因为点P在AOB的平分线上，所以h0点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点11、（2011江苏无锡，26，6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。专题：作图题；几何综合题。分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、1，翻转角分别为90、90、15