近世代数基础.ppt

序 课程说明 近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位 而且在其它学科中也有广泛的应用 如理论物理 计算机学科等 其研究的方法和观点 对其他学科产生了越来越大的影响 群 环 域 模是本课程的基本内容 集合论初步与高等代数 线性代数 是学习本课程的准备知识 本课程学习以后可以继续研读 群论 环论 模论 李群 李代数 计算机科学等 近世代数 课程的讲授为一个学期 共72学时 内容包括第1章到第4章的内容 近世代数 是理论性较强的课程 由于教学时数所限 本课程的理论推证体例较少 因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握 熟悉各种公式和定理的运用 从而达到消化 掌握所学知识 体会 近世代数 的思想和方法的目的 由此可知 独立完成作业是学好本课程的重要手段 近世代数是一门十分活跃又发展迅速的学科 它的概念众多 内容丰富 作为一门基础课 又限于教学时数 教学时只能择其最基础的概念和基本的内容 因此 有的课本就名曰 近世代数基础 高度的抽象是近世代数的显著特点 它的基本概念 群 环 域 对初学者也是很抽象的概念 因此 在本课程的学习中 大家要多注意实例 以加深对概念的正确理解 近世代数的习题 因抽象也都有一定的难度 但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节 因此 应适当做一些习题 为克服做习题的困难 应注意教材内容和方法以及习题课内容 中文 近世代数 英文 AbstractAlgebra教材1 张禾瑞 高等教育出版 1978年修订本 教材 徐德余 唐再良等编著 川大出版社 年 月 主要参考书1 B L 瓦德瓦尔登著 代数学 卷 科学出版社1964年版2 N 贾柯勃逊著 抽象代数1 2 3卷 科学出版社1987年出版3 刘绍学著 近世代数基础 高等教育出版社1999年出版4 石生明著 近世代数初步 高等教育出版社2002年出版 5 近世代数 吴品山 人民教育出版社 1979 6 抽象代数学 谢邦杰 上海科学技术出版社 1982 7 抽象代数基础 刘云英 北京师范大学出版社 1990年 8 杨子胥 高等教育出版社 2003年 在学习 近世代数 这门课之前 有必要了解一下有关近世代数的由来 这有利于这门课程的学习 概述 1 近世代数理论的三个来源 1 代数方程的解 2 Hamilton四元数的发现 3 Kummer理想数的发现 下一页 1 代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程 ax2 bx c 0 16世纪初欧洲文艺复兴时期之后 求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题 1545年意大利数学家G Cardano 1501 1576 在他的著作 大术 ArsMagna 中给出了三 四项多项式的求根公式 此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法 但是都失败了 直到1824年一位年青的挪威数学家N Abel 1802 1829 才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式 但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加 减 乘 除有理运算以及开方的方法求出它的所有根 什么条件之下不能求根 最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E Galois 1811 1832 Galois引入了扩域以及群的概念 并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则 在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域 这是近世代数产生的一个最重要的来源 加罗华 阿贝尔 返回 2 Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法 后来发现可以把复数看成二元数 a b a bi 其中i2 1 二元数按 a b c d a c b d a b c d ad bc ac bd 的法则进行代数运算 二元数具有直观的几何意义 与平面上的点一一对应 这是数学家高斯提出的复数几何理论 二元数理论产生的一个直接问题是 是否存在三元数 经过长时间探索 力图寻求三元数的努力失败了 但是爱尔兰数学家W Hamilton 1805 1865 于1843年成功地发现了四元数 四元数系与实数系 复数系一样可以作加减乘除四则运算 但与以前的数系相比 四元数是一个乘法不交换的数系 从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步 四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点 它是近世代数的另一个重要理论来源 返回 3 Kummer理想数的发现17世纪初法国数学家费马 P Fermat1601 1665 研究整数方程时发现当n 3时 方程xn yn zn没有正整数解 费马认为他能够证明这个定理 但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题 这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理 此定理直到1995年才被英国数学家A Wiles证明 对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过 欧拉 高斯等著名数学家都对此作出过重要贡献 但最重大的一个进展是由E Kummer作出的 Kummer的想法是 如果上面的方程有正整数解 假定 是一个n次本原单位根 那么xn yn zn的等式两边可以作因子分解zn x y x y x n 1y 象整数中的因子分解一样 如果等式右边的n个因子两两互素 那么每个因子都应是另外一个 复整数 的n次方幂 进行适当的变换之后有可能得到更小的整数x1 y1 z1使xn yn zn成立 从而导致矛盾 如果上面等式右边的n个因子有公因式 那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论 Kummer方法的前提是形如a b 的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解 其中a与b是通常整数 并不是对于每个整数n 复整数a b 都具有唯一分解性 Kummer把这种复整数的因子分解称为理想数的分解 用这种方法Kummer证明了n 100时费马大定理成立 理想数的方法不但能用于费马问题研 实际上是代数数论的重要研究内容 其后德国数学家R Dedekind 1831 1916 把理想数的概念推广为一般的理想论 使它成为近世代数的一个重要的研究领域 理想数的诞生 库麦尔ErnstEdwardKummer 1810 1893 德国人1845至1847年间 提出了 理想数 的概念 又提出 正规质数 的概念 并证明当n为正规质数时 费尔马最后定理 成立 返回 近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的数学分支 1930年荷兰数学家范德瓦尔登 B LvanderWearden1930 1996 根据该学科领域几位创始人的演讲报告 综合了当时近世代数的研究成果 编著了 近世代数学 ModerneAlgebra 一书 这是该学科领域第一本学术专著 也是第一本近世代数的教科书 代数学 Algebra 简介 代数学包括 抽象代数 布尔代数 关系代数 计算机代数 下一页 1 抽象代数 AbstractAlgebra 也叫近世代数 研究的主要内容涵盖群 环 域 抽象代表的是将研究对象的本质提炼出来 加以高度概括 来描述其形象 欧式环 就是在将整数和多项式的一些相同的特点加以综合提炼引入的 抽象代数提供的一些结论为我们研究一些具体问题时所需使用的一些性质提供了依据 返回 2 布尔代数 BooleanAlgebra 是代数系统中最为基础的部分 也是最核心的基本理论 主要包括了集合的基本概念与运算 自对偶的公理系统 是数据表示的重要基础 相信大家都很清楚它的在计算机科学中有很重要地位 3 关系代数 RelationalAlgebra 应用也是极为广泛 比如数据库技术中的关系数据库的构建就要用到关系代数的相关理论 返回 4 计算机代数 ComputerAlgebra 大家可能比较生疏 其实它研究的主要内容即是围绕符号计算与公式演算展开的 是研究代数算法的设计 分析 实现及其应用的学科 主要求解非数值计算 输入输出用代数符号表示 计算机代数的开发语言主要有 ALTRAN CAMAL FORMAL 主要应用于 射影几何 工业设计 机器人手臂运动设计等 返回 课后作业 简述近世代数的起源和发展概况 简述本课程的基本内容和逻辑结构 第1讲 1 3集合 映射及代数运算 2课时 Setsmappingandalgebraoperation 第一章基本概念 一 集合 定义1 若干个 有限或无限多个 固定事物的全体叫做一个集合 简称集 集合中的每个事物叫做这个集合的元素 简称元 例1 师院 级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集 而每个学生就称为这个集中的元素 定义2 没有元素的集合叫做空集 记为 且是任一集合的子集 例2 一切满足方程x2 1 0的实数组成的集合是空集 1 集合的要素 确定性 相异性 无序性 例3 由我院胖子组成的集合 这不能组成一个集合 违反了确定性 例4 集合中的元素要求两两互异 即 1 2 2 3 1 2 3 2 集合表示 习惯上用大写拉丁字母A B C 表示集合 习惯上用小写拉丁字母a b c 表示集合中的元素 若a是集合A中的元素 则记为 表示集合通常有三种方法 1 枚举法 列举法 例5 A 1 2 3 4 B 1 2 3 100 2 描述法 元素具有的性质 例6 A a a Z且1 a 4 显然例6中的A就是例5的A 3 绘图法 用文氏图可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系 例7 利用例5的A和B 可构制出文氏图 3 集合的蕴含 包含 定义3 若集B中每个元素都属于集A 则称B是A的子集 记为 记为 思考题1 如何用语言陈述 否则说B不是A的子集 设 且存在 那么称B是A的真子集 否则称B不是A的真子集 思考题2 若 但B不是A的真子集 这意味着什么 定义4 真子集 若集合A和B含有完全一样的元素 那么称A与B相等 记为A B 显然 定义5 集合的相等 4 集合的运算 集合的并 集合的交 集合的差 集合在全集内的补 集合的布尔和 对称差 集合的卡氏积 注 卡氏积的推广 中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点 问题 回忆数的四则运算 由此猜测集合的运算应该具有什么性质 思考 1 2 3 4 5 6 对上述集合运算 可以得到一批基本公式 7 8 9 10 11 12 上述基本性质都是常用的 其中 9 10 两式通常称为德摩根 DeMorgan 法则 它们的证明也是容易的 思考题3 1 2 证明等式 3 设有集合A B 若 则A与B有什么关系 若 则A与B有什么关系 定义6 二 映射 是集合A到B的一个对应法则 如果对A中任一元素a 关于 都有B中的元素b与其对应 那么称法则 是由A到B的一个映射 b是a关于 的象 a是b在 下的逆象 设 其中 记 设 映射的分类 1 单射 一对一映射 2 满射 映上的 若f既是单射又是满射 则f是双射 思考题4 试说一说 当f 不是单射 不是满射时该怎样叙述 3 双射 一一对应 或 4 说明 1 映射是两个集合之间的 特别的 若这两个集合是同一集合 这时的映射叫该集合的一个变换 2 区分变换和恒等变换 变换是集合X到自身的映射 而恒等变换是指集合X中每个元素与自身对应的变换 5 映射的相等 设给定如果n 2时 f就叫做代数运算 一般地有定义8 任一个事实上 我们都接触过代数运算 三 代数运算 的映射都叫做 的一个代数运算 例13 为方便起见 以后凡是代数运算都不用映射符号等 每一个代数运算都可以用运算表来表示 设 代数运算表 当 都是有限集时 那么 的 则运算表为 其中dij ai bj 这个表通常称为运算表或凯莱 Cayley 表 定义9 把集合A上的二元映射A A A也称为A上的代数运算或A上的二元运算 此时我们也说集合A对于代数运算 来说是封闭的 如果A上的运算用 来表示 则也称为代数系统 一个代数运算可以用 例14一个 来表示 当然也可用其它运算符号 如 等表示 是 这就是普通数的除法 例15普通加法 减法与乘法都是Z Q R C的代数运算 例16法则例17设A是一个非空集合 则集合的并与交是幂集 是 的代数运算 的两个代数运算 1 设 问下列各命题是否正确 1 2 3 4 5 6 习题1 2 判定下列法则 是否为有理数域Q的代数运算 1 2 3 4 5 1 3 4 5 都正确 1 2 5 都不正确 2 1 3 5 是 2 4 不是 练习1参考答案 原来住在距离都柏林差不多20英里的一个小乡村 哈密尔顿的叔叔杰姆哈密顿是那里的副牧师 这叔叔是语言专家 懂许多欧洲语言 方言以及近东的语言 小哈密尔顿从 岁就受叔叔的教养 很快就一个语言学会后又飞到另一种语言去 他在13岁时遇见一位来自美国计算神速的儿童 这时引起他对数学的兴趣 哈密尔顿从小到进入大学之前