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文档简介

高中选修2 1 3 2 1立体几何中的向量方法 直线的方向向量与平面的法向量 上一节 我们把向量从平面推广到空间 并利用空间向量解决了一些立体几何问题 本节我们进一步学习立体几何中的向量方法 立体几何研究的基本对象是点 直线 平面以及由它们组成的空间图形 为了用空间向量解决立体几何问题 首先必须把点 直线 平面的位置用向量表示出来 思考 如何确定一个点在空间的位置 在空间中给一个定点A和一个定方向 向量 能确定一条直线在空间的位置吗 给一个定点和两个定方向 向量 能确定一个平面在空间的位置吗 给一个定点和一个定方向 向量 能确定一个平面在空间的位置吗 O P 1 点的位置向量 A B P 2 直线的方向向量 这样 点A和向量不仅可以确定直线l的位置 还可以具体表示出l上的任意一点 o b a P 3 平面的法向量 这样 点O与向量不仅可以确定平面的位置 还可以具体表示出内的任意一点 法向量 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作a 如果a 那么向量a叫做平面 的法向量 l a 类似于直线的方向向量 还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置 问题 法向量如何确定平面的位置 A 给定一点A和一个向量a 那么 过点A 以向量a为法向量的平面是完全确定的 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置 所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线 平面间的平行 垂直 夹角等位置关系 4 法向量的运用 注意 这里的线线平行包括线线重合 线面平行包括线在面内 面面平行包括面面重合 例1 1 设分别是直线的方向向量 根据下列条件判断与的位置关系 分析 直线方向向量与直线位置关系 据此可判断两直线的位置关系 平行 垂直 相交或异面 例1 2 设分别是平面的法向量 根据下列条件判断与的位置关系 分析 平面法向量与两平面位置关系 据此可判断两平面的位置关系 垂直 平行 相交 不垂直 分析 直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系 据此可判断直线和平面的位置关系 例1 3 设是平面的法向量 是直线的方向向量 根据下列条件判断与的位置关系 垂直 相交 斜交 例2 已知平面经过三点A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 试求平面的一个法向量 解 A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 设平面的法向量是依题意 有 即解得z 0且x 2y 令y 1 则x 2 平面的一个法向量是 例3一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 已知 直线m n是平面内的任意两条相交直线 且l m l n 求证 l 证明 设直线l m n的方向向量分别为因为l m l n 所以同理因为m n 且m n相交 所以内任一直线的方向向量可以表示为因为所以与内任一直线垂直 因此 小结 1 直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具 是实现空间问题的向量方法的媒介 2 要熟
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