近世代数第18讲.doc

第18讲5 子环、环的同态（Subgroup and homomorphism of ring ）本讲的教学目的和要求：本讲的内容出发点都是跟循群论的思路，环子环的定义子环的实例环同态（尤其是环同态满射）同态映射（满射）所能传递的代数性质和不能传递的代数性质。本讲中，要求能弄清和领会环同态与群同态的区别所在。1、子环的定义，尤其是子整环，子除环和子域的定义。特别一提的是：一个环可能不是什么特殊环，但却是特殊子环。2、扩环与子环之间在单位元变换性，零因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点，这是与群截然不同的地方。4、环同态映射（既使是环同态满射）也有一些性质不能传递过去。5、 环同构的应用挖补定理。一、子环的定义、例子和简单性质.定义3.5.1. 设是一个环，而是的一个非空子集，如果关于中的加法和乘法, 本身做成一个环,则称为的一个子环,同时称为的扩环.仔细分析一下，要成为的子环,则要满足环的三条: 为的子加群. 可将结合律传递给 中满足左，右分配律于是得到子环的等价定义:定义3.5.1. 设.如果满足. (1) 是的子加群；(2) 对乘法封闭.那么,称是的子环. 若用数学语言来表达上定义则为：设.如果满足. (1) , (或 且 ) (2) , 则称S是的子环。设，1、是的子整环 (). ()是可交换的 且 （）中没有零因子.2、是的子除环(). () ,且 (或说)3、是的子域既是的子整环也是的子除环.例1. 对于环而言,零环和必是的子环的平凡子环.例2. 偶数环2是整数环的子环(但不是子整环).例3. 整系数多项式环是多项式环的子环注意1: 环本身不是整环,但也许有子整环. 环本身不是除环(域)但可能有子除环(子域).例4. 设为复数域上的二阶矩阵环,显然不是整环，不是除环,更不是域( 不可交换,有零因子)但我们发现: 是的子整环. 是的子域. 是的子除环.例5. 为模6的剩余类环,而不仅是的子环还是的一个子域.(其中,且 )注意: 从例5中看到: 中的单位元,而中的单位元.这表明子环中的单位元未必是扩环 (母环)的单位元. 与群的子群的相比，子环具有许多“怪”性质.汇总起来,我们有命题3.5.2 设是的子环,那么: 是有单位元的环, 未必是有单位元的环。 不是有单位元的环, 可能是有单位元的环。 不能交换, 可能可交换. 与都是有单位元的环，但它们的单位元未必一致. 是整环(除环、域), 未必是整环,(除环、域).不是整环(除环、域),但可能是整环(除环、域)注意 从上结论可知,在环与子环之间，单位元,交换性，环的类型都可能发生转变，而且以例5中知,零因子也会发生转变:在中是零因子,但在S中是可逆元。命题3.5.3 .设为任意环,令则必是一个子环,叫做环的中心.证明: . , . . 且 是的子环. (显然, 是R的交换子环)可知: 本身可交换.命题3.5.4 设和都是环R的子环 ,那么 是和的子环.(证明略).将命题3.5.4进行推广知: 设是的子环集,那么 必是的子环.二、环的同态 定义3.5.5 设是环到环的映射.如果满足: 则称是一个环同态映射.其中 如果是满射(单射、双射)，则称为环同态满射(环同态单射,环同构)。特别是环同态满射时,则称与同态,记为.注意：由上定义可知,一个环同态映射就是分别对环的加法和乘法都满足“保持运算”的性质.利用这一点,可以自然地得到:定理3.5.6（定理1,p98）. 设和都是代数系统,如果是到的满射且有 . .则当 是环时, 也必是环. 下面我们模仿群论的讨论方式:考察环同态能传递一些什么代数性质.定理3.5.7（定理2,p98） 设是环同态满射,那么: 若是中的零元必是的零元. 即 若 是的单位元必是的单位元 即 . , 负元的象是象的负元,即 若可交换也可交换.证明: 是满射使 于是 确实是中零元. 使 而 , 同理, . , 同理 , , . ,则 使 故 是交换环.显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无法传递过去的.例5. 设 是环同态满射,其中:。是整环。中没有零因子,但在中,和、都是零因子。例如： 2不是中的零因子,但却是中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子。例7. 设 .在中定义运算: 可以验证: R是一个环.现作一个对应:,其中,。可以验证,是一个环同态满射.由于是中的零元,当 且 时.有中有零因子.而显然中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.由上知，环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质.如果是环同构时，其结果则不同了.定理3.5.8 （p99定理3） 若和都是环,且。则是整环(除环,域)当且仅当是整环(除环,域).利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣的事实.引理3.5.9.（p99引理） 设是一个环,而是一个双射,其中是一个集合。那么,可以给集合定义加法乘法,使得成为环，并且成为到的环同构。证明: .定义: ， 所以 又已知是双射.由的任意性.因为环,由定理3.5.6（定理1,p98）也是环 是环同构.有了上引理,则可讨论环论中的“挖补定理”定理3.5.10（定理4,p100，挖补定理）设1）是环的一个子环, 2）也是环且，3）。那么必存在另一个环,满足 ， 是的子环。证明: 令，则，。取，定义：。首先证明是满射。如果,则或者。若，则由得：存在，使得。若，则但，因此。所以是满射。其次证明是单射。,可分为三种情形逐一考虑(其中,).() 若那么() 若 是同构映射. 当时必有 () 若，而时,但.因为。 .总之,当时, 是单射.综合上述为双射.由引理3.5.9.（p99引理）,因为为环,则必可为定义加法和乘法,使为环且. 成立.下面证也成立,(即是的子环)以下将证明：是的子环。首先，是的非空子集。其次，由于中有两种运算，一种是由遗传的，另一种