第九章 超静定结构的内力.ppt

第九章超静定结构的内力 内容提要超静定结构是工程中广泛采用的结构型式 本章介绍超静定结构的概念和超静定次数的确定方法 重点介绍计算超静定结构内力的常用方法 即力法 位移法和力矩分配法的基本概念 解题思路和计算方法 最后分析总结超静定结构的特性 9 1概述 9 2力法 9 3位移法 9 4力矩分配法 本章内容 9 5无剪力分配法 9 6超静定结构计算方法分析 9 7超静定结构的特性 小结 本章内容 9 1概述 9 1 1超静定结构的概念 超静定结构是工程中广泛采用的一类结构 为了全面认识超静定结构 我们把它与静定结构作一比较 图 a 所示的刚架是一个静定结构 它的支座反力和各截面的内力都可以由静力平衡条件唯一确定 图 b 所示的刚架是一个超静定结构 有四个反力 却只能列出三个独立的平衡方程 它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定 a b 再从几何组成方面来分析 图 a 所示刚架和图 b 所示刚架都是几何不变的 若从图 a 所示的刚架中去掉支杆B 其就变成了几何可变体系 而从图 b 所示刚架中去掉支杆B 则其仍是几何不变的 从几何组成上看支杆B是多余约束 所以 该体系有一个多余约束 是一次超静定结构 a b 综上所述 存在多余约束 单靠静力平衡方程不能确定所有支座反力和内力 这就是超静定结构与静定结构的根本区别 9 1 2超静定次数的确定 超静定次数就是结构的多余约束的个数 也就是多余未知力的个数 所以 确定结构的超静定次数的方法 就是把原结构中的多余约束去掉 使之变成静定结构 所去掉的多余约束的个数即为结构的超静定次数 通常情况下 从超静定结构中去掉多余约束的方式有如下几种 1 切断体系内部的一根链杆或去掉支座处的一根支杆 相当于去掉一个约束 如图所示 X1 a b 2 去掉一个铰支座或一个单铰 相当于去掉两个约束 如图所示 a b 3 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆 相当于去掉三个约束 如图所示 a b c 4 将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为铰支座 相当于去掉一个约束 如图所示 X1 a b c 用上述去掉多余约束的方式 可以确定任何超静定结构的超静定次数 然而 对于同一个超静定结构 可用各种不同的方式去掉多余约束而得到不同的静定结构 但不论采用哪种方式 所去掉的多余约束的数目必然是相等的 但要注意所去掉的约束必须是多余约束 即去掉多余约束后 体系必须是无多余约束的几何不变体系 原结构中维持平衡的必要约束是绝对不能去掉的 如图 a 所示的刚架 如果去掉一个支座处的竖向支杆 即变成了如图 b 所示瞬变体系 这是不允许的 所以 此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束 9 1 3超静定结构的计算方法 由于超静定结构具有多余约束 存在对应的多余未知力 这就使未知力的个数多于可列出的静力平衡方程数 因此 计算超静定结构的全部反力和内力 不仅要考虑静力平衡条件 同时必须要考虑位移条件 由于超静定结构的类型有多种 不同类型的超静定结构适宜采用的计算方法也不同 常用的计算超静定结构的方法有以下 1 力法力法是以多余未知力作为基本未知量 以静定结构计算为基础 由位移条件建立力法方程求解出多余未知力 从而把超静定结构计算问题转化为静定结构计算问题 2 位移法位移法是以结构的结点位移作为基本未知量 由平衡条件建立位移法方程求解位移 利用位移和内力之间的关系计算结构的内力 从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题 3 力矩分配法力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种渐近解法 它不需计算结点位移 而是直接分析结构的受力情况 通过代数运算直接得到杆端弯矩值 9 2力法 力法计算超静定结构 是以静定结构为计算对象 把多余未知力作为基本未知量 根据变形协调条件建立力法方程 从而把计算超静定结构多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题 9 2 1力法的基本原理 下面通过对一次超静定结构的分析 阐述力法的基本原理 如图所示一端固定 另一端铰支的梁 该梁有一个多余约束 是一次超静定结构 如果把支杆B作为多余约束去掉 并代之以多余未知力X1 则原结构就转化为图 b 所示的静定梁 它承受着与图 a 所示原结构相同的荷载和多余未知力 我们把这种去掉多余约束用多余未知力来代替后的静定结构称为按力法计算的基本结构 b 基本结构 只要能够求出多余未知力X1 原结构的计算问题就转变为静定的基本结构在荷载q及多余未知力X1共同作用下的静定结构计算问题了 我们把多余未知力称为力法计算的基本未知量 b 基本结构 在图 b 所示的基本结构上 多余未知力X1是代替原结构支座B的作用 因此 基本结构的受力和变形应与原结构完全相同 设基本结构在B点沿X1方向上的位移为 1 由于在原结构图 a 中 支座B处的竖向位移等于零 所以 在基本结构图 b 中 B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移 1也应该为零 即 1 0 上式称为基本结构应满足的原结构的位移条件 设 1F 图 c 和 11 图 d 分别表示荷载q与多余末知力X1单独作用于基本结构上时 引起的B点沿X1方向上的位移 由叠加原理 有 1 11 1F 0 c d b 基本结构 由于X1是末知力 若以 11表示X1 1单独作用于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移 即 11 11 X1 则 11 X1 1F 0上式称为力法方程 而 11称为方程的系数 1F称为方程的自由项 因为 11和 1F均为已知力作于静定结构时 引起的B点沿X1方向上的位移 所以由静定结构的位移计算方法可以求得 因此解力法方程可求出多余未知力X1 为了具体计算位移 11和 1F 可分别绘出基本结构在荷载q和X1 1单独作用下的MF图和图 图 a b 然后用图乘法计算 a MF图 a MF图 由于MF图和图分别是基本结构在X1 1和荷载q作用下的弯矩图 同时图又可理解成为求B点的竖向位移而绘制的单位荷载作用下的弯矩图 所以 可用图乘图 即图自乘 则有 同理可用图乘MF图计算 1F 将 11和 1F代入力法方程 可解得多余未知力X1 所得末知力X1为正号 表示反力X1的方向与所设的方向相同 a MF图 多余未知力X1求出后 将已求得的多余力X1与荷载q共同作用在基本结构上 就可以按求解静定结构的方法 求出原结构的其余反力和内力 最后绘出原结构的弯矩图 如图 c 所示 A B M图 超静定结构的最后弯矩图M 也可利用已经绘出的图和MF图按叠加原理绘出 即 c 综上所述 力法是以多余未知力作为基本未知量 以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位移条件建立力法方程 求解多余未知力 从而把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题 9 2 2力法典型方程 前面用一次超静定结构说明了力法计算的基本原理 下面以一个三次超静定结构为例进一步说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典型方程 图 a 所示为一个三次超静定刚架 荷载作用下结构的变形如图中虚线所示 a 这里我们去掉固定支座C处的多余约束 用多余未知力X1 X2 X3代替 得到如图 b 所示的基本结构 a b 由于原结构C处为固定支座 其线位移和角位移都为零 所以 基本结构在荷载q及X1 X2 X3共同作用下 C点沿X1 X2 X3方向的位移都等于零 即基本结构应满足的位移条件为 1 0 2 0 3 0 a b 上式就是三次超静定结构的力法方程 根据叠加原理 上面的位移条件可以表示为 b 式中 11 21 31 当X1 1时引起的基本结构上沿X1 X2 X3方向上的位移 图 c 12 22 32 当X2 1时引起的基本结构上沿X1 X2 X3方向上的位移 图 d 13 23 33 当X3 1时引起的基本结构上沿X1 X2 X3方向上的位移 图 e 1F 2F 3F 荷载引起的基本结构上沿X1 X2 X3方向上的位移 图 f 对于n次超静定结构 用力法分析时 去掉n个多余约束 代之以n个多余未知力 当原结构在去掉多余约束处的已知位移为零时 采用上面同样的方法可以得到n个方程 称为力法典型方程 具体形式如下 在力法典型方程的前面n项中 位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数 ii称为主系数 它表示Xi 1时 引起的基本结构上沿Xi方向上的位移 它可利用图自乘求得 其值恒为正值 主对角线两侧的系数 ij i j 称为副系数 它表示Xj 1时 引起的基本结构上沿Xi方向上的位移 它可利用图与图互乘求得 根据位移互等定理可知副系数 ij与 ji相等 方程组中最后一项 iF不含未知力 称为自由项 它是由荷载单独作用在基本结构上时 引起的沿多余力Xi方向上的位移 它可通过MF图与图互乘求得 副系数和自由项可能为正值 可能为负值 也可能为零 由于基本结构是静定的 所以力法典型方程中各系数和自由项都可按上一章位移计算的方法求出 解力法方程求出多余未知力Xi i 1 2 n 后 就可以按静定结构的分析方法求其余反力和内力 原结构的弯矩可由下面的叠加公式求出 原结构的剪力和轴力可以根据平衡条件确定 9 2 3力法的计算步骤和举例 根据以上所述 用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下 1 选取基本结构 去掉原结构的多余约束 以相应的未知力代替多余约束的作用 2 建立力法典型方程 根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件 建立力法方程 3 计算力法方程的系数和自由项 利用静定结构的位移计算公式 或分别绘出基本结构在单位多余力Xi和荷载作用下的弯矩图 然后用图乘法计算系数和自由项 4 解方程求多余未知力 将所得各系数和自由项代入力法方程 解出多余未知力Xi 5 绘制原结构的内力图 用叠加法绘制原结构的弯矩图 进而根据平衡条件确定剪力图和轴力图 1 超静定梁和超静定刚架用力法计算超静定梁和刚架时 通常忽略剪力和轴力对位移的影响 因此 在计算力法方程的系数和自由项时只考虑弯矩的影响 例9 1 两端固定的超静定梁如图所示 全跨承受均布荷载q的作用 试绘制梁的弯矩图 解 1 选取基本结构 这是一个三次超静定梁 现去掉A B端的转动约束及B端的水平约束 代之以多余未知力X1 X2 X3 得到基本结构如图 b 所示 q A B l b 基本结构 2 建立力法方程 在竖向荷载作用下 当不计梁的轴向变形时 可认为轴向约束力为零 即X3 0 由基本结构在多余未知力X1 X2及荷载的共同作用下 应满足在A端和B端的角位移等于零的位移条件 因此力法方程为 3 计算方程的系数和自由项 分别绘出基本结构在单位多余力X1 1作用下的弯矩图 即图 图 c 图 图 d 及荷载作用下的弯矩图 图 e A B A B q A B 1 1 利用图乘法计算 由图自乘 可得 由图自乘 可得 由图与图互乘 可得 由图与MF图互乘 可得 由图与MF图互乘 可得 4 解力法方程求多余未知力 将求得的系数和自由项代入力法方程 化简后得 解得 5 绘制弯矩图 由绘出最后的弯矩图 图 f f M图 例9 2 试用力法计算图示超静定刚架 并绘制内力图 F 解 1 选取基本结构 该刚架为二次超静定结构 去掉B支座处的两个约束 代之以相应的多余未知力X1 X2 得到图 b 所示基本结构 b 基本结构 a 原结构 F 2 建立力法方程 由基本结构在多余未知力X1 X2及荷载共同作用下 B支座处沿X1 X2方向上的位移分别为零的位移条件 建立力法方程 3 计算系数和自由项 分别绘出基本结构在荷载作用下的MF图 图 c 及在单位力X1 1 X2 1作用下的图 图 图 d e A B C A B C a a a F A B C a 利用图乘法计算 由图自乘 可得 由图与图互乘 可得 由图自乘 可得 由图与MF图互乘 可得 由图与MF图互乘 可得 4 解方程求多余未知力 将求得的系数和自由项代入力法方程 消去后得 解得 5 绘制内力图 利用叠加公式 绘出弯矩图如图 a 所示 根据静定结构分析方法 由静力平衡条件 绘出剪力图和轴力图如图 b c 所示 A C B A B C A B C 2 超静定桁架在桁架中各杆的内力只有轴力 故在计算力法方程中的系数和自由项时 只考虑轴力的影响 例9 3 试计算图示超静定桁架各杆的轴力 已知各杆EA为常数 解 1 选取基本结构 此桁架为一次超静定结构 将BC杆作为多余约束 将其切断代之以多余未知力X1 得到如图 b 所示的基本结构 2 建立力法方程 根据基本结构在多余未知力及荷载共同作用下 BC杆切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移为零的条件 建立力法方程 3 计算系数和自由项 按静定桁架内力的计算方法 分别求出基本结构在X1 1和荷载单独作用下各杆的内力和FNF 如图 c d 所示 系数和自由项计算如下 4 解方程求多余未知力 将求得的系数和自由项代入力法方程 求得 5 计算各杆最后轴力 由叠加公式求得各杆轴力如图 e 所示 3 铰接排架铰接排架是单层工业厂房中常采用的结构型式 如图所示的单跨厂房排架结构 它是由屋架 或屋面大梁 柱子和基础所组成的结构 在对排架的柱 含柱顶 进行受力分析时 通常将屋架 或屋面梁 与柱顶间的连接简化为铰接 由于屋架刚度较大 通常可将屋架视为拉压刚度EA为无穷大的链杆 其计算简图如图 b 所示 我们称其为铰接排架 铰接排架的超静定次数等于排架的跨数 用力法计算时 通常把横梁作为多余约束切断 代之以一对大小相等 方向相反的多余未知力 利用切口两侧截面相对轴向位移为零的条件建立力法方程 下面举例说明铰接排架的计算过程 例9 4 试用力法计算图示铰接排架 并绘制弯矩图 已知I2 6I1 解 1 选取基本结构 切断两链杆 代之以多余未知力X1 X2 得到如图 b 所示的基本结构 b 基本结构 a 原结构 2 建立力法方程 由基本结构在多余未知力X1 X2及荷载共同作用下 在链杆切口两侧截面相对水平位移应该为零的条件 建立力法方程 b 基本结构 3 计算系数和自由项 分别绘出基本结构在单位力X1 1 X2 1及荷载作用下的弯矩图 图 c e F 利用图乘法计算 由图自乘 可得 由图自乘 可得 由图与图互乘 可得 由图与MF图互乘 可得 由图与MF图互乘 可得 F 4 解方程求多余未知力 将求得的系数和自由项代入力法方程 消去后得 解得 5 绘制内力图 利用叠加公式 绘出弯矩图如图 f 所示 f M图 kN m 4 超静定组合结构组合结构是由梁式杆和链杆共同组成的结构 在组合结构中 梁式杆主要承受弯矩 同时也承受剪力和轴力 而链杆只承受轴力 在计算力法方程中的系数和自由项时 对梁式杆通常只考虑弯矩的影响 忽略轴力和和剪力的影响 对于链杆只考虑轴力的影响 例9 5 加劲梁如图所示 已知链杆的拉压刚度EA为常数 横梁的弯曲刚度EI 9EA 试绘制梁的弯矩图 并计算各链杆轴力 解 1 选取基本结构 原结构为一次超静定结构 设切断CD杆 以多余未知力X1代替 得到如图 b 所示的基本结构 b 基本结构 a 原结构 2 建立力法方程 根据切口处两侧截面轴向相对位移为零的条件建立力法方程为 3 计算系数和自由项 分别绘出基本结构在单位力X1 1及荷载作用下的弯矩图和MF图 并计算出各链杆的轴力如图 c d 所示 计算系数和自由项如下 4 解方程求多余未知力 将求得的系数和自由项代入力法方程 解得 5 绘制横梁最后弯矩图和并求各链杆的轴力 由叠加公式 所求横梁最后弯矩图和各链杆的轴力如图 e 所示 5 支座移动时超静定结构的内力图 a 所示简支梁 支座B有微小位移 B 沉降到B1 因简支梁无多余约束 在支座B位移到B1的过程中 支杆B不起约束作用 梁可以绕A点自由转动 在支座移动过程中 梁发生刚体位移 不产生内力 B1 A B a B1 A端固定的一次超静定梁 如图 b 所示 支座B发生与图 a 同样的位移 因有多余约束存在 在支座B移动的过程中 梁不能发生自由转动 梁轴线有弯曲变形 梁中产生内力 A B B1 a A B b 用力法计算支座移动引起的超静定结构的内力 与上述计算类似 唯一区别是力法方程中的自由项的计算不同 下面通过例题说明 例9 6 一单跨超静定梁如图所示 已知固定支座A发生转角 试绘制梁的弯矩图 解 1 选取基本结构 去掉B支座处的约束 代之以相应的多余未知力X1 得到如图 b 所示的基本结构 b 基本结构 a 原结构 2 建立力法方程 基本结构在多余未知力及支座移动共同作用下在B支座处引起的位移应与原结构相同 因此力法方程为 3 计算系数和自由项 系数的计算与前述完全相同 自由项 1c则表示基本结构由于A支座发生转角所引起的沿X1方向上的位移 可由上一章介绍的位移公式计算 即绘出基本结构在单位力X1 1作用下的图并求出相应的反力 图 c 由图自乘 可得 a 原结构 自由项则为 4 解方程求多余未知力 将系数和自由项代入力法方程 解得 5 绘制内力图 由于基本结构是静定结构 支座移动在基本结构中不引起内力 内力完全由多余未知力引起 弯矩叠加公式为 绘出弯矩图如图 d 所示 d M图 对于图 a 所示的超静定梁 若去掉A支座处限制转动的约束 代之以相应的多余未知力 则得到的基本结构为如图所示的简支梁 a 原结构 基本结构 相应的力法方程则是由基本结构在多余未知力及支座移动共同作用下在A支座处引起的转角应与原结构相同的条件建立的 即力法方程为 绘出基本结构在单位力X1 1作用下的图 由图自乘 可得 将系数代入力法方程 解得按同样的方法绘制弯矩图如图 d 所示 d M图 通过以上分析可以看出 与载荷作用相比用力法计算由支座移动引起的超静定结构内力有以下几个特点 1 选取不同的基本结构时 力法方程的形式有所不同 方程等号右边可以不为零 2 力法方程的自由项是由支座移动在基本结构中产生的位移 可由静定结构支座移动的位移公式确定 3 由于没有载荷作用 所以结构的内力全部由多余未知力产生 4 由计算结果及内力图可以看出 支座移动时引起的超静定结构的内力与结构弯曲刚度EI的绝对值成正比 9 2 4超静定结构的位移计算 超静定结构的位移计算和静定结构的位移计算方法相同 即采用单位荷载法 由力法计算可知 当多余未知力解出后 静定的基本结构在多余未知力和荷载共同作用下的内力和变形是与原结构的受力与变形完全一致的 因此 超静定结构的位移计算问题可以转化为基本结构的位移计算问题 即静定结构的位移计算问题 由于超静定结构的内力不随力法计算所选的基本结构不同而异 所以 最后的内力图可以认为是由与原结构对应的任意基本结构求得的 故在计算超静定结构的位移时 虚拟单位力可以施加在其中任何一种形式的基本结构作为虚拟状态 因此 为使计算简化 可选取单位内力图较简单的基本结构来施加虚拟单位力 综合以上分析 可以得出超静定结构位移计算的步骤如下 1 用力法求解超静定结构 求出其最后内力或绘出内力图 以此作为实际状态 2 将单位力施加在基本结构上作为虚拟状态 并求出相应的内力或绘出内力图 3 按位移公式或图乘法求超静定结构的位移 下面举例说明超静定结构由于荷载作用引起的位移计算 例9 7 求图 a 所示刚架横梁中点D的竖向位移 a 解 1 用力法求解 作出最后弯矩图如图 b 所示 2 选取悬臂刚架为基本结构 将单位力施加在基本结构上 绘出图如图 c 所示 由M图与图相乘 可得 3 按图乘法求结构的位移 若取图 d 所示基本结构 在D点施加竖向单位力F l作为虚拟状态并绘图 将M图与图进行图乘得 以上选取不同的两种基本结构作为虚拟状态 计算结果则完全相同 显然后者计算较为简单 最后需要说明的是 在计算超静定结构的过程中 经过的计算步骤和数学运算较多 比较容易发生错误 为保证最后结果的正确性 校核工作是十分重要的 最后内力图的校核 应从平衡条件和变形条件两个方面进行 正确的内力图首先要满足平衡条件 平衡条件的校核就是检验超静定结构的最后内力图是否完全满足静力平衡条件 即结构的整体或任意取出结构的一部分都应满足平衡条件 正确的内力图还应该满足变形条件 因为计算超静定结构内力时 除平衡条件外 还应用了变形条件 特别是在力法中 多余未知力是由变形条件求得的 因此 校核工作应以变形条件为重点 校核变形条件的一般作法是 任意选取基本结构 任意选取一个多余未知力Xi 然后根据最后的内力图算出沿Xi方向的位移 i 并检查 i是否与原结构中的相应位移 给定值 相等 9 2 5对称性的利用 用力法计算超静定结构时 要建立和解算力法方程 结构的超静定次数愈高 需要计算力法方程中的系数和自由项的工作量就愈大 为了简化力法计算 可根据结构特点恰当选取基本结构 尽可能使力法方程中的副系数为零 这样就可以减少计算工作量 从而达到简化计算的目的 在工程实际中 许多结构都具有对称性 利用结构的对称性可以简化力法计算 1 对称性的概念 1 结构的对称性结构的对称性 是指结构对某一轴的对称 即对称结构必须有对称轴 而且必须满足以下两个条件 1 结构的几何形状 尺寸和支承情况对某一轴对称 2 杆件截面的形状 尺寸和材料性质也对此轴对称 因此 对称结构绕对称轴对折后 对称轴两边的结构图形完全重合 如图所示的两个结构均为对称结构 其中图 a 所示的刚架 有一根对称轴 而图 b 所示的箱形结构则有两根对称轴 a b 2 荷载的对称性作用在对称结构上的任何荷载 图 a 都可以分解为对称荷载 图 b 和反对称荷载 图 c 两种 所谓对称荷载是指绕对称轴对折后 对称轴两边的荷载完全重合 即力的大小 方向相同 力的作用点相对应 图 b 反对称荷载 是指绕对称轴对折后 对称轴两边的荷载彼此相反 即力的大小相等 力的作用点相对应 但力的指向是相反的 图 c 需要指出的是 对称结构在对称荷载作用下 结构的变形是对称的 如图 b 虚线所示 对称结构在反对称荷载作用下 结构的变形也是反对称的 如图 c 虚线所示 利用结构的对称性和荷载的对称性可以简化力法计算 2 对称性的应用 1 选取对称的基本结构当结构对称时 应考虑选取对称的基本结构进行计算 例如对于图 a 所示的三次超静定刚架 可从对称轴上梁的中点处切开 得到的基本结构是对称的 如图 b 所示 梁的切口两侧有三对大小相等而方向相反的多余未知力 其中X1 X2是对称力 X3为反对称力 根据基本结构在切口两侧截面的相对水平位移 相对竖向位移以及相对转角应为零的条件 得到力法方程如下 基本结构在各单位多余未知力作用下的弯矩图和变形图如图 b d 所示 可以看出 对称的未知力X1 1和X2 1所产生的弯矩图图和图以及变形图是对称的 反对称的未知力X3所产生的弯矩图图和变形图是反对称的 因此 力法方程的系数为 于是 力法方程简化为 可以看出 力法方程已分解为独立的两组 一组为上式的前两式 其只包含对称的未知力X1 X2 另一组为上式的第三式 只包含反对称的未知力X3 2 荷载分组由于任何荷载都可以分解为对称荷载和反对称荷载 所以力法方程的自由项 也同样可以简化 例如对于如图所示的任意荷载 可以分解为对称荷载 图 a 和反对称荷载 图 b a MF图 b MF图 当结构上的荷载为对称荷载时 荷载作用于基本结构的MF图为对称的如图 a 所示 这时由于图是反对称的 因此有 a MF图 由力法方程的第三式可知 反对称的多余未知力X3 0 由此得出结论 对称的超静定结构在对称荷载作用下 反对称的多余未知力必为零 只存在对称的多余未知力 当结构上的荷载为反对称荷载时 荷载作用于基本结构的MF图为反对称的如图 b 所示 这时由于图和图是对称的 因此有 b MF图 由力法方程的前两式可知 对称的多余未知力X1 X2 0 于是可得结论 对称的超静定结构在反对称荷载作用下 对称的多余未知力必为零 只存在反对称的多余未知力 综上所述 在用力法计算受任意荷载作用的对称结构时 只要选取对称的基本结构 把荷载分解为对称荷载和反对称荷载 则基本未知量都是对称未知力或反对称未知力 力法方程必然分成独立的两组 其中一组只包含对称未知力 另一组只包含反对称未知力 这样一来 原来的高阶联立方程组就分解成两个独立的低阶方程组 从而使计算得到简化 例9 8 绘制图示单跨对称刚架的弯矩图 解 1 对称性分析 这是一个三次超静定对称刚架 荷载为任意荷载 为使计算简化 将图 a 所示的荷载分解为对称荷载和反对称荷载图 b c 两种情况 在对称荷载作用下 图 b 如果忽略横梁轴向变形 则只有横梁承受轴向压力F 2 其他杆件无内力 所以 为了绘原刚架的弯矩图 只需绘在反对称荷载 图 c 作用下的弯矩图 2 选取基本结构 在反对称荷载作用下 选用图 d 所示的基本结构 由于荷载是反对称的 在横梁中点切口的两侧截面上弯矩和轴力 都是对称未知力 所以均为零 故切口处只有反对称未知力X1存在 3 建立力法方程 根据横梁中点切口两侧截面的相对竖向位移应该等于零的条件 建立力法方程为4 计算系数和自由项 分别绘出基本结构在荷载及X1 1作用下的弯矩图MF图和图 如图 e f 所示 由图乘法计算系数和自由项为 f M1图 e MF图 5 解力法方程 代入力法方程 设 解得 6 绘弯矩图 由叠加法绘出弯矩图如图所示 F 9 3位移法 力法计算超静定结构是以多余未知力为基本未知量 当结构的超静定次数较高时 用力法计算比较麻烦 而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量 未知量个数与超静定次数无关 故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便 9 3 1位移法的基本概念 位移法是以结构的结点位移作为基本未知量 由平衡条件建立位移法方程求解结点位移 利用杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构的内力 从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题 为了说明位移法的基本概念 我们来研究图 a 所示的等截面连续梁 此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所示 由于B点为刚性结点 所以 汇交于此点的各杆在该端将发生相同的转角 在分析上述连续梁时 我们可以这样考虑 把杆AB看作是两端固定的梁在B端发生了转角 把杆BC看作是B端固定C端铰支的梁 在梁上受均布荷载作用 并在B端发生转角 如图 b 所示 因此 如把结点B的转角作为支座移动看待 则上述连续梁可转化为两个单跨超静定梁 只要能够计算出转角的大小 就可以用力法计算出这两个单跨超静定梁的全部反力和内力 下面分为四步讨论如何计算转角的问题 第一步 增加约束 将结点B锁住 假设在结点B处加入一附加刚臂 图 a 附加刚臂的作用是约束B点的转动 而不能约束移动 即相当于固定端 A a 基本结构 B C 于是图 a 所示的等截面连续梁变成了由AB和BC两个单跨超静定梁组成的组合体 我们把加入附加刚臂后的结构称为位移法计算的基本结构 在基本结构上受外荷载作用 并使B点附加刚臂转过与实际变形相同的转角Z1 使基本结构的受力和变形与原结构取得一致 图 a 进而用基本结构代替原结构的计算 第二步 在基本结构中 只有荷载q的作用 无转角Z1影响 如图 b 所示 其弯矩图可由力法计算如图 b 所示 在附加刚臂上产生的约束力矩为R1F b 第三步 施加力偶 使基本结构的结点B产生角位移Z1如图 c 所示 在B端发生转角Z1的支座移动 其弯矩图可由力法计算得到 如图 c 所示 在附加刚臂上产生的约束力矩为R11 c 第四步 把基本结构的两种情况叠加 计算转角Z1 由叠加原理可得基本结构在两种情况下引起的约束力矩为R11 R1F 由于基本结构的受力和变形与原结构相同 在原结构上没有附加刚臂 故基本结构中附加刚臂上的约束力矩应为零 即R11 R1F 0 如在图 c 中令r11表示当Z1 1时附加刚臂上的约束力矩 即R11 r11 Z1 则上式改写为r11 Z1 R1F 0上式称为位移法方程 式中的r11称为系数 R1F称为自由项 它们的方向规定与Z1方向相同为正 反之为负 为了由位移法方程求解Z1 可由图 b 中取结点B为隔离体 由力矩平衡条件得出 由图 c 中取结点B为隔离体 并令Z1 1 由力矩平衡条件得出 代入位移法方程 得 c b 求出Z1后 将图 b c 两种情况叠加 即得原结构的弯矩图如图 d 所示 d 总结以上分析过程 可以把位移法计算的解题思路归纳如下 1 以独立的结点位移作为位移法的基本未知量 2 以增加附加约束后的一系列单跨超静定梁的组合体作为位移法的基本结构 3 以基本结构在附加约束处的受力与原结构一致的平衡条件建立位移法方程 4 原结构的内力是荷载和结点位移共同下 在基本结构中产生的内力 在位移法计算中 要用力法对每个单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力进行计算 为了使用方便 对各种约束的单跨超静定梁由荷载及支座移动引起的杆端弯矩和杆端剪力数值均列于表9 1中 以备查用 在表9 1中 i EI l 称为杆件的线刚度 表9 1中杆端弯矩的正 负号规定为 对杆端而言弯矩以顺时针转向为正 对支座或结点而言 则以逆时针转向为正 反之为负 如图所示 至于剪力的正 负号仍与以前规定相同 转角以顺时针转动为正 反之为负 表9 1等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表9 1等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表9 1等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表9 1等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表9 1等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表9 1等截面直杆的杆端弯矩和剪力 9 3 2位移法基本未知量与基本体系 1 位移法的基本未知量在力法计算中 是以超静定结构的多余未知力为基本未知量 而在位移法计算中 则是以结构中刚结点的角位移 铰结点的角位移可由杆件另一端的位移求出 故不作为基本位知量 和独立的结点线位移作为基本未知量 在结构中 一般情况下刚结点的角位移数目和刚结点的数目相同 但结构独立的结点线位移的数目则需要分析判断后才能确定 下面举例说明如何确定位移法的基本未知量 图 a 所示刚架有两个刚结点 现在两个刚结点都发生了角位移和线位移 但在忽略杆件的轴向变形时 这两个线位移相等 即独立的结点线位移只有一个 因此用位移法求解时 该结构的基本未知量是两个角位移和以及一个线位移 b 同理 图 b 所示排架有三个铰结点 其水平线位移相同 故该结构的基本未知量是一个线位移 当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时 则可以采用 铰化结点 增加链杆 的方法判断 即在确定结构独立的结点线位移时 先把所有的结点和支座都换成铰结点和铰支座 得到一个铰结体系 若此体系是几何不变体系 则由此知道结构的所有结点均无独立结点线位移 如果此体系是几何可变体系或瞬变体系 则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系 所增加的最少链杆的数目 就是原结构的独立结点线位移的数目 例如图 a 所示结构 铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体系 图 b 所以结点独立线位移的数目为一 整个结构的基本未知量为两个角位移和一个独立结点线位移 2 位移法基本结构由前述可知 用位移法计算超静定结构时 是以一系列单跨超静定梁的组合体作为基本结构的 因此 在确定了基本未知量后 就要增加附加约束以限制所有结点的位移 把原结构转化为一系列相互独立的单跨超静定梁的组合体 即在产生角位移的刚结点处附加刚臂约束转动 在产生线位移的结点处附加支座链杆约束其线位移 图 a 所示刚架有两个刚结点D和E 在忽略各杆件自身轴向变形的情况下 两结点有相同的线位移 所以只要在结点D和E处附加两个刚臂 以阻止两个刚结点的转动 在结点E处附加支座链杆以限制其线位移 b 基本结构 a 原结构 这样就使得原结构变成为无结点线位移及角位移的一系列单跨超静定梁的组合体 即位移法的基本结构 图 b b 基本结构 a 原结构 需要强调说明 力法中的基本结构是从原结构中拆除多余约束而代之以多余未知力的静定结构 而位移法的基本结构是在原结构上增加约束构成若干个单跨超静定梁的组合体 虽然它们的形式不同 但都是原结构的代表 其受力和变形与原结构是一致的 9 3 3位移法典型方程及计算举例 1 位移法典型方程在前面我们以只有一个基本未知量的结构介绍了位移法的基本概念 对于具有多个基本未知量的结构 仍然应用上述思路 建立位移法方程的典型形式 图 a 所示刚架有两个基本未知量 即结点B的转角Z1和结点C的水平位移Z2 在结点B处施加限制转动的约束 附加刚臂 在结点C加一控制水平线位移的约束 附加支座链杆 得到的基本结构如图 b 所示 b 基本结构 a 原结构 下面利用叠加原理建立位移法方程 1 计算基本结构在荷载单独作用时各附加约束上的约束力 先求出各杆的杆端力 然后求约束中存在的约束力R1F R2F 图 a 图 a 2 计算基本结构在结点B发生转角Z1时各附加约束上的约束力 使基本结构在结点B发生单位转角Z1 1 但结点C仍被锁住 这时 可求出基本结构在杆件AB BC和CD的杆端力 以及在两个约束中分别存在的约束力r11和r21 图 b 于是我们把图 b 扩大Z1倍 即乘以Z1 b c 3 计算基本结构在结点C发生水平位移Z2时各附加约束上的约束力 使基本结构在结点C发生单位水平位移Z2 1 但结点B仍被锁住 这时 可求出基本结构在杆件AB BC和CD的杆端力 以及在两个约束中分别存在的约束力r12和r22 图 c 于是我们把图 c 扩大Z2倍 即乘以Z2 叠加以上三种情况 得基本结构在荷载和结点位移Z1 Z2共同作用下的结果 根据以上各种因素引起的附加约束上的约束力叠加后应与原结构一致 即各附加约束上的总约束力应等于零的条件 可列出两个位移法方程r11Z1 r12Z2 r13Z3 R1F 0r21Z1 r22Z2 r23Z3 R2F 0 式中的系数和自由项 是由荷载和结点位移Z1 Z2共同作用下 在附加约束上引起的约束力 可由结点隔离体和杆件隔离体的平衡条件确定 得到各系数及自由项后 代入位移法方程中 即可解出各结点位移Z1 Z2的值 最后可按下式叠加绘出最后弯矩图 式中 和MF 结点位移Z1 1 Z2 1和荷载单独作用于下 基本结构的弯矩 对于具有n个基本未知量的结构 则附加约束 附加刚臂或附加链杆 也有n个 由n个附加约束上的受力与原结构一致的平衡条件 可建立n个位移法方程 r11Z1 r12Z2 r1nZn R1F 0r21Z1 r22Z2 r2nZn R2F 0 rn1Z1 rn2Z2 rnnZn RnF 0 上式称为位移法的典型方程 式中的rii 0称为主系数 其物理意义为Zi 1时 基本结构中附加约束i上的反力 它恒为正值 rij称为副系数 其物理意义为Zj 1时 基本结构中附加约束i上的反力 副系数可为正 可为负或为零 由反力互等定理且有rij rji RiF为自由项 其物理意义为荷载作用于基本结构上时 附加约束i上的反力 自由项可为正 为负或为零 2 位移法计算举例上面讨论了用位移法典型方程解算超静定结构的解题思路和方法 根据前面所述 用位移法解超静定结构的步骤可归纳如下 1 首先确定基本未知量 增加阻止刚结点转动和结点移动的附加约束 从而形成基本结构 2 使基本结构承受原荷载 并令附加约束发生与原结构相同的位移 根据附加约束上的反力矩或反力等于零的条件 建立位移法的典型方程 3 绘出基本结构的单位弯矩图图与荷载弯矩图MF图 利用平衡条件求系数和自由项 4 解算典型方程 求出各基本未知量 5 按叠加公式绘出最后弯矩图 然后根据最后弯矩图作出剪力图并根据剪力图绘出轴力图 6 校核 在位移法计算中 由于位移条件自然满足 所以只需校核平衡条件 1 无结点线位移结构的计算当刚架的结点上只有角位移 无线位移时 称为无侧移刚架 对于超静定梁和无侧移刚架这类无结点线位移结构用位移法求解最为方便 例9 9 试用位移法计算图示超静定梁 并绘制内力图 已知F 2ql F F 解 1 确定基本未知量 形成基本结构 此超静定梁有一个刚结点B 无结点线位移 因此 基本未知量为结点B处的转角Z1 基本结构如图 b 所示 b 基本结构 a 原结构 F 2 建立位移法方程 由结点B处附加刚臂的约束力矩总和为零的条件 建立位移法方程为r11Z1 R1F 0 3 求系数和自由项 令 绘出Z1 1和荷载单独作用于基本结构上时的弯矩图图和MF图 如图 c d 所示 B B 并分别从图和MF图取出结点B作为隔离体 图 c d R1F 利用结点的平衡条件可计算出系数和自由项如下 r11 7i 4 解方程求基本未知量 将系数和自由项代入位移法方程 得解方程得 5 绘内力图 由叠加公式 求各杆端弯矩绘出最后M图 如图 e 所示 截取各杆为隔离体 根据静力平衡条件 计算各杆端剪力 进而绘出剪力FS图 如图 f 所示 e M图 f FS图 6 校核 在位移法计算中 只需作平衡条件校核 从图 e 中取结点B为隔离体 验算其是否满足平衡条件 MB 0 计算无误 e M图 例9 10 试用位移法计算图示刚架 并绘制弯矩图 解 1 确定基本未知量 形成基本结构 此刚架有两个刚结点1和2 无结点线位移 因此 基本未知量为结点1和2处的转角Z1和Z2 基本结构如图 b 所示 b 基本结构 a 原结构 2 建立位移法方程 由刚结点1 2处附加刚臂约束力矩总和分别为零 建立位移法方程为r11Z1 r12Z2 R1F 0r21Z1 r22Z2 R2F 0 3 求系数和自由项 令 绘出Z1 1 Z2 1和荷载单独作用于基本体系上时的弯矩图图 图和MF图 分别如图 a c 所示 在图 a c 中分别利用结点的平衡条件可计算出系数和自由项如下 r11 20i r12 4i r21 r22 12i R1F 40 R2F 0 4 解方程求基本未知量 将系数和自由项代入位移法方程 得20iZ1 4iZ2 40 04iZ1 12iZ2 0 0解方程得 5 绘弯矩图 由叠加绘出最后M图 如图 d 所示 2 1 A B C 6 校核 在位移法计算中 只需作平衡条件校核 由图 f 中分别取结点1和结点2为隔离体 验算其是否满足平衡条件和 可知计算无误 2 有结点线位移结构的计算当刚架中的结点有线位移时 称其为有侧移刚架 这也是工程中常用的结构 用位移法计算有侧移刚架时 其方法和计算无侧移刚架时基本相同 所不同的是限制结点线位移的附加约束为附加支座链杆 下面举例说明如何用位移法计算有侧移结构 例9 11 试用位移法计算图示刚架 并绘制弯矩图 解 1 确定基本未知量 形成基本结构 此刚架有一个刚结点1和一个铰结点2 结点1 2有相同的水平位移 因此 基本未知量为结点1处的转角Z1和结点2的水平位移Z2 在刚结点1施加限制结点转动的附加约束 在铰结点2施加限制结点线位移的附加约束 得到基本结构如图 b 所示 b 基本结构 a 原结构 2 列出位移法方程 r11Z1 r12Z2 R1F 0r21Z1 r22Z2 R2F 0其中第二式是根据原结构结点2上没有水平约束力这一条件建立的 3 求系数和自由项 分别绘出Z1 1 Z2 1和荷载单独作用于基本结构时的弯矩图 和MF图 分别如图 a c 所示 其中图为基本结构的结点2产生水平单位位移所引起的弯矩图 在求解r11 r12和R1F时 可从图 a c 中取刚结点1为隔离体 在求附加链杆上的反力r22 r21和R2F时 则可以附加链杆轴线方向上的杆件作为隔离体 然后分别利用平衡条件 M 0和 X 0计算 可求得 4 解方程求基本未知量 将系数和自由项代入位移法方程 得解方程得Z1 1 47 Z2 15 16 5 绘弯矩图 由叠加绘出最后M图 如图 d 所示 6 校核 在位移法计算中 只需作平衡条件校核 由图 d 中取结点1为隔离体 有 可知计算无误 由图 d 中取杆12为隔离体 有 在力法中 就如何利用对称性来简化结构的计算已作过介绍 在用位移法计算对称的超静定结构时 利用其对称性同样可以使计算得到简化 9 3 4对称结构的计算 由于对称结构在对称荷载作用下内力和变形都是对称的 在反对称荷载作用下内力和变形都是反对称的 根据这一特点 在用位移法计算对称的超静定结构时 可截取整个结构的一半来进行计算 下面分别讨论奇数跨和偶数跨两种对称刚架的半刚架选取方法 1 奇数跨对称刚架 1 对称荷载作用的情况对于如图所示的单跨对称刚架 在对称荷载作用下 其内力和变形是对称的 因此 位于横梁对称轴处的C截面上只有对称的未知力 弯矩和轴力 而反对称未知力 剪力 应为零 同时C截面上的位移也只能有竖向位移 不可能发生角位移和水平位移 所以在C截面处可用一个定向支座代替原有的约束 得到如图 b 所示的半刚架 a b 2 反对称荷载作用的情况对于如图所示刚架 在反对称荷载作用下 其内力和变形应为反对称的 因此 在横梁对称轴处的C截面上只有反对称的未知力 剪力 而对称的未知力 弯矩和轴力 为零 C截面的位移也只能产生角位移和水平位移 而不能发生竖向位移 故在C截面可以用一根竖向支承链杆代替原有的约束作用 得到如图 b 所示的半刚架 a b 2 偶数跨对称刚架 1 对称荷载作用的情况图所示的两跨对称刚架 在对称荷载作用下 其内力和变形都是对称的 由于CD杆位于对称轴上 故无剪力和弯矩只有轴力 从变形对称的角度来分析 C截面上的转角和水平位移为零 又由于C截面上还有一竖杆 当不考虑杆件的轴向变形时 C截面也不能产生竖向位移 相当于一个固定端支座 因此 得到如图 b 所示的半刚架 b a 2 反对称荷载作用的情况图 a 所示的两跨对称刚架 在承受反对称荷载作用时 其内力和变形应为反对称的 取半刚架时 可把其看作是如图 b 所示的中间的立柱由两根截面惯性矩为I 2的杆件组成的结构 a b 由于荷载是反对称的 故C截面上只有反对称的一对剪力FSC 图 c 当忽略杆件的轴向变形时 这一对剪力FSC对其它杆件均不产生内力 而仅在对称轴两侧的两根立柱中产生大小相等而性质相反的轴力 由于原有中间柱的内力是这两根立柱的内力之和 故叠加后剪力FSC对原结构的内力和变形均无影响 可将其略去 于是 得到如图 d 所示的半刚架 综上所述 由于对称结构可以采用半结构计算 所以 在用位移法计算对称的超静定结构时 可以利用对称性使计算得到简化 c d 需要说明的是 在取半结构简化计算时 作用在对称结构上的荷载必须是对称荷载或反对称荷载 如荷载是非对称荷载 则必须分解为对称荷载和反对称荷载两种情形 分别采用半结构计算 然后将计算结果叠加 当按上述方法绘出半结构的内力图后 另一半结构的内力图则可根据对称关糸绘出 在对称荷载作用下 对称结构的弯矩图 轴力图是对称的 剪力图是反对称的 在反对称荷载作用下 对称结构的弯矩图 轴力图是反对称的 剪力图是对称的 例9 12 试用位移法计算图示刚架 并绘制弯矩图 已知各杆EI为常数 解 1 对称性分析 此刚架为对称结构 受对称荷载作用 根据其受力和变形特点可取如图 b 所示半刚架进行计算 a 原结构 b 半刚架 2 确定基本未知量 形成基本结构 图 b 所示的半刚架有一个刚结点E 没有结点线位移 因此 基本未知量为结点E处的转角Z1 在刚结点E施加限制结点转动的附加约束 得到基本结构如图 c 所示 c 基本结构 3 列出位移法方程 根据结点E处附加约束上的总约束力为零的条件 建立位移法方程r11Z1 R1F 04 求系数自由项 分别绘制基本结构在单位角位移Z1 1和荷载单独作用下的弯矩图图和MF图 如图 d e 所示 c 基本结构 在图 d e 中分别取刚结点为隔离体 利用结点的平衡条件 可得r11 8i 5