矩阵分析结课论文.doc

矩阵分析在电路中的应用本人主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。一、 矩阵在相容方程求解中的应用已知n元线性方程组如下表示：其矩阵的表达形式如下：矩阵A可记为如果矩阵A满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例：例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为，如图2所示：图2已知，计算流过中央支路的电流.解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：即同样计算如下几个行列式 所以从而，流过中央支路的电流为.即电流是从流向的.二、 矩阵在不相容方程组求解中的应用但是在实际问题中，会出现A不满秩，需要根据实际情况补充相关的方程，使得方程封闭；同时，在求解的实际问题当中，可能会出现矛盾方程，因为这些系数不是通过理论的推导得到，而是经过数值的计算或是实验的测量，往往不是精确解。如何才能得到满足精度要求，且得到最优的解。这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。 若线性方程组，对于任意m维向量，有使解成立的存在时，便称为矩阵的广义逆矩阵。广义逆矩阵应满足。 设n维向量满足对于任何一个n维向量x，都有便称是方程组的一个最小二乘解。 是方程组的最小二乘解，其中广义逆矩阵还需满足Penrose-Moore方程（1）、（3）。即满足、。有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解，也就是可以得到一组近似解，该近似解带入原方程后，与方程右端b向量的误差最小。通过广义逆，可以求解矛盾方程，但是对于一个确定的矩阵（对应一个方程组）有着多个符合上述条件的广义逆矩阵，这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。矩阵分析给出了最佳最小二乘解，也就是所有最小二乘解中，解向量模长最小的一组解。，则u为最佳最小二乘解。在求解最佳最小二乘解时，需要系数矩阵A的伪逆矩阵。伪逆矩阵是唯一的，这也对应着最佳最小二乘解唯一性。把满足Penrose-Moore 4个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。伪逆矩阵的求法一般通过矩阵A的满秩分解A=BC，得到矩阵B、C，然后以某一算法求得对应的伪逆矩阵，一般通过=得到伪逆矩阵。通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法，例2求矩阵的满秩分解。 解：对矩阵A只做初等行变换注意将矩阵化为阶梯型矩阵，且每行首元素为1，并且该元素1所在列的其他元素必为0。然后以主元所在列对应变换前的矩阵A的各列向量构成矩阵B以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵C容易验证A=BC 在构造B矩阵时，若所化简的阶梯阵形式不同，则所选取的列向量会有差别，这也导致了矩阵的满秩分解不唯一。那么，是否与伪逆矩阵的唯一性相协调？ 虽然，矩阵的满秩分解不唯一，如，但由以及求得的伪逆矩阵是唯一的。即。现给出证明， 证明： 若，则， 易知（r也为矩阵A的秩）， 则 （1）记