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學生氏t分布單一樣品均值推論兩樣品均值差之分布兩樣品非成對t值檢定兩樣品成對t值檢定二項分佈均值差推論 第八章 樣品均值比較問題TheComparisonProblemofSampleMean 8 1學生氏t分布 於實際應用上 族群變方通常都是未知的 因此以樣品資料求得樣品均方來代替族群變方 所得並非標準常態分布的標準化值Z 而是t值 學生氏t分布 此t值之分佈為學生氏t分布 Student st distribution 為高斯特 WilliamSealyGosset 於1908年所推導得 並以其筆名Student來命名 t分布之機率密度函數為 8 2t分布之性質 t分布是以均值0為中心的左右對稱分布 而不同的自由度有不同的t分布 t分布不與橫軸相交 t分布曲線下的面積等於1 t分布決定於自由度 它是t分布唯一的參數 若n趨近於無窮大時 t分布會趨近於標準常態分布 Z分布 t分布曲線下的機率 如同標準常態分布 已有累計機率表可供查閱 附表五 3 2 10123 t分布之性質 虛無假設 nullhypothesis 對立假設 alternativehypothesis 定顯著水準或 雙尾 計算t值若 則接受H0的假設 反之則拒絕H0的假設 附表5列出右單尾機率及其t值 與附表4之Z值分佈表示法不同 8 3單一樣品均值推論 如檢測一樣品是否來自於某族群 若族群變方未知 而以樣品均方來代替族群變方 則其假設檢定程序為 例子8 1假設消基會調查市面上某速食品所含防腐劑如下 3 4 5 4 2ppm 試推論此速食品所含防腐劑是否符合國家訂定的標準值3ppm 首先計算資料之平均值及均方 例子8 1假設消基會調查市面上某速食品所含防腐劑如下 3 4 5 4 2ppm 試推論此速食品所含防腐劑是否符合國家訂定的標準值3ppm 1 2 3 設定顯著水準 雙尾 4 計算t值 故接受H0的假設 表示此速食品所含防腐劑符合國家標準值3ppm 由上式信賴區間中包括3ppm在內 故接受H0的假設 另外我們也可求的之信賴區間如下 例子8 1可得此速食品防腐劑含量之95 信賴區間為 虛無假設 nullhypothesis 對立假設 alternativehypothesis 3 定顯著水準 雙尾 4 計算若 則接受H0的假設 反之則拒絕H0的假設 見附表4之Z值分布 8 4二項族群樣品均值推論 二項族群檢測一樣品是否來自於某族群 其假設檢定程序為 例8 2a 一般患肺癌病人3年內之死亡率約90 今有一新療法 試驗150位病人3年內有126位病人死亡 問新療法是否較佳 故接受 新療法較佳 或以樣品合計亦得同樣結果 例8 2b 設今有甲乙兩位市長候選人 在投票前做民調 從全市電話100萬號中隨機訪問1000人 結果有480人贊成甲候選人 520人贊成乙候選人 試推算兩位市長候選人之得票率有無差異 1 得票率甲 p1 480 1000 0 48乙 p2 520 1000 0 52 2 得票率估計誤差值為安全起見 在估算估計值 得票率p 之變方時 當取p 0 5 可得族群最大變方為V p pq n 0 5x0 5 1000 0 00025其抽樣誤差 samplingerror 為SE p 在95 信賴水準下 估計誤差值 b 為 b 3 95 信賴區間甲 0 48 0 032 0 48 0 032 0 448 0 512 乙 0 52 0 032 0 52 0 032 0 488 0 552 結論 在乙候選人之95 信賴區間 48 8 55 2 中包括甲候選人之得票率估計值上限51 2 因此推斷兩候選人之得票率沒有差別 不過當調查人數 n 增加時 其結論就不一定相同了 8 5兩樣品均值差之推論InferenceofTheDifferenceofTwoSampleMeans 一般從事試驗性研究 多會比較兩事物 兩族群 是否有差異 如A B兩種藥品治療某疾病是否有差別 或是兩種土壤pH值是否一樣等問題 而採用的方法是由兩事物中隨機抽取樣品 並以兩樣品均值之差 經假設檢定程序以推論兩事物是否有差異存在 我們不能單憑比較兩樣品均值的大小而下結論 關於如何進行假設檢定 我們先要瞭解兩樣品均值差之分佈型態 8 5 2兩樣品均值差之Z分佈 若兩樣品均值之分佈都為常態 則兩樣品均值差之分佈亦為常態 因此可求得標準常態化值Z為 若兩族群之變方相等 則上式可改寫成 8 5 2兩樣品均值差之t分佈 由於族群變方通常未知 因此以樣品均方來代替 即可得t值如下 若兩族群之變方相等時 兩樣品均方可求得一共同均方 則上式可改寫成 8 5 3兩樣品均值差成對t檢定 pairedttestfortwosamplemeans 當欲比較之兩樣品來自相同環境時 如每個試驗單位可分前後期來比較 或者可分為兩個小單位 以隨機安排兩處理 treatment 則我們宜採用成對t檢定法 例如比較同一株菸草 其上 下部葉片之尼古丁含量是否有差別 我們可將上半部菸草及下半部菸草當作兩個樣品 而且此兩樣品是成對的 兩族群變方也是相同的 1 虛無假設 2 對立假設 3 設定顯著水準或 4 計算t值 首先求成對樣品觀測值之差而n對觀測值差之總和為其均值為 假設檢定程序 平方和為 均方為 成對樣品均值差之均方為 故t值為 假設檢定程序 若實測 t 值 自由度為 顯著水準為 表示兩族群均值有差異 反之則否 成對t值檢定 pairedttest 一 自身配對 如下圖為A B兩種病毒分別接種於一片菸葉的兩邊 以比較此菸草品種抗何種病毒 同一試驗單位 如人 大型動物或植物 分成兩部位安排兩處理 同一試驗單位在前後不同時間安排兩處理 例子8 3今欲比較洗腎病人透析前後之體重是否不同 6位病人腎臟透析前後體重如下表 t 5 0097 表示一般洗腎病人透析後之體重會減輕 透析前體重為一樣品 透析後之體重為另一樣品 兩樣品相對樣品點均來自同一人 故以成對t值檢定法先求兩樣品相對觀測值差之平方和為 自身配對 成對t值檢定 pairedttest 二 同源配對 安排兩處理之兩個試驗單位 動物或植物 要同性質 如種屬 同性別 同年齡與相近體重 例 今有A B兩營養食品品質比較 每種食品重複四次 試驗材料為白老鼠 每兩隻為不同時期出生 隨機安排兩食品 飼養一段時間後之增重如下出生時期 週 同源配對 pairedttest 兩食品間品質有差異 以B食品為優 8 5 4非成對t檢定 unpairedttest 當兩樣品並非成對得來 而是獨立取得時 則宜採用非成對t檢定 安排兩處理之試驗單位應全為同質 並將試驗單位完全隨機分成兩組 試驗單位n 20 第1組 10 第2組 10 A藥品 B藥品 隨機分配 根據族群變方是否相等 而有不同的檢定式 2020 1 27 29 1 變方相等 兩處理 藥品 食品 療法 技術 比較非成對t值檢定 unpairedttest 兩獨立處理比較 安排兩處理之試驗單位全為同質 如下圖為8隻白老鼠同時出生 每處理重複4次 隨機安排兩處理 可得各處理有相同變方 各處理隨機排列 例子8 4假設有A B兩種嬰兒奶粉 A奶粉試用9位初生男嬰 B奶粉試用10位男嬰 則一個月後兩組嬰兒增重情形如下 試比較兩種嬰兒奶粉的增重效果是否有差異 1 2 3 設定顯著水準 雙尾 4 計算t值 首先求兩獨立樣本之平方和 故拒絕H0的假設 表示A奶粉對嬰兒的增重效果較B奶粉佳 共同均方為 2 族群變方不等 雙尾檢定 單尾檢定 例 痛風病人與正常人血中尿酸濃度之比較 資料痛風病人 8 216 77 514 66 39 211 95 612 84 9正常人 4 76 35 26 85 64 26 07 4痛風病人正常人 加權自由度 加權t值 案例 設今有A B兩種藥品欲比較其對某種疾病之療效 有12位病患自願參與試驗 試問如何安排此試驗比較妥當 1 每種藥品選擇兩位年齡體位相近的病人隨機安排A B兩藥品 採用同源配對試驗 2 將12位病患隨機分成兩組 每組6人 各安排A B兩藥品 採用非成對t值試驗 請問 你比較贊成那種試驗法 為什麼 人為雜種動物 無法同源配對 故採用非成對t值測驗比較妥當 思考題 8 6樣品大小之決定 當兩族群變方已知 且兩樣品大小 n 相同 在顯著水準 檢定力為條件下 樣品大小應多大 才能測出兩族群均值之差異 其n之求法為 當 當族群變方未知時 以樣品均方代替 則n之計算公式為 設今有A B兩藥品各試驗10位病人 服藥後測定病人血液中之吸收總藥量如下 藥品 A 61 571 349 476 560 890 481 655 468 785 9 701 5B 80 690 560 870 475 670 887 699 862 785 6 784 4 若兩藥品被吸收總量之差的絕對值要達到B藥品的10 即 而 則 設故至少需要49人才有80 的檢定力以偵測出兩族群平均值有10 的差異 8 7二項分佈兩樣品均值差推論 當取得的樣品夠大時 二項分佈可呈近似常態分佈 而二項分佈兩樣品均值差之分佈 亦為近似常態分佈 1 虛無假設 2 對立假設 3 設定顯著水準或 4 計算Z值 二項分布兩樣品均值差推論 若 且H0的假設成立 則其p之估值為 則Z值為 虛無假設 對立假設 例子8 7某農藥商宣稱 其新的農藥產品比舊產品之殺蟲效果高出8 今將此農藥施用於某昆蟲 其結果得如下記錄 1 虛無假設 2 對立假設 3 設定顯著水準 4 計算Z值 則拒絕H0的假設 表示新產品之殺蟲效果比舊產品高出8 1 虛無假設 2 對立假設 3 設定顯著水準 4 計算Z值 則拒絕H0的假設 表示新產品之殺蟲效果比舊產品好 假設我們只要知道新產品是否比舊產品之殺蟲效果好 而不一定要知道殺蟲率高多少 卜瓦松分布兩樣品比較 根據卜瓦松分布原理 當 之分布接近常態分布卜瓦松分布兩樣品比較在相同條件下之公式為 卜瓦松分布兩樣品比較 根據卜瓦松分布原理 當 之分布接近常態分布卜瓦松分布兩樣品比較在不相同條件下之公式為式中為之估值 例8 10 設A B兩國小之人數相當 今檢察A B兩國小學童大便中有無蛔蟲 分別得