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定积分的概念 两个实例定积分的定义定积分的存在定理定积分的几何意义定积分的性质 1 实例1 求曲边梯形的面积 一 两个实例 2 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 3 解决步骤 1 分割 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 近似 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 4 3 求和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 5 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 y f x 分法越细 越接近精确值 曲边梯形的面积 f i 6 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 f i 曲边梯形的面积 7 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 f i A A 曲边梯形的面积 8 实例2 求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干个小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 9 t0 tn 10 11 曲边梯形的面积 1 分割 2 近似 3 求和 4 取极限 变速直线运动的路程 四个步骤为 12 i 1 2 n 作和 max Dx1 Dx2 Dxn 在小区间 xi 1 xi 上任取一点 i 记Dxi xi xi 1 i 1 n 个分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 设函数f x 在区间 a b 上有界 极限存在 且极限值与区间 a b 的分法和 i的取法无关 则称此极限为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记为 即 二 定积分的定义 在区间 a b 内插入n 1 如果当 0时 上述和式的 此时称f x 在 a b 上可积 13 积分下限 积分上限 积分和 读作 从a到b函数f x 的定积分 14 曲边梯形面积A 变速运动的路程S 记为 记为 15 关于定积分的说明 求导有如下的式子 定积分只与被积函数 积分上 下限有关 而与积 记号无关 即 定积分表示一个数 而不定积分是一个函数族 它们分别对 分变量的 16 例1计算 1 分割 等分 2 近似 取 矩形面积 3 求和 17 4 取极限 18 定理1 定理2 三 定积分的存在定理 19 2020 1 27 20 四 定积分的几何意义 21 几何意义 a b 22 定积分几何意义的应用 23 定积分几何意义的应用 24 例2用定积分表示下列图中阴影部分的面积 25 例3用定积分表示由 解 平面图形如右图所示 所围平面图形的面积 26 例4用定积分表示由所围平面图形的面积 1 o 解 平面图形如右图所示 A2 由图可知 因为 所以 27 若是奇函数 则 若是偶函数 则 对称区间上的定积分 28 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 五 定积分的性质 29 证 性质1 30 证 性质2 31 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 32 证 性质4 性质5 33 性质5的推论 证 1 34 证 性质5的推论 2 35 例5比较下列各对积分值的大小 1 1 因为在 2 和 2 和 解 上 由