习题14-两个重要极限.pdf

微积分 A 习题解答 习题习题 1 4 P50 1 求下列函数的极限 1 tan lim 0 为常数为常数k x kx x 解 k kx kx kx k x kx xx sin cos lim tan lim 00 2 x x xcos1 lim 0 解 2 sin2 lim 2 sin2 lim cos1 lim 0 2 00 x x x x x x xxx 2 2 2 2 sin 2 2 2 lim 0 x x x 3 3 0 sintan lim x xx x 解 2 2 0 3 0 3 0 2 sin2sin cos 1 lim cos1 cos sin lim sintan lim x x x x xx x x x x xx xxx 2 1 2 4 2 sin2sin cos 1 lim 2 2 0 x x x x x x 4 x x x3sin 2sin lim 解 t t t t xt x x ttx 3sin 2sin lim 33sin 22sin lim 3sin 2sin lim 00 令令 3 2 3 2 3sin 3 2 2sin lim 0 t t t t t 5 2 3 0 1cos lim x x x 第 1 章 极限与连续 第 4 节 两个重要极限 1 6 微积分 A 习题解答 解 0 2 2 sin 4 2 lim 2 sin2 lim 1cos lim 2 2 2 1 0 2 3 2 0 2 3 0 x x x x x x x xxx 6 2 tan 1 lim 1 x x x 解 2 cot lim 22 tan lim 1 2 tan 1 lim 001 t t t t xt x x ttx 令令 2 2 cos 2 sin 2 lim 2 0 t t t t 7 xx x 2cotlim 0 解 2 1 2 2cos 2sin 2 lim2cotlim 00 x x x xx xx 8 x x x 2 0 sin cos12 lim 解 x x xx x x x xxx 2 2 0 2 0 2 0 sin 2 sin2 lim 22 1 cos12 sin cos1 lim sin cos12 lim 8 2 sin 2 2 sin lim 24 1 sin 2 2 2 sin lim 22 1 2 2 0 2 2 2 2 0 x x x x x x x x xx 9 ax ax ax sinsin lim 解 t tt a t ata axt ax ax ttax 2 sin 2 cos 2 lim sin sin lim sinsin lim 00 令令 a t tt a t cos 2 2sin 2 cos lim 0 10 arcsinlim Nn x n x x 第 1 章 极限与连续 第 4 节 两个重要极限 2 6 微积分 A 习题解答 解 nt t n t n x x n t x n x tx sin lim sin arcsin arcsinlim 0 令令 11 3 0 sin2tan2 lim x xx x 解 sin2tan2 sintan lim sin2tan2 lim 3 0 3 0 xxx xx x xx xx 8 2 2 即得 由题 即得 由题 12 xx x 6 tan3tanlim 6 解 tt x xx t x tan 6 3tanlim 6 t 6 tan3tanlim 0 6 令令 3 1sin 3sin 3 cos 3cos lim 3 1 tan3cotlimtan3 2 tanlim 000 t t t t t t tttt ttt 13 3 sin cos21 lim 3 x x x 解 tsin 3 sintsin 3 tcos cos21 lim tsin 3 tcos 21 lim 3 t 3 sin cos21 lim 0t0t 3 x x x x 令令 33 tsin 2t sin2 lim tsin sint3tcos1 lim 2 0t0t 14 x x x 1 0 1 lim 解法 1 1 1 1 0 1 0 1 lim 1 lim exx x x x x 解法 2 因为当时 0 x0 xxf x xg 1 1 lim 0 xgxf x 故 1 1 0 1 lim ex x x 第 1 章 极限与连续 第 4 节 两个重要极限 3 6 微积分 A 习题解答 15 x x x x 1 lim 解法 1 x x x x xx x 1 1 1lim 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1lim e xx x x 解法 2 因为当时 x0 1 1 x xf xxg 1 lim 0 xgxf x 故 1 1 lim e x x x x 16 x x x x 22 23 lim 解法 1 x x x x xx x 22 1 1lim 22 23 lim 2 1 2 1 22 22 1 1 22 1 1lim e xx x x 解法 2 因为当时 x0 22 1 x xf xxg 2 1 lim xgxf x 故 2 1 22 23 lim e x x x x 17 x x x x 1 02 1lim 解法 1 2 1 2 1 2 0 1 1 0 1 0 2 1 2 1lim 2 1lim 2 1lim e xxxx x x x x x x x 解法 2 因为当时 0 x0 2 x xf x x xg 1 2 1 lim 0 xgxf x 故 2 1 1 02 1lim e xx x x 第 1 章 极限与连续 第 4 节 两个重要极限 4 6 微积分 A 习题解答 18 x x x x 1 lim 2 2 解法 1 x x x x x x x xxx x 1 2 222 2 1 1 1lim 1 1 1lim 1 lim 11 1 1 1 1 1 1lim 00 1 2 1 1 2 2 e xx x x x x 解法 2 因为当时 x0 1 1 2 x xf xxg 0 lim 0 xgxf x 故1 1 lim 0 2 2 e x x x x 19 2 2 2 1 1 lim x x x x 解法 1 2 2 2 2 2 1 2 1lim 1 1 lim x x x x xx x 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1lim e xx x x 解法 2 因为当 x时 0 1 2 2 x xf 2 xxg2 lim 0 xgxf x 故 2 2 2 2 1 1 lim e x x x x 20 x x x arcsin lim 0 解 1 sin 1 lim sin lim arcsin arcsin lim 000 ttt t xt x x ttx 令令 2 已知 ex x kx x 12 lim 求常数 k 第 1 章 极限与连续 第 4 节 两个重要极限 5 6 微积分 A 习题解答 第 1 章 极限与连续 第 4 节 两个重要极限 6 6 解 kx x kx xxx x 2 1lim 2 lim 因为当时 x0 2 x xf kxxg kxgxf x 2 lim 0 故 e e x x k kx x 12 lim 2 即12 k 得 2 1 k 3 讨论函数 0 1 0 sin 1 xx x x x xf x 当时 极限是否存在 0 x 解 1 sin lim 00 0 x x f x exf x x 1 0 1 lim 00 故当时 极限不存在 00 00 ff0 x 4 计算 n n 2