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26无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1 设、是某一极限过程中的两个无穷小，若 （c为常数）则（1）当c 0时，称在此极限过程中与是同阶无穷小； （2）当c = 0时，称在此极限过程中是的高阶无穷小，记作=o()(读作小欧)； （3）当c = 1时，称在此极限过程中与是等价无穷小，记作。 2、无穷大的比较定义2 设Y、Z是同一极限过程中的两个无穷大量， （1）如果= c 0，则称Y与Z是同阶无穷大量； （2）如果= 时，则称Z是Y的高阶无穷大量； （3）如果= c 0（k0），则称Z是关于（基本无穷大量）Y的k阶无穷大量。3、无穷小的阶与主部 定义3 把某极限过程中的无穷小作为基本无穷小，如果与（k0）是同阶的无穷小，即= c 0，则称是关于的k阶无穷小。重点难点突破1关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。注意 （1）符号=O()与的含义=O()表示是的高阶无穷小，即；表示与是等价无穷小，即（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。（2） 利用等价无穷小求极限 等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换：若，且存在，则=无穷小量的比较表设在自变量的变化过程中，均是无穷小量无穷小的比较定 义记 号（）（）2关于无穷小的阶当x0时，由恒等式（）o(xn)+ o(xm)= o(xn) 0nm （）o(xn) o(xm)= o(xm+n) m0, n03关于无穷小的替换定理设当时，存在，则解题方法指导1判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：例1 当x0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小 x - 3x3 + x5 sinxtgx解：因为当x0时，在x - 3x3 + x5中3x3 与x5都是x的高阶无穷小，由恒等式（） 所以，当x0时，x - 3x3 + x5是x的一阶无穷小因为当x0时，sin xx，tg xx，由恒等式（）可得 sin x tg x=o(x2)，即所以，当x0时，sin x tg x是x的二阶无穷小（2）先将原式变形，再判断阶数例2 当x0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小 tg x sin x解：通过分子有理化将原式变形=由此看出，当x0时，是x的一阶无穷小，事实上 通过三角函数的公式将原式变形 因为 sin xx， 1-cos xx2由此看出，当x0时，tg x sin x是x的三阶无穷小，事实上 此题错误解法：解：因为 所以，当x0时，tg x sin x是x的一阶无穷小这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，与比的极限不能为零。2利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有：当 时,例5 求下列函数的极限（1） ， （2）解 （1）= （）（2）= （） 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错
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