具有某些特性的函数(经典课件).doc

4 具有某些特性的函数教学内容：有界函数，单调函数，奇、偶函数与周期函数。教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语；深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇、偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证。教学方法：讲授为主，结合学时自学。教学学时：2学时。u 引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数。其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地回顾一下。一、有界函数： 有上界函数、有下界函数的定义：定义 设为定义在上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为上的有上（下）界函数，称为在上的一个上（下）界。注：（）在上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；（）又若为在上的一个上（下） 界，则任何大于（小于）的数也是在上的上（下）界。所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的。如：，是其一个上界，下界为，则易见任何小于的数都可作为其下界；任何大于的数都可作为其上界；（3）函数在上无上（下）界：对任一，都存在，使得。2有界函数定义：定义 设为定义在上的函数。若存在正数，使得对每一个有，则称为上的有界函数。注：（）几何意义：为上的有界函数，则的图象完全落在和之间；（）在上有界在上既有上界又有下界；例子：；（3）函数在上无界：对任一,都存在，使得。例 证明：为上的无上界函数。 证： 对任何正数，取上的一点，则有，故 按上述定义，为上的无上界函数。例 设为上的有界函数。证明：（1）；（2）.证： （1）对任何有 ， 上式表明，数是函数在上的一个下界，从而 （2）可类似于（1）证之。二、单调函数 ： 1单调函数的定义：定义 设为定义在上的函数， （）若，则称为上的增函数；若，则称为上的严格增函数。（）若，则称为上的减函数；若，则称为上的严格减函数。例 证明：在上是严格增函数。证： ，设，则即，所以函数在上是严格增函数。例 讨论函数在上的单调性。 解： ，设，显然有.但此函数在上不是严格增的，若取，则有，所以函数在上是增函数。例 讨论函数在上的单调性。 解： ，设，可正可负，所以函数在上不是单调函数。但若在区间上分别讨论，有，所以在区间上函数严格增，在区间函数严格减。注：（）单调性与所讨论的区间有关，要会求出给定函数的单调区间；（）严格单调函数的几何意义：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点。这一特征保证了它必有反函数。2反函数存在性：定理。2 设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。证明：设在上严格增.对任一，有，使，下面证明这样的只能有一个. 事实上，对于内任一，由在上的严格递增性，当时，当时，总之.这就说明，对每一个，都只存在唯一的一个，使得，从而函数存在反函数. 现证也是严格增的.任取.设,则，.由及的严格增性，显然有，即.所以反函数是严格增的。例6. 讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？ 解：函数在上是严格增的，有反函数；在上是严格减的，有反函数；但在上不是单调的，也不存在反函数。例7. 证明：当时在上严格增，当时在上严格递减。 证明：设.给定，.由有理数的稠密性，可取到有理数，使，（参见1例1），故有，这就证明了当时在上严格增。类似可证当时在上严格递减。三、奇函数和偶函数：定义. 设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个有（），则称为上的奇函数；（），则称为上的偶函数。注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性。（3）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可。 例8. 为上的奇函数；为上的偶函数；在上既不是奇函数，也不是偶函数，因若取，等式与均不成立。四、周期函数： 周期函数定义：设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期。 几点说明：（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一。因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，简称“周期”。（2）任给一个函