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第四章交通流理论 第五节交通流的流体力学模拟理论 第五节交通流的流体力学模拟理论 一 引言1 流体动力学理论建立1955年 英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种流体 对一条很长的公路隧道 研究了在车流密度高的情况下的交通流规律 提出了流体动力学模拟理论 该理论运用流体动力学的基本原理 模拟流体的连续性方程 建立车流的连续性方程 把车流密度的变化 比拟成水波的起伏而抽象为车流波 当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时 在车流中产生车流波的传播 通过分析车流波的传播速度 以寻求车流流量和密度 速度之间的关系 并描述车流的拥挤 消散过程 因此 该理论又可称为车流波动理论 流体动力学模拟理论是一种宏观模型 它假定车流中各个车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样 这与实际是不相符的尽管如此 该理论在分析交通流流体状态比较明显的场合 比如在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时 还比较实用 第五节交通流的流体力学模拟理论 2 车流连续性方程的建立假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为 t 两断面的间距为 x 车流在断面I的流入量为q 密度为k 车流在断面II的流出量为 q q 密度为 k k k前面加一负号 表示在拥挤状态 车流密度随车流量的增加而减小 根据物质守恒定律 流入量 流出量 x内车辆数的变化 即 或 取极限可得 又 故 上式表明 当车流量随距离而降低时 车流密度则随时间而增大 5 1 5 2 5 3 5 4 图5 1交通流回波现象 二 车流波动理论交通车流和一般的流体一样 当道路具有瓶颈形式路段 车流发生紊乱拥挤现象 会产生一种与车流方向相反的波 好像声波碰到障碍物时的反射一样 阻止车流前进 降低车速 如图5 1 第五节交通流的流体力学模拟理论 1 集散波的定义列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后 即陆续停车排队而集结成密度高的队列 绿灯启亮后 排队的车辆又陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队 车流中密度经过了由低到高 再由高到低两个过程 车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象 称为车流的波动 车流波动沿道路移动的速度 称为波速 车队运行状态变化图为在时间 空间坐标系下表示的一队n辆车的运行状态变化图 图中每根曲线表示一辆车运行的时间 空间轨迹 曲线间的水平距离表示车头时距 垂直距离表示车头间距 两条虚线分隔出I II和III三个时间 空间区域 在区域I内 车速最高而密度最低 进人区域II后 车速明显降低而密度明显升高 进入区域III后 速度有所回升而密度有所下降 虚线与运行轨迹的交点就是车队密度不同的两部分的分界 对某一确定时刻而言 而虚线则表示此分界既沿车队向后一辆辆地传播下去 又沿着道路而移动 虚线的斜率就是波速 虚线AB是低密度状态向高密度状态转变的分界 它所体现的车流波称为集结波 而AC是高密度状态向低密度状态转变的分界 它所体现的车流波称为疏散波 两种不同的车流波可统称为集散波 图5 2车队运行状态变化图 2 波速 集散波集结和消散的速度 这个车队从速度V1 密度K1 对应于车间距离l1 转变到速度V2 密度K2 对应于车间距离l2 O为第一辆车的变速点 A为第二辆车的变速点 虚线OA的斜率就是集散波的波速 设变速点A的时刻为t 位置为x 则 5 5 故集散波从第一辆车传到第二辆车所需时间为 图5 3车队前三辆车运行轨迹 t x V1t V2t 如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近 则 5 6 波速 5 7 集散波总是从前车向后车传播的 把单位时间内集散波所掠过的车辆数称为波流量 5 8 在流量 密度相关曲线上 集散波的波速就是割线的斜率 微弱波 流量和密度非常接近 的波速就是切线的斜率 如图所示 当车流从低密度低流量的A状态转变的高密度高流量的B状态时 集散波的波速是正的 即波沿道路前进 当车流从低流量高密度的C状态转变到高流量而密度较低的B状态时 集散波的波速是负的 即波沿道路后退 从A状态到B状态的波是集结波 而从B状态到A状态的波是消散波 两者都是前进波 从B状态到C状态的波是集结波 从C状态到B状态的波为消散波 两者都是后退波 车辆波动图 三 车流波动理论的应用例1 知某快速干道上车流速度 KM h 与密度 辆 KM 具有 之关系 现知一列u1 50KM h的车流中插入一u2 12KM h的低速车 并不能超车而集结形成速度为u2拥挤车流 此低速车在行驶2KM后离去 拥挤车队随之离散形成具有速度u3 30KM h的状态 试求 1 拥挤车队消散的时间ts 2 拥挤车队持续的时间tj 3 拥挤车队最长时的车辆数Nm 4 拥挤车辆的总数N 5 拥挤车辆所占用过的道路总长度L 6 车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T 解 把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为状态l 2 3 相应的流量 速度 密度分别记为Qi ui Ki i 1 2 3 则由已知车流模型可算出 Q1 1000 u1 50 K1 20Q2 1200 u2 12 K2 100Q3 1500 u3 30 K3 50由状态1转变到状态2形成集结波 记其波速为wl由状态2转变到状态3形成消散波 记其波速为w2 车辆运行时间 空间轨迹图 受拥挤的N辆车的时间 空间运行轨迹线如图中的N条折线所示 虚线OB的斜率等于w1 虚线AB的斜率等于w2 以xB tB表示图中B点的空间坐标和时间坐标 其它各点亦然 从图看出 从t0到tA 拥挤车队愈来愈长 最长时占路长度等于xA xc 过了时刻tA 拥挤车队愈来愈短 到时刻tB拥挤完全消除 很自然应把时段tB tA称为消散时间ts 由于N条折线的斜率表示车速 易得 由图可知拥挤车队从A点开始消散 所以落在路段AC上的车数就是拥挤车队最长时的车数Nm 它等于波wl在时段tc t0内掠过的车数 根据波流量公式 可得 又 解得 所以 w1掠过的车辆总数就是拥挤过的车辆总数N 由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度L即AD长 L LAD 2Km由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的 不难得知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数 于是总延误D的计算为 例题2 一条单向道路的一端伸进学校与居住区中 在此路段中车速限制为13Km h 对应的通行能力为3880辆 小时 高峰是从上游驶来的车流速度为50Km h 流量为4200辆 小时 高峰持续了1 69小时 然后上游车流量降到1950辆 小时 速度为59Km h 是估计此路段入口的上游拥挤长度和拥挤持续时间 解 高峰时上游车流密度 居住区路段上的密度 在这两股车流之间形成了一集结波其波速为 车辆运行时间 空间轨迹图 这是一后退波 表示居住区路段入口处向上游形成一列密度为298辆 Km的拥挤车流队列 图中tF tH tE t0 1 69 则tE 1 69小时 OF为W1的轨迹 在F处高峰流消失 出现流量为1950辆 小时 速度为59Km h的低峰流 集结波波速 它的轨迹为FG 根据时间 空间轨迹图可获得如下方程组 即拥挤流向上游延长的距离为2 453km 共包含车辆为 2 453 298 731辆 集结波W2推进到G的历时为 则拥挤持续的时间为 例3 某信号灯交叉口的一条进口道上 车流服从V K线性模型 饱和车头时距为2s 停车排队的车头空距为8m 到达流量为720辆 h 红灯时长48 1s 绿灯足够长 求停车排队最远至