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医药数理统计教案 第一章 极限与连续 安徽中医药高等专科学校教案课程题目1.1极限的概念学时（单元） 4授课时间2010.3.1-3.14授课地点1302授课班级 09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班教 学目标与要 求1.掌握并理解函数的概念,能熟练求函数的定义域和值域2.了解函数的主要性质(4种)及复合函数、基本初等函数教 学设 计教学内容、步骤及时间分配1.数学与生活、医学的联系举例（50）1）实际生活应用2）医学方面应用2.函数、常量、变量、函数的定义（15）3.函数的表示方法（15）4.函数的性质:单调性、奇偶性、有界性、周期性（40）5.初等函数:基本初等函数、复合函数、分段函数（80）6.函数极限的概念教 学重难点1.函数的概念、定义域、函数性质2.复合函数3.基本初等函数教 学方 法讲授、启示、探讨教 具准 备黑板、多媒体参 考资 料高等数学同济出版 高等数学合工大版医用高等数学 人民卫生出版社复习思考题课本p7-8课后小结第一章 极限与连续11极限的概念1.1.1函数的概念1. 函数的定义圆的面积A与半径r之间的关系A=表示。这里A与r都是变量，当半径r变化时。圆的面积A作相应的变化 定义1.1 设x与y是两个变量，D是非空实数集，如果对于任意x,按照某个对应法则f,变量y有惟一确定的实数与之对应，记作y=f (x) 则称f是定义在D上的函数（映射）,x称为自变量，y称为因变量，D称为函数f的定义域.数集M=f(D)=f(x)xD称为函数f的值域。2函数的定义域1）在分式中，分母不能为零2）在根式中，负数不能开偶次方根3）在对数中，真数必须大于零4）三角函数和反三角函数三角函数 ：正切 余切反三角函数：正（余）弦 正（余）切例 求函数的定义域解：要使有意义，必须使0即0或03.函数几种特性1)有界性若存在正数M,使得在区间I上,则称在I上有界.例如在上有界,因为而在(0,1)内无界.2)单调性设函数f(x)的定义域为D,区间ID如果对于区间I任意两点x1及x2.当x1x2时恒f(x1)f(x2) 则称函数f(x)在区间I上是单调增的.当x1f(x2) 则称函数f(x)在区间I上是单调减的.利用导数的判别如果在内则如果在内则3)奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即,则必有)对于恒成立,则称f(x)为偶函数对于恒成立,则称f(x)为奇函数例： 的奇偶性 则 则注:奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数代数和仍为偶函数偶数个奇（偶）函数为偶函数，奇则奇一奇一偶为奇函数（乘积）4）周期性 若存在不为零的数T，使得对于任意，且f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数。4、分段函数 已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数。 其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间，分段区间的公共端点称为分界点。5、复合函数 在很多实际问题中，两个变量的联系有时不是直接的。例如，质量为m的物体，以速度向上抛，其动能，即动能E是速度v的函数；而，即速度v又是时间t的函数，于是得又如函数，如果用M表示2x，那么函数y=sin2x可表示成y=sinM，而M=2x，这也说明了y与x的函数关系是通过变量M来确定的。定义4 如果y是M的函数y=f（u），而u又是x的函数，通过u将y表示成x的函数，即，那么y就叫做x的复合函数，其中M叫中间变量。注意：函数的值域应该取在的定义域内，否则函数将失去意义。 例：y=lgu u=x+1 内初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合步骤所构成的函数叫做初等函数。例如： 二、基本初等函数（见课本）定义 由五类基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合所构成的，并可用一个解析式表示的函数称为初等函数 幂函数：（是常数） ； 指数函数：（是常数，且,） ； 对数函数：（是常数，且，） ； 三角函数 ：sin，cos，tan，cot，sec，csc； 反三角函数： 正弦函数sin在区间上的反函数称为反正弦函数，记为arcsin. 余弦函数cos在区间,上的反函数称为反余弦函数，记为arccos 正切函数tn在区间（）上的反函数称为反正切函数，记为arctan 余切函数cot在区间（,)上的反函数称为反余切函数，记为arccot以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所产生的函数，称为初等函数附：初等函数图像1.1.2函数极限的概念1.当时,函数的极限定义1.4 如果无限增大(即时),函数f(x)的值无限接近一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的极限,记作 或者当时, 2. 当时,函数y=f(x)的极限定义1.5 如果(不要求),函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的极限,记作 或者 当时,x即可以从点的左侧无限接近于 (记为或). 如果时,函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的左极限,记作 或者 如果时,函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的右极限,记作 或者 显然,当时,有,反之亦然.例5讨论函数当时的极限 解:因为函数的定义域为,所以 由图1.5可知,当时,f(x)的左、右极限依次为：因此可见，当时，f（x）的左、右极限存在并且相等，所以 图1.5 例4 讨论函数f（x）= 当时的极限。 解 由图1.4 可知，当时，f（x）的左右极限依次为： 因此可见，当时，f（x）的左、右极限存在但不相等，所以，当时，函数f（x）的极限不存在。安徽中医药高等专科学校教案课程题目1.2极限的运算学时（单元） 4授课时间2010.3.15-3.28授课地点1302授课班级 09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班教 学目标与要 求1.掌握极限的四则运算法则2.掌握求极限的方法(4种)3.掌握用两个重要极限求一些极限教 学设 计教学内容、步骤及时间分配1. 极限运算法则 （20） 设，则有以下法则法则1 法则2 法则32极限的方法(4种)举例（80）1）直接法 2）约分法 3）分子分母同除最高次幂法 4）因式有理化法3.两个重要极限(1)(2)（100）教 学重难点1.极限的四则运算法则 2.两个重要极限 教 学方 法讲授、启示、探讨教 具准 备黑板、多媒体参 考资 料高等数学同济出版 高等数学合工大版医用高等数学 人民卫生出版社复习思考题课本p12课后小结1.2极限的运算一、极限的运算法则 设，则有以下法则法则1 法则2 法则3特别地 若则二、极限计算方法一）直接法例1求解：=3-2+1=2例2 解：=二）约分法例3解：因为，所以不能直接用法则3，在的过程中，由于即，因而在分式中可约去非零因子即=练习：三）分子分母同除最高次幂法例4求下列极限解：当时，分子、分母都趋向于确定地常数，不能直接利用法则3，此时可除以分子、分母的最高次幂，再求极限即=练习：四）因式有理化法通过对根式的有理化，进行约分，化简例5解：对分子乘以有理化因子则原式=练习：（1/2）122两个重要极限1极限（注意） 该性质只需要记性，掌握起应用即可 例6求 解：很显然本题利用上面的性质来解题的。 原式=通式 ：例7解：原式 =1例8解：原式=例9解：原式=2极限例10解：原式=例11解：原式=通式：例12原式=练习：安徽中医药高等专科学校教案课程题目1.3无穷小与无穷大学时（单元） 2 授课时间 2010.3.29-4.4授课地点1302授课班级 09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班教 学目标与要 求1.了解无穷小与无穷大的概念2.掌握无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系,无穷小量的比较关系教 学设 计1.通过实例引出无穷小的定义（5）2.无穷小的性质以及与函数的关系（20）3.无穷小之间的比较(50)4.无穷大的定义及和无穷小的关系(25)教 学重难点1.无穷小的性质2.函数与无穷小的关系、无穷小比较、无穷小与无穷大关系教 学方 法讲授、启示、探讨教 具准 备黑板、多媒体参 考资 料高等数学同济出版 高等数学合工大版医用高等数学 人民卫生出版社复习思考题课本P17习题1、（9）课后小结1.3 无穷小与无穷大在实际问题中,常会遇到以零为极限的变量.例如把石子投入水中,水波的四面传开.她 的振幅随时间增大而逐渐减小并趋向于零,又如电容器放电时,其电压随时间增加而逐渐减小并趋向于零;另外若f(x)=x-1,当x趋向于1时,f(x)无限趋近于零,这样就引出无穷小的定义.1. 无穷小的定义:定义1:如果(或)时,函数f(x)的极限为零;那么把f(x)叫做当(或)时的无穷小. 注意:无穷小是个变量,不能将其与很小的常数相混淆,在所有常数中零是惟一可以看作无穷小的数. 例: 与都是当时的无穷小量. 是当时的无穷小量 为时的无穷小量无穷小量与自变量的变化过程有关.当时,f(x)是无穷小.当时f(x)不一定还是无穷小.2.无穷小的性质:(1)两个(相同类型)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量（2）无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量 如：sinx是当时的有界量, 是当时的有界量 例1 求 解:当时, 是无穷小,sinx极限不存在,但sinx是有界函数,根据无穷小性质可知: 例2 (利用无穷小性质求) 性质2 3.函数极限与无穷小的关系由表示当时,函数f(x)趋近于常数A .显然f(x)趋近于A,即等同于f(x)-A趋近于零,当时,变量f(x)-A是无穷小.那么无穷小与极限之间存在如下联系:定理1:具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小和.反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限,下面就时情形加下注明:则a=f(x)-A 即就是说a是当时的无穷小.4.无穷小的比较 在自变量的同一变化过程中的两个无穷小,虽然同时都趋向于零,但他们趋向于零的快慢程度有时却不一样. 定义:设当(或)时, 都是无穷小.1)如果则称是比较高价的无穷小.2)如果则称是比较低价的无穷小.3)如果 (常数)则称和是同阶无穷小.例: 当时, 都是无穷小. 所以当时, 是x较高阶的无穷小;由于 所以当,3x与x是同阶的无穷小.特别的时，称和为等价无穷小当，常见等价无穷小有： 例 解：由等价无穷小可知原式=二、无穷大1.无穷大的定义 定义3:当 (或)时,如果函数f(x)的绝对值无限增大.那么把f(x)叫做当 (或)时的无穷大.注意:无穷大是指绝对值无限增大的变量.不能将其与很大的常数混淆(常数不是无穷大)2.无穷小与无穷大的关系定理2:在自变量的同义变化过程中,若f(x)为无穷大,则为无穷小.反之,若f(x)为无穷小,则为无穷大. 下面利用无穷小与无穷大的关系来求一些函数的极限 例2: 求 解:分析:当,分母x-1的极限为0,所以不能用法则了,但有=0 即是时的无穷小,则它的导数是时的无穷大,即 例3:求 解:分析当时都不存在,所以不能应用法则1、2但因为即当时, 是无穷小,所以它的倒数是无穷大,即例4:求 解:分析:当时,分子、分母的极限都不存在,所以不能用法则3 但归纳 安徽中医药高等专科学校教案课程题目1.4函数的连续性学时（单元） 2授课时间2010.4.5-4.11授课地点1302授课班级 09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班教 学目标与要 求1.了解函数连续性定义会求连续区间2.了解函数间断的概念3.了解闭区间上的连续函数的几个性质,掌握初等函数在其区间内连续的性质,教 学设 计1. 函数连续性的概念1)函数的增量 (10)2）函数在点处的连续性（40）3）函数在区间上的连续性（10）2.复合函数的连续性(20)3.区间上的连续函数性质（20）教 学重难点函数连续性的判断教 学方 法讲授教 具准 备黑板参 考资 料高等数学同济出版高等数学合工大版复习思考题课本练习,复习题课后小结1.4函数连续性在我们日常生活中有许多现象,如气温的变化,植物的增长,空气的流动等都是连续不断地运动和变化的.那么这些现象反映在数学上就是函数的连续性.下面就学习函数的连续性首先介绍函数增量的概念.1.函数的增量(或改变量)设函数y=f(x)在及其左右近旁有定义,当x由(初值)变化到 (终值)时,终值与初值之差叫做自变量的增量(或改变量)记作: 几何上,函数的增量表示当自变量从到时,曲线上对应点的纵坐标的增量.(如图)应当注意,增量记号是不可分割的整体,增量可正可负,增量可正可负或为零.例1:设,求适合下列条件中的增量和 (1)当x由1变化到1.5时 (2)当x由1变化到0.5时 (3)当x由1变化到时 解:(1)(2) (3) 2.函数的连续性 定义1.7 设函数y=f(x)在点及其左右近旁有定义,如果当自变量x在处增量趋近于零时,函数y=f(x)相应的增量也趋近于零,即有,那么就称函数y=f(x)在点处连续,点处连续, 点称作函数y=f(x)的连续点.由定义1.7知,要证明函数y=f(x)在点处连续,只需证明:(1)函数y=f(x)在点处及其近旁有定义;(2)当时,有.例2 证明函数在点x=1处连续.证明:(1)因为函数的定义域为,所以在x=1时,因为 所以,由定义1.7知,函数在点x=1处连续.在定义1.7中,若令,则,当时,有,亦时,有.因此,又有如下定义. 定义1.8 设函数y=f(x)在点处连续必须满足的三个条件: (1)函数y=f(x)在点及其近旁有定义;(2)函数y=f(x)在时的极限值存在;(3)函数y=f(x)在时的极限值等于在处的函数值,即有 上述三个条件中只要有一个条件不满足,则函数y=f(x)在点的处不连续,此时,称点为函数y=f(x)的不连续点或间断点.例3设函数在处连续，则（1/4）3.函数在区间上的连续性如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称函数f(x)在(a,b)内连续;区间(a,b)叫做函数的连续区间.如果函数f(x)在(a,b)内连续,且在右端点b处左端点a,处右;连续,即有,则函数f(x)在闭区间a,b上连续.连续函数的图像在其定义域区间内是一条连绵不间断的曲线.例4 讨论函数点x=1处的连续性. 解 因为所以存在,且有 因此函数f(x)在x=1处连续.例5 讨论函数在点x=-1处的连续性解 因为所以不存在,因此,函数f(x)在x=-1处不连续,x=-1