2012山东数学(理)高考试题及答案(高清版).doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷)本试卷分第卷和第卷两部分满分150分考试用时120分钟参考公式：锥体的体积公式：VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)第卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35i B35i C35i D35i2已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,43设a0，且a1，则“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷B的人数为()A7 B9 C10 D155设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A，6 B，1C1,6 D6，6执行下面的程序框图，如果输入a4，那么输出的n的值为()A2 B3 C4 D57若，则sin()A B C D8定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335 B338 C1 678 D2 0129函数的图象大致为()10已知椭圆C：(ab0)的离心率为双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A BC D11现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为()A232 B252 C472 D48412设函数，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A当a0时，x1x20，y1y20B当a0时，x1x20，y1y20C当a0时，x1x20，y1y20D当a0时，x1x20，y1y20第卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_14如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_15设a0若曲线与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_16如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_三、解答题：本大题共6小题，共74分17已知向量m(sinx,1)，n(Acosx，cos2x)(A0)，函数f(x)mn的最大值为6(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在0，上的值域18在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值19现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX20在等差数列an中，a3a4a584，a973(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm21在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M的横坐标为，直线l：ykx与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当k2时，|AB|2|DE|2的最小值22已知函数(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)(x2x)f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x0，g(x)1e21A由已知得2C由题知UA0,4，所以(UA)B0,2,4，故选C项3 A由函数f(x)ax在R上是减函数可得0a1，由函数g(x)(2a)x3在R上是增函数可得a2，因为0a1a2，a20a1，所以题干中前者为后者的充分不必要条件，故选A项4 C由题意可得，抽样间隔为30，区间451,750恰好为10个完整的组，所以做问卷B的有10人，故选C项5 A作出可行区域如图所示目标函数z3xy可变为y3xz，作l0：3xy0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取得最小值为，在B点处z取得最大值6，故选A项6 B由程序框图知，当n0时，P1，Q3；当n1时，P5，Q7；当n2时，P21，Q15，此时n增加1变为3，满足PQ，循环结束，输出n3，故选B项7 D由，得2，又，故故8 B由f(x6)f(x)得f(x)的周期为6，所以f(1)f(2)f(2 012)335f(1)f(2)f(6)f(1)f(2)，而f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(3)f(6)1，所以f(1)f(2)f(2 012)338，故选B项9D令，则f(x)的定义域为(，0)(0，)，而，所以f(x)为奇函数，故排除A项又因为当x(0，)时，cos6x0,2x2x0，即f(x)0，故排除B项，而f(x)0有无数个根，所以排除C项，D项正确10 D双曲线x2y21的渐近线为yx，与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，可得四边形为正方形，其边长为4，双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2,2)，所以有，又因为，a2b2c2，联立解方程组得a220，b25，故选D项11 C完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C项12 B由题意知函数，g(x)ax2bx(a，bR，a0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于方程ax2bx(a，bR，a0)有两个不同的根x1，x2，即方程ax3bx210有两个不同的实根x1，x2，因而可设ax3bx21a(xx1)2(xx2)，即ax3bx21a(x32x1x2x12xx2x22x1x2xx2x12)，ba(2x1x2)，x122x1x20，ax2x121，x12x20，ax20，当a0时，x20，x1x2x20，x10，y1y2当a0时，x20，x1x2x20，x10，y1y213答案：2解析：不等式|kx4|2可化为2kx42，即2kx6，而不等式的解集为x|1x3，所以k214答案：解析：三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以15答案：解析：由题意可得曲线与直线xa，y0所围成封闭图形的面积，解得16(2sin2,1cos2)解析：因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2如图所示，过P点作x轴的垂线，垂足为A，圆心为C，与x轴相切于点B，过C作PA的垂线，垂足为D，则，|PD|=sin(2)=cos2，|CD|=cos(2)=sin2，所以P点坐标为(2sin2,1cos2)，即的坐标为(2sin2,1cos2)17解：(1)f(x)mnAsinxcosxcos2xA(sin2xcos2x)Asin(2x)因为A0，由题意知A6(2)由(1)知f(x)6sin(2x)将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin2(x)6sin(2x)的图象；再将图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin(4x)的图象因此g(x)6sin(4x)因为x0，所以4x，故g(x)在0，上的值域为3,618解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120又CBCD，所以CDB30因此ADB90，ADBD又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED(2)方法一：由(1)知ADBD，所以ACBC又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB=1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，,0)，F(0,0,1)，因此=(，,0)，=(0，1,1)设平面BDF的一个法向量为m=(x，y，z)，则m=0，m=0，所以，取z=1，则m=(,1,1)由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，则，所以二面角FBDC的余弦值为方法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB=CD，因此CGBD又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCBD由于FCCG=C，FC，CG平面FCG，所以BD平面FCG故BDFG所以FGC为二面角FBDC的平面角在等腰三角形BCD中，由于BCD=120，因此又CB=CF，所以，故，因此二面角FBDC的余弦值为19解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)，P(C)P(D)，由于，根据事件的独立性和互斥性得(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据事件的独立性和互斥性得1P(B)1P(C)1P(D)，P(X5)P(BCD)故X的分布列为X012345P所以EX01234520解：(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，a428设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9由a4a13d得28a139，即a11所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*，若9man92m，则9m89n92m8因此9m11n92m1故得bm92m19m1于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1)21解：(1)依题意知F(0，)，圆心Q在线段OF的垂直平分线上，因为抛物线C的准线方程为，所以，即p1，因此抛物线C的方程为x22y(2)假设存在点M(x0，)(x00)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y|xx0()|xx0x0所以直线MQ的方程为yx0(xx0)，令，得，所以Q(，)又|QM|OQ|，故，因此，又x00，所以，此时M(，1)故存在点M(，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M(3)当时，由(2)得Q(，)Q的半径为，所以Q的方程为由整理得2x24kx10设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由于16k280，x1x22k，所以|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x2(1k2)(4k22)由整理得(1k2)x20设D，E两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)由于，所以|DE|2(1k2)(x3x4)24x3x4因此|AB|2|DE|2(1k2)(4k22)令1k2t，由于k2，则t5所以|AB|2|DE|2t(4t2)4t22t，设g(t)4t22t，t，5，因为g(t)8t2，所以当t，5时，g(t)g()6，即函数g(t)在t，5是增函数，所以当时g(t)取到最小值，因此当时，|AB|2|DE|2取到最小值22解：(1)由，得，x(0，)，由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1(2)由(1)得f(x)(1xxlnx)，x(0，)，令h(x)1xxlnx，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0又ex0，所以x(0,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(3)(理)因为g(x)(x2x)f(x)，所以g(x)(1xxlnx)，x(0，)因此对任意x0，g(x)1e2等价于1xxlnx(1e2)由(2)知h(x)1xxlnx，x(0，)，所以h(x)lnx2(lnxlne2)，x(0，)，因此当x(0，e2)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(e2，)时，h(x)0，h(x)单调递减所以h(x)的最大值为h(e2)1e2，故1xxlnx1e2设(x)ex(