（试题 试卷 真题）暑期专题辅导材料二

暑期专题辅导材料二 一、教学进度 极 限21 极限22 极限的运算性质主要内容1、 数列极限及函数极限的定义；2、 数列极限及函数极限的运算性质；能运用极限的运算性质求型及型的极限。二、学习指导1 数列极限的定义：（1） 无穷数列：若数列an的项数无限，则称数列an为无穷数列。 （2）数列极限的描述性定义：对于无穷数列an，当n项数无限增大时，an的项an无限趋近于某个常数A，则称A是数列an的极限。用符号表示为：，或：当n时，anA所谓“an无限趋近A”是指an的值无限靠近，无限接近于A，或者说，当n充分大时，an的值与A要多接近就可以多接近。数列极限的直观解释：当n充分大时，an与A在数轴上对应点间的距离可以无限的小。 （3）数列极限的精确定义：无穷数列an，A为常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要nN，恒有|an-A|，则称A为数列an的极限。该定义称为数列的N定义。实际上，正数是来描述an与A接近的程度的，总取很小很小的正数， N定义 就是说，不管取多么小的正数，总能使得an与A之间的距离比还小，或者说，从某项N以后的所有项an，总在区间A（A，A+）内。关于极限定义的理解，还应注意以下几点： 如果数列an有极限，则极限是唯一的； 正数是绝对任意的，又是相对固定的，否则N无法确定； 是N的相关量，给定在先，对应N在后； 当an趋近于A时，从数轴上看，既可以从A的右边趋近于A，也可以从A的左边趋近于A，但an与A之间的距离|an-A|总趋向于0； 极限反映的是数列an的项an变化的趋势，因此允许有有限个项与A的距离很大。但也要求从某个项an后，所有项与A无限接近，即所有项在任意小的区间（A-，A+）内，如图：（kN+，k为常数） （4）数列极限存在的条件：常数列，单调有界数列必存在极限； （5）如果求数列的极限：数列极限的N定义不能用来求极限，它只能用来检验数列极限。数列的极限的描述性定义也并不能用来准确地求数列的极限（少数数列可以）。一般数列极限的求解，可在特殊数列极限的基础上，借助于极限的运算性质进行。它体现了化归的数学思想。（1） 基本数列的极限： （C是常数） （2） 数列极限的运算性质： 如果=A， ，那么： =A+B，AB，=CA（C为常数）运算性质的实质反映了四则运算与极限运算可以交换次序。上述运算性质可以推广到有限个数列和差积商的形式，因此有等。在运用运算性质时，应把握两个条件：（1）数列是有限个；（2）每个均有极限。2、函数极限的定义（i） 函数极限的类型（1） x时，函数f(x)的极限 它可分为： x+时，f(x)的极限一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数A，则f(x)=A。这种类型与数列极限完全类似，只不过n是间断趋近于+，而x是连续趋近于+。因数列是特殊的函数，故前者可看成是后者的特例。 x-时，f(x)的极限一般地，当自变量x取负值且组对值无限增大时，如果f(x)无限趋近于一个常数A，则f(x)=A x时，f(x)的极限当且仅当时，也就是说，一方面，如果中有一个不存在，或者，则不存在；另一方面，如果=A，则必有存在，且A（2） xx0时，f(x)的极限 左极限：xx0- 时，f(x)的极限：如果当x从点x=x0左侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，则称A是f(x)在点x0处的右极限，记A。 xx0时，f(x)的极限：当且仅当A时，Af(x)在x0的左右极限与在x0处的极限之间的关系，类似于n+，n-与n时极限之间的关系。 （ii）函数极限的运算性质：各种类型的函数极限的运算性质与数列极限的运算性质完全类似。 （iii）如何求函数极限： 如果f(x)是初等函数，x0在f(x)定义域内，则； 利用代数变形及极限运算性质转化为可求极限的函数。三、典型例题例1、求，其中a、b为常数。解题思路分析：原式=当a1时，极限不存在当a=1时，原式=说明：此题属于，其中f(n)、g(n)都是关于n的多项式，其结论是：若分子的最高次数分母的最高次数，则极限为0；若分子的最高次数=分母的最高次数，则极限等于分子分母最高次项系数之比；若分子最高次数分母的最高次数，则极限不存在。例2、求 解题思路分析： = 说明：很多数列的通项公式从形式上好象不存在极限，但经过变形后仍可以通过运算性质求极限。有理化就是一种变形手段。例3、求极限解题思路分析：此题属于求数列前n项和的极限，因项数随n增大而增大，是无限的，所以不能利用极限的运算性质。应该先求和化简，再求极限。 原式=例4、设首项为1，公比为q（q0）的等比数列的前n项和为Sn，设Tn=，求。解题思路分析：本题需要对q分类讨论（1） 当q=1时，an=n，Sn=n，Sn+1=n+1，Tn= （2） 当q1时，Sn=，Sn+1= 若0q1，则 例5、求下列极限： （1）；（2）解题思路分析：因y=2x3+2x2+3x-1，均为初等函数，且x=1，x=-1分别在其定义域内，故： 例6、求下列各式极限： （1）；（2）解题思路分析：当x+或x-时，两式分子分母均趋于无穷，是型极限。其化简方法是分子分母同除以分子、分母中的最高次幂，再利用四则运算性质。当x+时，可取x0 当x-时，可取x0 例7、求下列各式的极限： （1）；（2）。解题思路分析：此题属于型极限，应约去值为0的因式后再求极限。 （1） （2） 同步练习（一） 选择题1、 已知无穷数列an，bn和常数a，b，下列说法正确的是：A、 若，那么，B、 若，且，那么C、 若an，bn都没有极限，则an+bn一定没有极限D、 若an，bn中至少有一个没有极限，则an+bn一定没有极限2、 等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，若，则A、 B、 C、1 D、3、等于A、0 B、 C、 D、4、已知，则等于A、-1 B、5 C、10 D、65、点x0不属于函数f(x)的定义域是的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分又不必要条件（二） 填空题6、若，则a=_，b=_。7、，则a的取值范围是_。8、_。9、若，则a的取值范围是_。10、若|a|0，t为常数），求： （1）an通项公式；（2） 。13、已知等差数列an首项为1，公差为d，前n项和为An，等比数列bn首项为1，公比为q，|q|1，前n项和为Bn，记Sn=B1+B2+Bn，若，求d、q。14、求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。参考答案